最新 高中数学 3.3.2简单的线性规划问题练习 苏教版必修5

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1、精 品 数 学 文 档 最新精品数学资料 3 33.23.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 1在平面直角坐标系中，动点 P(x，y)运动范围受到一定限制，则称变量 x、y 受到条件约束 2目标函数为 zaxby，当 b0 时，将其变化为 yabxzb，说明直线 zaxby在 y 轴上的截距为zb，若 b0，直线越往上移，截距越大，目标函数为 z 的值就越大 3线性约束条件表示的平面区域即可行域 4求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题称作线性规划问题 5解简单线性规划应用题的步骤是：弄清题意，设好未知量，建立关于未知量的目标函数及线性约束条件，将问题化为简单线性规划问题求解

2、 6求线性目标函数 zaxby 的最大值或最小值，首先将直线变化为 yaxbzb，再将该直线平行移动，使直线和可行域有公共点，再观察在可行域中使zb最大或最小时所经过的点，该点的坐标就是最优解 基础巩固 一、选择题 1已知变量 x，y 满足约束条件y2，xy1，xy1，则 z3xy 的最大值为(B) A12 B11 C3 D1 解析：画可行域分析，易知当x3，y2时 zmax11. 2(2013新课标全国卷)已知 a0，x，y 满足约束条件x1，xy3，ya（x3），若 z2xy 的最小值为 1，则 a(B) A.14 B.12 C1 D2 解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为 y 轴

3、上的截距，当 z2xy 经过点B 时，z 最小，由x1，2xy1x1，y1，代入 ya(x3)得 a12. 3(2013山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为(C) A2 B1 C13 D12 解析：作出可行域，由图象可知当点 M 位于点 A 时，OM 的斜率最小，由x2y10，3xy80 x3，y1，即 A(3，1)，此时 OM 的斜率为1313. 4若 x0，y0，且 xy1，则 zxy 的最大值为(B) A1 B1 C2 D2 解析：找准区域，对于直线 yxz，z 越小，z 越大 5设点 P(

4、x，y)，其中 x，yN，满足xy3 的点P的个数为(A) A10 个 B9 个 C3 个 D无数个 解析：选择单位长度，找整数点 二、填空题 6(2013陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2 围成的封闭区域，则 2xy的最小值为_ 解析：封闭区域为三角形，令|x1|2 得x1 或x3， 三顶点坐标分别为(1，0)，(1，2)，(3，2)，故 2xy在点(1，2)处的值最小，为4. 答案：4 7(2013广东卷)给定区域D：x4y4，xy4，x0，令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线 解析： 画出可行

5、域， 其中zxy取最小值的整点为(0， 1)， 取得最大值时的整点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共 5 个 故可确定 516 条不同直线 答案：6 8若x，y满足约束条件x0，x2y3，2xy3，则xy的取值范围是_ 解析： 约束条件对应ABC内部及边界区域，A(0， 3)，B0，32，C(1，1)，则xy3，0 答案：3，0 三、解答题 9某实验室需购某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元在满足需要的条件下，最少要花费多少元？ 解析：设购买重量为每袋 35

6、千克的x袋，重量为每袋 24 千克的y袋，则所要花费的金额z140 x120y，依题意，可得关于x、y的约束条件： 35x24y106，xN，yN， 如图，当直线经过点10635，0 时，目标函数z的值最小，又x，yN，寻找可行域上靠近边界的几个点 令x0， 知y5， 当x1， 知y3， 当x2， 知y2， 当x3， 知y1，当x4，知y0，将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)分别代入目标函数，可知直线z140 x120y过点(1，3)时，目标函数z有最小值 500 元 10某工厂要制造 A 种电子装置 45 台，B 种电子装置 55 台，需用薄钢板给每

7、台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积 2 m2，可做 A、B 的外壳分别为 3 个和 5 个，乙种薄钢板每张面积 3 m2，可做 A、B 的外壳分别为 6 个两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？ 解析：设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做 A 种产品外壳(3x6y)个，B 种产品外壳(5x6y)个，由题意可得3x6y45，5x6y55，xN，yN， 所有的薄钢板的总面积是z2x3y. 可行域是如上图所示的阴影部分，其中l1：3x6y45；l2：5x6y55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z2x3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5，5)处取

8、得，此时z的最小值为 253525.即甲、乙两种板各 5 张，既能保证制造 A、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小 能力升级 一、选择题 11实数x，y满足不等式组y0，xy0，2xy20，则y1x1的取值范围是(A) A.1，13 B.12，13 C.12， D.12，1 解析：如下图，画出满足不等式组y0，xy0，2xy20的解 (x，y)构成的可行域ABO，求得B(2，2)因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(1，1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值1，最大值13.故的取值范围是1，13. 12若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm

9、，则实数m的最大值为(B) A.12 B1 C.32 D2 解析：如图，当直线xm经过y2x与xy30 的交点时，函数y2x的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组y2x，xy30得x1， m1. 13(2014大纲全国卷)设x，y满足约束条件xy0，x2y3，x2y1，则zx4y的最大值为_ 解析：作出可行域，通过平移直线寻求最优解，也可利用顶点代入验证最优解 方法一 作出可行域如图阴影部分所示作直线y14x，并向上平移，由数形结合可知，当直线过点A(1，1)时，zx4y取得最大值，最大值为 5. 方法二 分别求出点A(1，1)，点B2，12，点C(1，1)，把三点坐标分别代入zx4y得到 5

10、，4，5，故zx4y的最大值为 5. 答案：5 二、填空题 14已知x1，xy10，2xy20，则x2y2的最小值是_ 解析：由x1，xy10，2xy20画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，如图，根据x2y2表示可行域一点到原点的距离，可知x2y2的最小值是|AO|25. 答案：5 15若点P(m，3)到直线 4x3y10 的距离为 4，且点P在不等式 2xy3 表示的平面区域内，则m_ 解析：4|4m331|42（3）2，|m2|5. m7 或m3.P(7，3)不满足 2xy3，m3. 答案：3 三、解答题 16某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 5

11、4 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大， 求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润 解析：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x亩和y亩，则依题意得xy50，1.2x0.9y54，x，y0，目标函数z0.554x0.36y1.2x0.9yx0.9y，作出可行域如图， 由图知，zx0.9y经过点A时，z最大，由xy50，1.2x0.9y54A(30，20)， 种植 30 亩黄瓜和 20 亩韭菜时，总利润最大，最大利润为 48 万元 最新精品数学资料