《精校版人教版高中数学选修41：1.3双垂直条件下的计算与证明问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精校版人教版高中数学选修41：1.3双垂直条件下的计算与证明问题（4页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料双垂直条件下的计算与证明问题 “双垂直”指：“RtABC中，BCA=900，CDAB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论： （1）ADCCDBACB （2）由ADCCDB得CD2=AD·BD （3）由ADCACB得AC2=AD·AB （4）由CDBACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。 例1如图，已知RtABC中，ACB=900，CDAB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长： （1）AC=3，BC=4； （2）AC=
2、，AD=2； （3）AD=5，DB=； （4）BD=4，AB=29。 分析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。 解：RtABC中，ACB=90°，CDAB于D， （1）AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=， AC2=AD·AB，AD=， BD=AB-AD=， CD·AB=AC·BC， CD=（或利用CD2=AD·BD来求） （2）AC=，AD=2，AC2=AD·AB， CD=， BD=AB-AD，BD=， BC2=BD·AB，且BC>0， BC=（3）AD=5，DB=，且C
3、D2=AD·BD， CD= AB=AD+BD=AC2=AD·AB， AC= BC2=BD·AB， BC=（4）BD=4，AB=29，BC2=BD·AB， BC=， AD=AB-BD=29-4=25， AC2=AD·AB， AC=， CD2=AD·BD， CD= 例2已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC=BC，FC=CD，FGAE于G。 求证：AG=4GE。 分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k (k>0)，则EC=BC=k, FC=CD=AB=3k
4、，得DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2，EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得RtAFE，又因为FGAE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。 证明：AB：BC=5：6， 设AB=5k, BC=6k (k>0), 在矩形ABCD中，有 CD=AB=5k, BC=AD=6k, B=C=D=900, EC=BC, EC=×6k=k,BE=5k, FC=CD, FC=×5k=3k, DF=CD-FC=2k， 在RtADF中，由勾股定理得 AF2=AD2+DF2=36k2+4k
5、2=40k2， 同理可得AE2=50k2, EF2=10k2， AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2, AEF是Rt（勾股定理逆定理）， FGAE，AFEFGE， EF2=GE·AE，AE=GE=, 4GE=4k, AG=AE-GE=5k-k=4k, AG=4GE. 例3已知：如图，RtABC中,ACB=900，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F。 求证：AE·BF·AB=CD3。 证明：RtABC中,ACB=90°，CDAB， CD2=AD·BD， CD4=AD2·BD2， 又 RtADC中，DEAC，RtBDC中，DFBC， AD2=AE·AC，BD2=BF·BC， CD4=AE·BF·AC·BC， 又 AC·BC=AB·CD， CD4=AE·BF·AB·CD， AE·BF·AB=CD3 说明：本题几次用到直角三角形中的重要等积式。请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。最新精品资料
精校版人教版高中数学选修41：1.3双垂直条件下的计算与证明问题
