数学新同步湘教版选修22讲义精练：第4章 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 Word版含解析

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1、 43.3 三次函数的性质：单调区间和极值三次函数的性质：单调区间和极值 读教材读教材 填要点填要点 1三次函数的性质：单调区间和极值三次函数的性质：单调区间和极值 设设 F(x)ax3bx2cxd(a0)，则，则 F(x)3ax22bxc 是二次函数是二次函数 (1)函数函数 F(x)没有零点，没有零点，F(x)在在(，)上不变号，则：上不变号，则： 若若 a0，则，则 F(x)恒恒正正，F(x)在在(，)上递上递增增； 若若 a0，则，则 F(x)恒恒负负，F(x)在在(，)上递上递减减 (2)函数函数 F(x)有一有一个零点个零点 xw，则：，则： 若若 a0，则，则 F(x)在在(，w

2、)(w，)上恒上恒正正，F(x)在在(，)上递上递增增； 若若 a0，则，则 F(x)在在(，w)(w，)上恒上恒负负，F(x)在在(，)上递上递减减 (3)函数函数 F(x)有两个零点，有两个零点，xu 和和 xv，设，设 uv，则：，则： 若若 a0，则，则 F(x)在在(，u)和和(v，)上为上为正正，在，在(u，v)上为上为负负；对应地，；对应地，F(x)在在(，u)上递上递增增，在，在(u，v)上递上递减减，在，在(v，)上递上递增增 可见可见 F(x)在在 xu 处取处取极大极大值，在值，在 xv 处取处取极小极小值值 若若 a0，则，则 F(x)在在(，u)和和(v，)上为上为负

3、负，在，在(u，v)上为上为正正；对应地，；对应地，F(x)在在(，u)上递上递减减，在，在(u，v)上递上递增增，在，在(v，)上递上递减减 可见可见 F(x)在在 xu 处取处取极小极小值，在值，在 xv 处取处取极大极大值值 2求函数求函数 yf(x)在在a，b上的最值的步骤上的最值的步骤 (1)求函数求函数 yf(x)在在(a，b)内的极值；内的极值； (2)将函数将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最小的一个是最小值 小问题小问题 大思维大思维 1根据

4、三次函数的性质能否画出其图象草图？根据三次函数的性质能否画出其图象草图？ 提示：提示：根据三次函数的单调性、极值，根据三次函数的单调性、极值，可以画出可以画出 2在区间在区间a，b上函数上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a，b上一上一定存在最值和极值吗？在区间定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？上呢？ 提示：提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数一定有最值，但不一定有极值如果函数 f(x)在在a，b上是单调的，此时上是单调的，此时 f(x)在在a，b上无极值；如果上无极值；如果 f(x)在在a，b上不是单调函数，则上不是单调函

5、数，则 f(x)在在a，b上有极值当上有极值当 f(x)在在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值上为单调函数时，它既没有最值也没有极值 三次函数性质的确定与应用三次函数性质的确定与应用 设函数设函数 f(x)x36x5，xR. (1)求函数求函数 f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值； (2)若关于若关于 x 的方程的方程 f(x)a 有三个不同实根，求实数有三个不同实根，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (3)已知当已知当 x(1，)时，时，f(x)k(x1)恒成立，求实数恒成立，求实数 k 的取值范围的取值范围 自主解答自主解答 (1)f(x)3x26， 令令 f(x

6、)0，解得，解得 x1 2，x2 2， 当当 x 2或或 x 2时，时，f(x)0； 当当 2x 2时，时，f(x)0. f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(， 2)和和( 2，)； f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为( 2， 2) 当当 x 2时，时，f(x)有极大值有极大值 54 2； 当当 x 2时，时，f(x)有极小值有极小值 54 2. (2)由由(1)知，函数知，函数 yf(x)的图象大致形状如图所示，的图象大致形状如图所示， 当当 54 2a54 2时，直线时，直线 ya 与与 yf(x)的图象有三个不同交点，的图象有三个不同交点， 即方程即方程 f(x)a 有三个不

7、同的解有三个不同的解 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是(54 2，54 2) (3)f(x)k(x1)， 即即(x1)(x2x5)k(x1) x1，kx2x5 在在(1，)上恒成立上恒成立 令令 g(x)x2x5，g(x)在在(1，)上是增函数，上是增函数， g(x)g(1)3.k 的取值范围是的取值范围是(，3 1求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决式的求解问题去解决 2解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，解决不等式恒成立问题

8、，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理， 而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式 f(x)g(x)(f(x)0(F(x)f(x)g(x)1c12恒成立，求恒成立，求 c 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f(x)3x22axb. 由题意，得由题意，得 f 1 0，f 2 0，即即 32ab0，124ab0， 解得解得 a32，b6. (2)由由(1)知知 f(x)3x23x63(x2)(x1) 令令 f(x)0，得，得 x2 或或 x1. 当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表所示：变化情况如下表所示： x

9、 3 (3， ， 2) 2 (2,1) 1 (1,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 92c 极大值极大值 c10 极小值极小值 c72 2c f(x)在在3,2上的最小值为上的最小值为 c72.即即1c123 132. 即即 c 的取值范围为的取值范围为 3 132，0 3 132， . 求函数的最值求函数的最值 求下列各函数的最值求下列各函数的最值 (1)f(x)x42x23，x3,2； (2)f(x)x33x26x2，x1,1 自主解答自主解答 (1)f(x)4x34x， 令令 f(x)4x(x1)(x1)0，得，得 x1 或或 x0 或或 x1. 当当 x 变化时，变化时，f(x)及

10、及 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： x 3 (3， 1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f(x) 0 0 0 f(x) 60 极大极大 值值 4 极小极小 值值 3 极大极大 值值 4 5 当当 x3 时，时，f(x)取最小值取最小值60； 当当 x1 或或 x1 时，时，f(x)取最大值取最大值 4. (2)f(x)3x26x6 3(x22x2)3(x1)23， f(x)在在1,1内恒大于内恒大于 0， f(x)在在1,1上为增函数上为增函数 故故 x1 时，时，f(x)最小值最小值12；x1 时，时，f(x)最大值最大值2. 即即 f(x)的最小值为的最

11、小值为12，最大值为，最大值为 2. 求函数最值的求函数最值的 4 个步骤个步骤 注意注意 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较 2已知函数已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线，曲线 yf(x)在点在点 x1 处的切线为处的切线为 l：3xy10，若若 x23时，时，yf(x)有极值有极值 (1)求求 a，b，c 的值；的值； (2)求求 yf(x)在在3,1上的最大值和最小值上的最大值和最小值 解：解：(1)由由 f(x)x3ax2bxc， 得得 f(x)3x22axb. 当当 x1 时，切线时，切线 l 的斜率为的斜率

12、为 3，可得，可得 2ab0， 当当 x23时，时，yf(x)有极值，则有极值，则 f 230， 可得可得 4a3b40， 由由，解得，解得 a2，b4. 由于切点的横坐标为由于切点的横坐标为 1，所以，所以 f(1)4. 所以所以 1abc4，得，得 c5. (2)由由(1)可得可得 f(x)x32x24x5， f(x)3x24x4. 令令 f(x)0，解得，解得 x12，x223. 当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：的取值及变化情况如下表所示： x 3 (3，2) 2 2，23 23 23，1 1 f(x) 0 0 f(x) 8 13 9527 4 所

13、以所以 yf(x)在在3,1上的最大值为上的最大值为 13，最小值为，最小值为9527. 已知函数的最值求参数已知函数的最值求参数 已知函数已知函数 f(x)ax36ax2b 在在1,2上有最大值上有最大值 3，最小值，最小值29，求，求 a，b 的的值值 自主解答自主解答 依题意，显然依题意，显然 a0. 因为因为 f(x)3ax212ax3ax(x4)，x1,2， 所以令所以令 f(x)0，解得，解得 x10，x24(舍去舍去) (1)若若 a0，当，当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： x 1 (1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x

14、) 7ab 极大值极大值 b 16ab 由上表知，当由上表知，当 x0 时，时，f(x)取得最大值，取得最大值， 所以所以 f(0)b3. 又又 f(2)16a3，f(1)7a3， 故故 f(1)f(2)， 所以当所以当 x2 时，时，f(x)取得最小值取得最小值 即即16a329，a2. (2)若若 af(1) 所以当所以当 x2 时，时，f(x)取得最大值取得最大值 即即16a293，a2. 综上所述，所求综上所述，所求 a，b 的值为的值为 a2，b3或或 a2，b29. 由函数的由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用最值来确定参数的问题是利用导数求函

15、数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用 3 已知函数 已知函数 f(x)2x36x2a 在在2,2上有最小值上有最小值37， 求， 求 a 的值， 并求的值， 并求 f(x)在在2,2上的最大值上的最大值 解：解：f(x)6x212x6x(x2)， 由由 f(x)0，得，得 x0 或或 x2. 当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：变化情况如下表： x 2 (2,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 40a 极大

16、值极大值 a 8a 当当 x2 时，时，f(x)min40a37，得，得 a3.当当 x0 时，时，f(x)最大值是最大值是 3. 设设 f(x)14(x33x)，讨论关于，讨论关于 x 的方程的方程 f(x)m0 的解的个数情况的解的个数情况 巧思巧思 判断三次函数判断三次函数 f(x)的单调性并求得极值，画出其草图，将方程解的个数转化为的单调性并求得极值，画出其草图，将方程解的个数转化为两个函数图象的交点个数问题两个函数图象的交点个数问题 妙解妙解 f(x)14(3x23)34(x1)(x1)， 令令 f(x)0 得得 x 1. 当当 x 变化时，变化时，f(x)与与 f(x)的变化情况列

17、表如下：的变化情况列表如下： x (，1) 1 (1,1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值极大值12 极小值极小值12 画出画出 f(x)14(x33x)的草图，如图所示：的草图，如图所示： 方程方程 f(x)m0 的解的情况如下：的解的情况如下： (1)当当 m12或或 m12时，时， 方程方程 f(x)m0 有有一个解；一个解； (2)当当 m12或或 m12时，时， 方程方程 f(x)m0 有两个解；有两个解； (3)当当12m12时，方程时，方程 f(x)m0 有三个解有三个解 1 函数 函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象如图，的图象如图， |x1|x2|， 则

18、有， 则有( ) Aa0，b0，c0，d0 Ba0，b0，c0，d0 Ca0，b0，c0，d0 Da0，b0，c0，d0 解析：解析：由由 f(x)图象可得图象可得 f(0)d0. f(x)3ax22bxc，由题意知，由题意知，f(x)的图象如图的图象如图 a0，c0，2b23a0b0. 答案：答案：C 2函数函数 y2x33x212x5 在在2,1上的最大值、最小值分别是上的最大值、最小值分别是( ) A12，8 B1，8 C12，15 D5，16 解析：解析：y6x26x12， 由由 y0 x1 或或 x2(舍去舍去) x2 时，时，y1；x1 时，时， y12；x1 时，时，y8. ym

19、ax12，ymin8.故选故选 A. 答案：答案：A 3函数函数 f(x)x33x(|x|1)( ) A有最大值，但无最小值有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值有最大值，也有最小值 C无最大值，但有最小值无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值既无最大值，也无最小值 解析：解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当，当 x(1,1)时，时，f(x)0， 所以所以 f(x)在在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值上是单调递减函数，无最大值和最小值 答案：答案：D 4已知函数已知函数 f(x)x33ax23(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数既有极大值又有极小值，则实

20、数 a 的取值范的取值范围是围是_ 解析：解析：f(x)3x26ax3(a2)，因为函数，因为函数 f(x)既有极大值又有极小值，既有极大值又有极小值， 所以方程所以方程 f(x)0 有两个不等根，有两个不等根，36a2433(a2)0， 解得解得 a1 或或 a2. 答案：答案：(，1)(2，) 5若函数若函数 f(x)x33xa 在区间在区间0,3上的最大值、最小值分别为上的最大值、最小值分别为 m，n，则，则 mn_. 解析：解析：f(x)3x23， 当当 x1 或或 x1 时，时，f(x)0； 当当1x1 时，时，f(x)0. f(x)在在0,1上单调递减，在上单调递减，在1,3上单调

21、递增上单调递增 f(x)minf(1)13a2an. 又又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3) f(x)maxf(3)18am， mn18a(2a)20. 答案：答案：20 6已知已知 a 为实数，为实数，f(x)(x24)(xa) (1)求导数求导数 f(x)； (2)若若 f(1)0，求，求 f(x)在在 2,2上的最大值和最小值；上的最大值和最小值； (3)若若 f(x)在在(x，2和和2，)上都是递增的，求上都是递增的，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f(x)x3ax24x4a， 则则 f(x)3x22ax4. (2)由由 f(1)0，得，得 a12， 此时有此时有

22、 f(x)(x24) x12， f(x)3x2x4. 由由 f(x)0，得，得 x43或或 x1. 又又 f 435027，f(1)92，f(2)0，f(2)0. f(x)在在2,2上的最大值为上的最大值为92，最小值为，最小值为5027. (3)f(x)3x22ax4 的图象为开口向上且过的图象为开口向上且过(0，4)的抛物线，的抛物线， 由条件得由条件得 f(2)0，f(2)0. 即即 4a80，84a0，2a2， 即即 a 的取值范围是的取值范围是2,2 一、选择题一、选择题 1函数函数 yf(x)在在a，b上上( ) A极大值一定比极小值大极大值一定比极小值大 B极大值一定是最大值极大

23、值一定是最大值 C最大值一定是极大值最大值一定是极大值 D最大值一定大于极小值最大值一定大于极小值 解析：解析：由最值与极值的概念可知，由最值与极值的概念可知，D 选项正确选项正确 答案：答案：D 2若函数若函数 f(x)x33x29xk 在区间在区间4,4上的最大值为上的最大值为 10，则其最小值为，则其最小值为( ) A10 B71 C15 D22 解析：解析：f(x)3x26x93(x3)(x1) 由由 f(x)0，得，得 x3 或或 x1. 又又 f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20. 由由 f(x)maxk510，得，得 k5，f(x)mink7671. 答案

24、：答案：B 3已知函数已知函数 f(x)2x3ax236x24 在在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A(2,3) B(3，) C(2，) D(，3) 解析：解析：f(x)6x22ax36， 由题意得由题意得 f(2)244a360. a15. f(x)6x230 x366(x2)(x3)， 易知在易知在(3，)上是递增的上是递增的 答案：答案：B 4若若 x2 与与 x4 是函数是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点，则有的两个极值点，则有( ) Aa2，b4 Ba3，b24 Ca1，b3 Da2，b4 解析：解析：f(x)3x22ax

25、b，依题意有，依题意有2 和和 4 是方程是方程 3x22axb0 的两个根，的两个根， 所以有所以有2a324，b324，解得，解得 a3，b24. 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 5 已知 已知 y13x3bx2(b2)x3 在在 R 上不是单调增函数， 则上不是单调增函数， 则 b 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：若若 yx22bxb20 恒成立，恒成立， 则则 4b24(b2)0，1b2. 由题意可知由题意可知 b1 或或 b2. 答案：答案：(，1)(2，) 6函数函数 f(x)x33x23x4 在在0,2上的最小值是上的最小值是_ 解析：解析：f(x)x22x3， 令

26、令 f(x)0，得，得 x1(x3 舍去舍去)， 又又 f(0)4，f(1)173，f(2)103， 故故 f(x)在在0,2上的最小值是上的最小值是 f(1)173. 答案：答案：173 7已知函数已知函数 f(x)x33mx2nxm2在在 x1 时有极值时有极值 0，则，则 mn_. 解析：解析：f(x)3x26mxn， 由已知可得由已知可得 f 1 1 33m 1 2n 1 m20，f 1 3 1 26m 1 n0， m1，n3或或 m2，n9， 当当 m1，n3时，时，f(x)3x26x33(x1)20 恒成立与恒成立与 x1 是极值点矛盾，是极值点矛盾， 当当 m2，n9时，时，f(

27、x)3x212x93(x1)(x3)， 显然显然 x1 是极值点，符合题意，是极值点，符合题意，mn11. 答案：答案：11 8已知函数已知函数 f(x)x22x3 在区间在区间a,2上的最大值为上的最大值为154，则，则 a_. 解析：解析：f(x)2x2，令，令 f(x)0，得，得 x1， 函数在函数在(，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减上单调递减 若若 a1，则最大值为，则最大值为 f(a)a22a3154，解得，解得 a12 a32舍去舍去 ； 若若 a1，则最大值为，则最大值为 f(1)1234154. 综上知，综上知，a12. 答案：答案：12 三、三、解答题解答

28、题 9已知函数已知函数 f(x)x3ax2bx5，曲线，曲线 yf(x)在点在点 P(1，f(1)处的切线方程为处的切线方程为 y 3x1. (1)求求 a，b 的值；的值； (2)求求 yf(x)在在3,1上的最大值上的最大值 解：解：(1)依题意可知点依题意可知点 P(1，f(1)为切点，代入切线方程为切点，代入切线方程 y3x1 可得，可得，f(1)3114， f(1)1ab54，即，即 ab2， 又由又由 f(x)x3ax2bx5 得，得， 又又 f(x)3x22axb， 而由切线而由切线 y3x1 的斜率可知的斜率可知 f(1)3， 32ab3，即，即 2ab0， 由由 ab2，2a

29、b0.解得解得 a2，b4， a2，b4. (2)由由(1)知知 f(x)x32x24x5， f(x)3x24x4(3x2)(x2)， 令令 f(x)0，得，得 x23或或 x2. 当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： x 3 (3，2) 2 2，23 23 23，1 1 f(x) 0 0 f(x) 8 极大值极大值 极小值极小值 4 f(x)的极大值为的极大值为 f(2)13，极小值为，极小值为 f 239527， 又又 f(3)8，f(1)4， f(x)在在3,1上的最大值为上的最大值为 13. 10设函数设函数 f(x)x3ax2x1，aR.

30、(1)若若 x1 时，函数时，函数 f(x)取得极值，求函数取得极值，求函数 f(x)的图象在的图象在 x1 处的切线方程；处的切线方程； (2)若函数若函数 f(x)在区间在区间 12，1 内不单调，求实数内不单调，求实数 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f(x)3x22ax1， 由由 f(1)0，得，得 a2， f(x)x32x2x1， 当当 x1 时，时，y3， 即切点为即切点为(1，3)，kf(x0)3x204x01， 令令 x01，得，得 k8， 切线方程为切线方程为 8xy50. (2)f(x)在区间在区间 12，1 内不单调，内不单调， 即即 f(x)0 在在 12，1 有解，有解， 3x22ax10,2ax3x21， x 12，1 ，2a3x1x， 令令 h(x)3x1x， 则则 h(x)31x2，由，由 h(x)0，得，得12x33； 由由 h(x)0，得，得33x1， 所以所以 h(x)在在 33，1 上单调递减，在上单调递减，在 12，33上单调递增，上单调递增， h(1)h(x)h 33， 即即 h(x)(4，2 3， 42a2 3，即，即2a 3， 而当而当 a 3时，时， f(x)3x22 3x1( 3x1)20， 不符合题意舍去，不符合题意舍去， 综上，综上，a 的取值范围为的取值范围为(2， 3)