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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料最新精品资料最新精品资料最新精品资料 第二讲 证明不等式的基本方法 1回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解 2通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法, 利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的但是，对大多数学习不等式的人来说， 常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质， 对他们更为重要的是理
2、解这些不等式的数学思想和背景 所以， 本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中 2 21 1 比比 较较 法法 1了解用作差比较法证明不等式 2了解用作商比较法证明不等式 3提高综合应用知识解决问题的能力 1作差法： 要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： abab_0 abab_0 abab_0 答案： 思考 1 比较两个代数式值的大小：x2与x2x1. 解析：当x1 时，x2x2x1；当x1 时，x
3、2x2x1；当x1 时，x2x2x1. 2作商法： 由于当b0 时，abab1， 因此要证明ab(b0)， 可以转化为证明与之等价的ab1(b0)，这种证明方法即为作商法 思考 2 求证：16181816. 证明：16181816256332273481288181， 16181816. 一 层 练 习 1设ma2b，nab21，则( ) Amn Bmn Cmn Dmn 答案：D 2已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是( ) Acba Bacb Ccba Dacb 答案：A 3已知下列不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；
4、a2b22(ab1)其中正确的个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案：C 4.2a1a2_1(填“”“”“”或“”) 答案： 二 层 练 习 5若ab，则代数式a3a2b与ab2b3的大小关系是( ) Aa3a2bab2b3 Ba3a2bab2b3 Ca3a2bab2b3 D不能确定 解析：ab，(a3a2b)(ab2b3)(a3b3)(a2bab2)(ab)(a2abb2)ab(ab)(ab)(ab)20，a3a2bab2b3. 答案：B 6设 02a1，M1a2，N1a2，P11a，Q11a，那么( ) AQPMN BMNQP CQMNP DMQP0，求证：2a3b32
5、ab2a2b. 证明：2a3b3(2ab2a2b)(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab) 又ab0，ab0，ab0，2ab0， (ab)(ab)(2ab)0， 2a3b32ab2a2b0， 2a3b32ab2a2b. 13设不等式|2x1|1 的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，bM，试比较ab1 与ab的大小 解析：(1)由|2x1|1 得12x11， 解得 0 x1. 所以Mx|0 x1 (2)由(1)和a，bM可知 0a1，0b0. 故ab1ab. 14设a，b是非负实数，求证：a3b3ab(a2b2) 证明
6、：由a，b是非负实数，作差得 a3b3ab(a2b2)a2a(ab)b2b(ba)(ab)(a)5(b)5 当ab时，ab，从而(a)5(b)5，得(ab)(a)5(b)50； 当ab时，ab，从而(a)5(b)5，得(ab)(a)5(b)50. 所以a3b3ab(a2b2) 比较法是证明不等式的一种最基本、 最常用的方法， 比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用abab0)， 还有作商比较法(即要证明ab， 而b0， 只要证明ab1)作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少 为便于判断差式的符号， 通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等多项式不等式、分式不等式 或对数不等式常用作差比较法证明作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与 1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式其中判断差值的正负及商值与 1的大小是用比较法证明不等式的难点判断过程应详细叙述用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论 最新精品资料
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