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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料第 1 课时参数方程的概念核心必知1参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数xf（t） ，yg（t） ，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组叫做这条曲线的参数方程联系变量 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数2普通方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程问题思考1参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有
2、明显实际意义的变数2曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样如x4t1，y2t（tR）和x2m1，ym(mR) 都表示直线 x2y1.已知曲线 C 的参数方程是x2t，y3t21(t 为参数)(1)判断点 M1(0，1)和 M2(4，10)与曲线 C 的位置关系；(2)已知点 M(2，a)在曲线 C 上，求 a 的值精讲详析本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在(1)把点 M1的坐标代入参数方程x2t，y3t21，得02t，13t21，t0.即点 M1在曲线 C 上把点 M2的坐标代入参数方程x2t
3、，y3t21，得42t，103t21，方程组无解即点 M2不在曲线 C 上(2)点 M(2，a)在曲线 C 上，22t，a3t21.t1，a31212.即 a 的值为 2.已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上1已知曲线x2sin1，ysin3(为参数，0)，则下列各点 A(1，3)，B(2，2)，C(3，5)在曲线上的点是_解析：将 A(1，3)点代入方程得0；将 B、C 点坐标代入方程，方程无解，故 B、C点不在曲线上答案：A(1，3)如图，ABP 是等腰直角三角形，B 是直角，
4、腰长为 a，顶点 B、A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程精讲详析本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示 x 和 y.法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 RtOABRtQBP.取 OBt，t 为参数(0ta)|OA| a2t2，|BQ| a2t2.点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为xt a2t2，yt，(0ta)法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示取QBP，为参数(02)，则ABO2.在 RtOAB 中，|OB
5、|acos (2)asin.在 RtQBP 中，|BQ|acos，|PQ|asin.点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为xa（sincos） ，yasin.(为参数，02)(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标 画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置， 以利于发现变量之间的关系)第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距离”
6、、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来2.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA2a，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQOA 交 OA 于 D，PBOA，试求点 P 的轨迹的参数方程解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ，由 PQOA，PBOA，得 xODOQcosOAcos22acos2，yABOAtan2atan.所以 P 点轨迹的参数方程为x2acos2，y2atan，(
7、2，2)曲线参数方程的应用， 是高考模拟的热点内容 本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点考题印证已知弹道曲线的参数方程为x2tcos6，y2tsin612gt2.(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度命题立意本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用解(1)令 y0，则 2tsin612gt20，解之得 t2g.炮弹从发射到落地所需要的时间为2g.(2)y2tsin612gt212gt2t12g(t22gt)12g(t1g)21g212g(t1g)212g，当 t1g时，y 取最大值12g.即炮弹在运动
8、中达到的最大高度为12g.一、选择题1方程x1sin，ysin 2(是参数)所表示曲线经过下列点中的()A(1，1)B.32，12C.32，32D.2 32，12解析：选 C将点的坐标代入方程：x1sin，ysin 2，解的值若有解，则该点在曲线上2直线 l 的参数方程为xat，ybt(t 为参数)，l 上的点 P1对应的参数是 t1，则点 P1与P(a，b)之间的距离是()A|t1|B2|t1|C. 2|t1|D.22|t1|解析：选 CP1(at1，bt1)，P(a，b)，|P1P| （at1a）2（bt1b）2 t21t21 2|t1|.3已知曲线 C 的参数方程为x64cos，y5ta
9、n3(为参数，2)已知点 M(14，a)在曲线 C 上，则 a()A35 3B35 3C3533D3533解析：选 A(14，a)在曲线 C 上，1464cos，a5tan3.由得：cos12，又2.sin1（12）232，tan 3.a5( 3)335 3.4参数方程xt1t，y2(t 为参数)所表示的曲线是()A一条射线B两条射线C一条直线D两条直线解析：选 B因为 xt1t(，22，)，即 x2 或 x2，故是两条射线二、填空题5 由方程 x2y24tx2ty3t240(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为_解析：由 x2y24tx2ty3t240 得：(x2t)2(yt)
10、242t2.设圆心坐标为(x，y)，则x2t，yt.答案：x2t，yt(t 为参数)6已知某条曲线 C 的参数方程为x12t，yat2(其中 t 为参数，aR)点 M(5，4)在该曲线上，则常数 a_解析：点 M(5，4)在曲线 C 上512t，4at2，解得：t2，a1.a 的值为 1.答案：17曲线(x1)2y24 上点的坐标可以表示为_(填序号)(1cos，sin)，(1sin，cos)，(12cos，2sin)，(12cos，2sin)解析：分别将、代入曲线(x1)2y24 验证可知，只有使方程成立答案：8 动点 M 作匀速直线运动， 它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和
11、12， 运动开始时，点 M 位于 A(1，1)，则点 M 的参数方程为_解析：设 M(x，y)，则在 x 轴上的位移为：x19t，在 y 轴上的位移为 y112t.参数方程为：x19t，y112t.答案：x19t，y112t(t 为参数)三、解答题9设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动，角速度为60rad/s，运动开始时质点位于 A(2，0)，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程解：如图，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t0，设动点 M(x，y)对应时刻 t，由图可知：x2cosy2sin又60t，故参数方程为：x2cos60t，y2sin60t(t 为参数)1
12、0过 M(0，1)作椭圆 x2y241 的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程解：设过 M(0，1)的弦所在的直线方程为 ykx1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)，设中点 P(x，y)则有：xx1x22，yy1y22由ykx1，x2y241得：(k24)y28y44k20y1y28k24，x1x22kk24.xkk24，y4k24.(k 为参数)这就是以动弦斜率 k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程11舰 A 在舰 B 的正东，距离 6 千米；舰 C 在舰 B 的北偏西 30，距离 4 千米它们准备围捕海中某动物，某时刻 A发现动物信号，4 秒后 B、C 同时发现这种信号，A 于是发
13、射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为 1 千米/秒，炮弹初速度为20 3g3千米/秒，其中 g为重力加速度，空气阻力不计，求舰 A 炮击的方位角与仰角解：以 BA 为 x 轴，BA 中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如图)，则 B(3，0)，A(3，0)，C(5，2 3)设海中动物为 P(x，y)因为|BP|CP|，所以 P 在线段 BC 的中垂线上，易知中垂线方程是 y33(x7)又|PB|PA|4，所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x24y251.从而得 P(8，5 3)设xAP，则 tankAP 3，60，这样炮弹发射的方位角为北偏东 30.再以 A 为原点，AP 为 x轴建立坐标系 xAy，(如图)|PA|10，设弹道曲线方程是xv0tcos，yv0tsin12gt2，(其中为仰角)将 P(10，0)代入，消去 t 便得 sin 232，30或 60这样舰 A 发射炮弹的仰角为 30或 60.最新精品资料
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