二轮复习数学理普通生通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题十四　选修4－4　坐标系与参数方程 Word版含解析

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1、重点增分专题十四重点增分专题十四选修选修 44坐标系与参数方程坐标系与参数方程全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷2018极坐标与直角坐标的互极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互直角坐标与极坐标的互化化、动点轨迹方程的求法动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值

2、问题三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求方程、动点轨迹方程的求法法2016参数方程与普通方程的互参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与程的互化及应用、直线与圆的位置关系圆的位置关系参数方程、极坐标方程及参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函点到直线的距离、三角函数的最值数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有

3、两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用应注意转化思想的应用考点一考点一极坐标极坐标保分考点保分考点练后讲评练后讲评1.极坐标方程化直角坐标方程极坐标方程化直角坐标方程(2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的方程的方程为为 yk|x|2.以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极

4、轴建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程的极坐标方程为为22cos 30.(1)求求 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)若若 C1与与 C2有且仅有三个公共点，求有且仅有三个公共点，求 C1的方程的方程解：解：(1)由由 xcos ，ysin 得得 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由由(1)知知 C2是圆心为是圆心为 A(1,0)，半径为，半径为 2 的圆的圆由题设知，由题设知，C1是过点是过点 B(0,2)且关于且关于 y 轴对称的两条射线记轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为轴右边的射线为 l1，y 轴轴左边的射线为左边的

5、射线为 l2.由于点由于点 B 在圆在圆 C2的外面的外面， 故故 C1与与 C2有且仅有三个公共点等价于有且仅有三个公共点等价于 l1与与 C2只有一个公共只有一个公共点且点且 l2与与 C2有两个公共点，或有两个公共点，或 l2与与 C2只有一个公共点且只有一个公共点且 l1与与 C2有两个公共点有两个公共点当当 l1与与 C2只有一个公共点时，点只有一个公共点时，点 A 到到 l1所在直线的距离为所在直线的距离为 2，所以，所以|k2|k212，故，故 k43或或 k0.经检验，当经检验，当 k0 时，时，l1与与 C2没有公共点；没有公共点；当当 k43时，时，l1与与 C2只有一个公

6、共点，只有一个公共点，l2与与 C2有两个公共点有两个公共点当当 l2与与 C2只有一个公共点时只有一个公共点时，点点 A 到到 l2所在直线的距离为所在直线的距离为 2，所以所以|k2|k212，故故 k0 或或 k43.经检验，当经检验，当 k0 时，时，l1与与 C2没有公共点；没有公共点；当当 k43时，时，l2与与 C2没有公共点没有公共点综上，所求综上，所求 C1的方程为的方程为 y43|x|2.2.直角坐标方程化极坐标方程直角坐标方程化极坐标方程在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的方程为的方程为(x 3)2(y2)24，直线，直线 C2的方程为的方程

7、为 y33x，以，以 O 为极点，以为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标轴的正半轴为极轴建立极坐标系求曲线系求曲线 C1和直线和直线 C2的极坐标方程的极坐标方程解：解：曲线曲线 C1的普通方程为的普通方程为(x 3)2(y2)24，即即 x2y22 3x4y30，曲线曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为22 3cos 4sin 30.直线直线 C2的方程为的方程为 y33x，直线直线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为6(R)3.极坐标方程的应用极坐标方程的应用(2017全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x 轴轴正半轴为极轴建立

8、极坐标系，曲线正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为cos 4.(1)M 为曲线为曲线 C1上的动点，点上的动点，点 P 在线段在线段 OM 上，且满足上，且满足|OM|OP|16，求点，求点 P 的轨的轨迹迹C2的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)设点设点 A 的极坐标为的极坐标为2，3 ，点，点 B 在曲线在曲线 C2上，求上，求OAB 面积的最大值面积的最大值解：解：(1)设设 P 的极坐标为的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为的极坐标为(1，)(10)由题设知由题设知|OP|，|OM|14cos .由由|OM|OP|16，得，得 C2的极坐标方程的极坐标方

9、程4cos (0)因此因此 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点设点 B 的极坐标为的极坐标为(B，)(B0)，由题设知由题设知|OA|2，B4cos ，于是，于是OAB 面积面积S12|OA|BsinAOB4cos sin32|sin23 32|.当当12时，时，S 取得最大值取得最大值 2 3.所以所以OAB 面积的最大值为面积的最大值为 2 3.解题方略解题方略1直角坐标与极坐标方程的互化直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将 xcos ，ysin 代入即可代入即可(2)极坐标方程化直

10、角坐标方程时，一般需要构造极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造2，sin ，cos ，常用的技巧有式，常用的技巧有式子两边同乘以子两边同乘以，两角和与差的正弦、余弦展开等，两角和与差的正弦、余弦展开等2求解与极坐标有关的问题的主要方法求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标为极坐标.考点二考点二参数方程参数方程保分考点保分考点练后讲评练后讲评1.

11、普通方程化参数方程普通方程化参数方程在极坐标系中，曲线在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为sin2cos 0，M1，2 .以极点以极点 O 为原点为原点，极轴为极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系轴的正半轴建立直角坐标系斜率为斜率为1 的直线的直线 l 过过点点M，且与曲线，且与曲线 C 交于交于 A，B 两点求曲线两点求曲线 C 和直线和直线 l 的参数方程的参数方程解：解：由由sin2cos 0 得得2sin2cos ，y2x，故曲线，故曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y2x.故曲线故曲线 C 的参数方程为的参数方程为xt2，yt(t 为参数为参数)，由题意，由

12、题意，M 的直角坐标为的直角坐标为(0,1)，则直线则直线 l 的参数方程为的参数方程为xtcos34，y1tsin34(t 为参数为参数)，即即x22t，y122t(t 为参数为参数)2.参数方程化普通方程参数方程化普通方程(2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为x2cos ，y4sin (为参数为参数)，直线，直线 l 的参数方程为的参数方程为x1tcos ，y2tsin (t 为参数为参数)(1)求求 C 和和 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)若曲线若曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点坐标为所得线段的中点坐

13、标为(1,2)，求，求 l 的斜率的斜率解解：(1)曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为x24y2161.当当 cos 0 时时，l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 ytanx2tan ，当当 cos 0 时，时，l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x1.(2)将将 l 的参数方程代入的参数方程代入 C 的直角坐标方程的直角坐标方程， 整理得关于整理得关于 t 的方程的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线因为曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点所得线段的中点(1,2)在在 C 内，内，所以所以有两个解，设为有两个解，设为 t1，t2，则，则 t1

14、t20.又由又由得得 t1t24 2cos sin 13cos2，故故 2cos sin 0，于是直线于是直线 l 的斜率的斜率 ktan 2.解题方略解题方略参数方程化为普通方程消去参数的方法参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法消参法(2)三角恒等式法三角恒等式法：利用利用 sin2cos21 消去参数消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式：常见消参

15、数的关系式：t1t1；t1t2t1t24；2t1t2 21t21t2 21.考点三考点三极坐标与参数方程的综合应用极坐标与参数方程的综合应用增分考点增分考点广度拓展广度拓展分点研究分点研究题型一题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用直线的参数方程中参数几何意义的应用例例 1(2019 届高三届高三湖北五校联考湖北五校联考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1过点过点 P(a,1)，其参数方程为其参数方程为xa2t2，y12t2(t 为参数，为参数，aR)以以 O 为极点，为极点，x 轴正半轴为极轴，建立轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标系，曲线 C2的极坐标

16、方程为的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线求曲线 C1的普通方程和曲线的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)已知曲线已知曲线 C1与曲线与曲线 C2交于交于 A，B 两点，且两点，且|PA|2|PB|，求实数，求实数 a 的值的值解解(1)曲线曲线 C1的参数方程为的参数方程为xa2t2，y12t2(t 为参数，为参数，aR)，曲线曲线 C1的普通方程为的普通方程为 xya10.曲线曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为cos24cos 0，2cos24cos 20，又又cos x，2x2y2，x24xx2y20，即曲线即曲线 C2的直角坐标方程为的直角坐标方

17、程为 y24x.(2)设设 A，B 两点所对应的参数分别为两点所对应的参数分别为 t1，t2，由由y24x，xa2t2，y12t2，得得 t22 2t28a0.(2 2)24(28a)0，即，即 a0，t1t22 2，t1t228a，根据参数方程中参数的几何意义可知根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|t1|，|PB|t2|，由由|PA|2|PB|得得 t12t2或或 t12t2，当当 t12t2时，有时，有t1t23t22 2，t1t22t2228a，解得解得 a1360，符合题意，符合题意，当当 t12t2时，有时，有t1t2t22 2，t1t22t2228a，解得解得 a940，符合题

18、意，符合题意综上所述，综上所述，a136或或 a94.变式变式 1本例本例(2)的条件变为的条件变为|PA|PB|6.求实数求实数 a 的值的值解：解：由本例解析知由本例解析知|PA|PB|t1|t2|t1t2|28a|6，解得解得 a1 或或12.又又a0，a1.变式变式 2若本例曲线若本例曲线 C1变为过点变为过点 P(0， 1)， 其参数方程为其参数方程为x 2t，y1 2t(t 为参数为参数)，其他条件不变，求其他条件不变，求|PA|PB|.解解： 曲线曲线 C1的参数方程化为的参数方程化为x22t，y122t，代入曲线代入曲线 C2的方程的方程 y24x 得得 t26 2t20.设设

19、 A，B 对应的参数分别为对应的参数分别为 t1，t2，则，则t1t26 2，t1t22，t10，t20.|PA|PB|t1|t2|t1t2|6 2.解题方略解题方略利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点经过点 P(x0， y0)， 倾斜角为倾斜角为的直线的直线 l 的参数方程为的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数为参数) 若若 A，B 为直线为直线 l 上两点上两点，其对应的参数分别为其对应的参数分别为 t1，t2，线段线段 AB 的中点为的中点为 M，点点 M 所对应的参数所对应的参数为为 t0，则以下结论在解题中经

20、常用到：，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t22|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.题型二题型二极坐标方程中极径几何意义的应用极坐标方程中极径几何意义的应用例例 2在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，圆圆 C 的参数方程为的参数方程为x1cos ，ysin (为参数为参数)，以以坐标原点坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆求圆 C 的极坐标方程；的极坐标方程；(2)直线直线 l 的极坐标方程是的极坐标方程是 2sin3 3 3，射线，射线 OM：3与圆

21、与圆 C 的交点为的交点为 O，P，与直线与直线 l 的交点为的交点为 Q Q，求线段，求线段 PQ Q 的长的长解解(1)由圆由圆 C 的参数方程为的参数方程为x1cos ，ysin (为参数为参数)，可得圆可得圆 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y21，即，即 x2y22x0.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为2cos .(2)由由3，2cos 0得得 P1，3 ，由由3，2sin3 3 3得得 Q Q3，3 ，结合图可得结合图可得|PQ Q|OQ Q|OP|Q Q|P|312.解题方略解

22、题方略极径的几何意义及其应用极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径几何意义：极径表示极坐标平面内点表示极坐标平面内点 M 到极点到极点 O 的距离的距离(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题弦长，结合根与系数的关系解题多练强化多练强化1(2019 届高三届高三湖北八校联考湖北八校联考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的参数方程为的参数方程为x 3cos ，ysin (为参数为参数)，以原点，以原点 O 为极点，为极点，x

23、 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线线C2的极坐标方程为的极坐标方程为sin4 2.(1)求曲线求曲线 C1的普通方程与曲线的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)设设 P 为曲线为曲线 C1上的动点，求点上的动点，求点 P 到到 C2的距离的最大值，并求此时点的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标的坐标解：解：(1)曲线曲线 C1的普通方程为的普通方程为x23y21，由由sin4 2，得，得sin cos 2，得曲线，得曲线 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xy20.(2)设点设点 P 的坐标为的坐标为( 3cos ，sin )，则点

24、则点 P 到到 C2的距离为的距离为| 3cos sin 2|2|2sin3 2|2，当当 sin3 1，即，即322k(kZ)，562k(kZ)时，所求距离最大，最大值为时，所求距离最大，最大值为 2 2，此时点此时点 P 的坐标为的坐标为32，12 .2(2018南昌模拟南昌模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为x2cos t，y2sin t2(t为参数为参数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线求曲线 C 的极坐标方程；的极坐标方程；(2)若直线若直线 l1，

25、l2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为16(1R)，223(2R)，设直线，设直线 l1，l2与曲与曲线线 C 的交点分别为的交点分别为 O，M 和和 O，N，求，求OMN 的面积的面积解：解：(1)由参数方程由参数方程x2cos t，y2sin t2得普通方程为得普通方程为 x2(y2)24，把把xcos ，ysin 代入代入 x2(y2)24，得，得24sin 0.所以曲线所以曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为4sin .(2)由直线由直线 l1：16(1R)与曲线与曲线 C 的交点为的交点为 O，M，得，得|OM|4sin62.由直线由直线 l2：223(2R)与曲线与曲线 C 的

26、交点为的交点为 O，N，得，得|ON|4sin232 3.易知易知MON2，所以所以 SOMN12|OM|ON|1222 32 3.专题过关检测专题过关检测1在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆半圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为4cos ，0，2 .(1)求半圆求半圆 C 的参数方程；的参数方程；(2)若半圆若半圆 C 与圆与圆 D：(x5)2(y 3)2m(m 是常数是常数，m0)相切相切，试求切点的直角坐试求切点的直角坐标标解：解：(1)半圆半圆 C 的普通方程为的普通方程

27、为(x2)2y24(0y2)，则半圆则半圆 C 的参数方程为的参数方程为x22cos t，y2sin t(t 为参数，为参数，0t)(2)C，D 的圆心坐标分别为的圆心坐标分别为(2,0)，(5， 3)，于是直线于是直线 CD 的斜率的斜率 k305233.由于切点必在两个圆心的连线上，由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数故切点对应的参数 t 满足满足 tan t33，t6，所以切点的直角坐标为所以切点的直角坐标为22cos6，2sin6 ，即，即(2 3，1)2(2018贵阳摸底考试贵阳摸底考试)曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为x2cos ，ysin (为参数为参数)，以坐标

28、原点为以坐标原点为极点，极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为cos4 2.(1)写出写出 C 的普通方程，并用的普通方程，并用xx0tcos ，yy0tsin (为直线的倾斜角，为直线的倾斜角，t 为参数为参数)的形式写的形式写出直线出直线 l 的一个参数方程；的一个参数方程；(2)l 与与 C 是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由解：解：(1)C 的普通方程为的普通方程为x24y21，由由cos4 2得得 xy20，则直线则直线 l 的倾斜角

29、为的倾斜角为4，又直线又直线 l 过点过点(2,0)，得直线得直线 l 的一个参数方程为的一个参数方程为x222t，y22t(t 为参数为参数)(2)将将 l 的参数方程代入的参数方程代入 C 的普通方程得的普通方程得5t24 2t0，解得，解得 t10，t24 25，显然显然 l 与与 C 有两个交点，有两个交点，分别记为分别记为 A，B，且，且|AB|t1t2|4 25.3在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，曲线曲线 C1的参数方程为的参数方程为xcos ，y 3sin (为参数为参数)，以坐标以坐标原点为极点原点为极点， 以以 x 轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴， 建立极坐

30、标系建立极坐标系， 曲线曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为cos4 3 2.(1)写出写出 C1的普通方程和的普通方程和 C2的直角坐标方程的直角坐标方程(2)设点设点 P 在在 C1上，点上，点 Q Q 在在 C2上，求上，求|PQ Q|的最小值及此时点的最小值及此时点 P 的直角坐标的直角坐标解：解：(1)曲线曲线 C1的参数方程为的参数方程为xcos ，y 3sin (为参数为参数)，普通方程为，普通方程为 x2y231，曲线曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为cos4 3 2，即即cos sin 60，直角坐标方程为，直角坐标方程为 xy60.(2)设设 P(cos ， 3sin

31、 )，则，则|PQ Q|的最小值为的最小值为 P 到到 xy60 距离，距离，即即|cos 3sin 6|2 2|sin6 3|，当且仅当当且仅当2k3(kZ)时，时，|PQ Q|取得最小值取得最小值 2 2，此时此时 P12，32 .4(2018贵阳适应性考试贵阳适应性考试)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，曲线曲线 C：x 3cos ，ysin (为参为参数数)，在以原点，在以原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为22cos4 1.(1)求曲线求曲线 C 的普通方程和直线的普通方程和

32、直线 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)过点过点 M(1,0)且与直线且与直线 l 平行的直线平行的直线 l1交曲线交曲线 C 于于 A，B 两点，求点两点，求点 M 到到 A，B 两两点的距离之和点的距离之和解：解：(1)曲线曲线 C 的普通方程为的普通方程为x23y21，由由22cos4 1，得，得cos sin 2，所以直线所以直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xy20.(2)直线直线 l1的参数方程为的参数方程为x122t，y22t(t 为参数为参数)，将其代入将其代入x23y21 中中，化简化简得得2t2 2t20，设设 A，B 两点对应的参数分别为两点对应的参数分

33、别为 t1，t2，则则 t1t222，t1t21，所以所以|MA|MB|t1|t2|t1t2| t1t2 24t1t22224 1 3 22.5 (2018福州 四校 联考福州 四校 联考)在平 面直 角坐 标系在平 面直 角坐 标系 xOy 中， 曲线中， 曲线 C1的参 数方 程为的参 数方 程为x2cos ，y2sin (为参数为参数)， 直线直线 C2的方程为的方程为 y 3x.以坐标原点以坐标原点 O 为极点为极点， x 轴的正半轴轴的正半轴为极轴建立极坐标系为极轴建立极坐标系(1)求曲线求曲线 C1和直线和直线 C2的极坐标方程；的极坐标方程；(2)若直线若直线 C2与曲线与曲线

34、C1交于交于 A，B 两点，求两点，求1|OA|1|OB|.解解：(1)由曲线由曲线 C1的参数方程为的参数方程为x2cos ，y2sin (为参数为参数)，得曲线得曲线 C1的普通方程为的普通方程为(x2)2(y2)21，则则 C1的极坐标方程为的极坐标方程为24cos 4sin 70，由于直线由于直线 C2过原点，且倾斜角为过原点，且倾斜角为3，故其极坐标方程为，故其极坐标方程为3(R)(tan 3)(2)由由24cos 4sin 70，3得得2(2 32)70，设设 A，B 对应的极径分别为对应的极径分别为1，2，则，则122 32，127，1|OA|1|OB|OA|OB|OA|OB|1

35、2122 327.6极坐标系与直角坐标系极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位有相同的长度单位，以原点以原点 O 为极点为极点，x 轴的正半轴为轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为4cos ，曲线，曲线 C2的参数方程为的参数方程为xmtcos ，ytsin (t 为参数，为参数，0)，射线，射线，4，4与曲线与曲线 C1交于交于(不不包括极点包括极点 O)三点三点 A，B，C.(1)求证：求证：|OB|OC| 2|OA|；(2)当当12时，时，B，C 两点在曲线两点在曲线 C2上，求上，求 m 与与的值的值解：解：(1)证明：

36、设点证明：设点 A，B，C 的极坐标分别为的极坐标分别为(1，)，2，4 ，3，4 ，因为点因为点 A，B，C 在曲线在曲线 C1上，上，所以所以14cos ，24cos4 ，34cos4 ，所以所以|OB|OC|234cos4 4cos4 4 2cos 21，故故|OB|OC| 2|OA|.(2)由曲线由曲线 C2的方程知曲线的方程知曲线 C2是经过定点是经过定点(m,0)且倾斜角为且倾斜角为的直线的直线当当12时，时，B，C 两点的极坐标分别为两点的极坐标分别为 2，3，2 3，6，化为直角坐标为化为直角坐标为 B(1， 3)，C(3， 3)，所以所以 tan 3 331 3，又，又 0，

37、所以，所以23.故曲线故曲线 C2的方程为的方程为 y 3(x2)，易知曲线，易知曲线 C2恒过点恒过点(2,0)，即，即 m2.7在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，直线直线 l 的参数方程为的参数方程为x1tcos ，y 3tsin (t 为参数为参数)，其其中中0，在以，在以 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1：4cos .直线直线 l与曲线与曲线 C1相切相切(1)将曲线将曲线 C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求的极坐标方程化为直角坐标方程，并求的值的值(2)已知点已知点 Q Q(2,0)，直线，直线 l

38、与曲线与曲线 C2：x2y231 交于交于 A，B 两点，求两点，求ABQ Q 的面积的面积解：解：(1)曲线曲线 C1：4cos ，即，即24cos ，化为直角坐标方程为，化为直角坐标方程为 x2y24x，即，即 C1：(x2)2y24，可得圆心，可得圆心(2,0)，半径，半径 r2，直线直线 l 的参数方程为的参数方程为x1tcos ，y 3tsin (t 为参数为参数)，其中其中 0，由题意由题意 l 与与 C1相切相切，可得普通方程为可得普通方程为 y 3k(x1)，ktan ，0且且2，因为直线因为直线 l 与曲线与曲线 C1相切，所以相切，所以|k 3|k212，所以所以 k33，

39、所以，所以6.(2)直线直线 l 的方程为的方程为 y33x2 33，代入曲线代入曲线 C2：x2y231，整理可得，整理可得 10 x24x50，设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 x1x225，x1x212，所以所以|AB|113252412 6 25，Q Q 到直线的距离到直线的距离 d4 331312，所以所以ABQ Q 的面积的面积 S126 2526 25.8已知直线已知直线 L 的参数方程为的参数方程为x2t，y22t(t 为参数为参数)，以原点以原点 O 为极点为极点，x 轴的正半轴轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为的

40、极坐标方程为213cos2.(1)求直线求直线 L 的极坐标方程和曲线的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)过曲线过曲线 C 上任意一点上任意一点 P 作与直线作与直线 L 夹角为夹角为3的直线的直线 l， 设直线设直线 l 与直线与直线 L 的交点为的交点为 A，求求|PA|的最大值的最大值解：解：(1)由由x2t，y22t(t 为参数为参数)，得，得 L 的普通方程为的普通方程为 2xy60，令令 xcos ，ysin ，得直线得直线 L 的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos sin 60，由曲线由曲线 C 的极坐标方程，知的极坐标方程，知232cos24，所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x2y241.(2)由由(1)，知直线，知直线 L 的普通方程为的普通方程为 2xy60，设曲线设曲线 C 上任意一点上任意一点 P(cos ，2sin )，则点则点 P 到直线到直线 L 的距离的距离 d|2cos 2sin 6|5.由题意得由题意得|PA|dsin34 15|2sin4 3|15，所以当所以当 sin4 1 时，时，|PA|取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为4 15 3 2 15.