第六章自适应过滤法

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1、6自适应过滤法6.1自适应过滤法的概述6.2自适应过滤法的应用回总目录6.1自适应过滤法的概述自适应过滤法的基本原理就在于通过其反复迭 代以调整加权系数的过程，“过滤”掉预测误差， 选择出“最佳”加权系数用于预测。整个计算过程 从选取一组初始加权系数开始，然后计算得到预测 值及预测误差（预测值与实际值之差），再根据一 定公茂调整加权索薮以减少误差，经过多次反复迭 代，直至选择岀“最佳”加权系数。由于整个过程 与通信工程申过滤庙输噪声0勺过理极为接近，故被 称为“自适应过滤法”。0是一时间数列则有i = txt y卜袈殳y_i卜八卜反- ”十ijiWl 1 +鮎泊第z+ 1期的预测值+ Wf为权

2、数为权数的个数。小为r - 1期的观察值O假如*1为第/+ 1期的实际值则有R+ i 卩 + i 1 E+ 1 y 十 tC2 y?- I 卜1 TX切冲一卄 1 十 g ic + I 为预测 IM 差 o & +1 = y + i y+ i根擱I适应过滤法的基本思想 我们的目标是调整权数使预测误差达到 最小o依据数学中的最优化原理，収预测误差的平方最小为目标函数，按照最速下降法来逼近“即要使预测误差的平方怎+i下降（或减少）最快、则按照最 优化原理的快速下降法新旧权数之间有:讪x?v +1上式中+ w为调整君的权哉* i亿 为调整前的权数厶i为多元函栽 E+L的偏导数M为步长因子，一般取常数

3、”又称为学习常数。但是Y为了使自 适应过滤性一怎向最小误差收敛，美国的B. W id row证明k取值的条件是：式中川为权数个数，分母表示取时间序列中最大的捉个观察值的平方和。 下而我们给出调整权数的公式（目适应系数表达式）盼1 =如1 - Xh=yj+ I 一 T1 yf 一 12 y- 一.一 yf- ie；+ i = （. y+1 一 wi yf 一 yf-1 一 一 wnyj- 丫对式中wr求偏导数:=2 曰+i （ yf- j+ I ）=一 2 鬥+1 *+1把上式代入w =迥一 kv /+1有w- = zv, + 2 kef+1 yf -+1（匸1,2为权数个数。少为 + 1期的观

4、察值。上式就是调整权数的公式（H适应系数表达式）。即利用上式，调整权数, 使预测误差达到最小。1、自适应过滤法的计算步骤运用自适应过滤法调整权数的计算公式为:闕调整后第i期的权数；明调整前第i期的权数；K调整系数，也称学习常数；弓+1 為+1 為+1第t+1期的预测误差;xt_j+1第ti+1期的观察值。（一）确定加权平均的权数个数P（二）确定初始权数（三）计算预测值（四）计算预测误差（五）权数调整（六）进行迭代调整回总目录回本章目录、自适应过滤法的优点(1) 方法简单易行，可采用标准程序上机运算。(2) 需要数据量较少。(3) 约束条件较少。具有自适应性，它能自动调整权数，是一 种可变系数的

5、模型。回忌目录应用准则(1)自适应过滤法主要适用于水平的数据，对 于有线性趋势的数据，可以应用差分的方法 来消除数据的趋势。(2)当数据的波动较大时，在调整权数之前， 对原始数据值做标准化处理，可以加快调整 速度，使权数迅速收敛于“最佳”的一组权 数，并可使学习常数k的最佳值近似于1/p, 从而使自适应过滤法更为有效。回总目录回本章目录、自适应过滤法的实际应用假设某商品最近5年的销售额资料如下:期数t=1t=2t=3t=4t=5年份20022003200420052006销售额4345485053利用自适应过滤法预测2007年、2008年该商品的 销售额。02本例中，取移动平均项数p=2，初始

6、权数:= 0.5学习常数:12i=502+532= 0.0002-JrnaxLWMk=0.0002K的最大取值不得超过1/p回总目录回本章E根据已知数据，计算t=2时t+1期的预测值:(1)(2)根据幽预龍型E+1 =3 =如2 += 48-44=4(3)调整权数:=0.5+2 X 0.0002 X4X 45 = 0.572 =0.5+2 X 0.0002 X4X43 = 0.569I n j匸目录步骤(1)(3)即是一次迭代调整，然后 用新的权数计算t=3时t+1期的预测值：(1)(2)=53=5053 = -3(3)= 0.572+2 X 0.0002 X (3) X 48 = 0.514

7、陽=0.569+2 X 0.0002 X (-3) X 45 = 0.515再利用上述新的权数计算t=4时t+1期的预测值。 y rt L.rn 回息目求 回本早目求由于没有t=6期的原始数据来计算t=5时 6+1的值，此时第一轮的调整就此结束。现在 把新的权数作为新的初始权数，重新开始新一 轮上2的预测过程。这样反复迭代下去，直到预测误差没有明 显改善时，就认为获得了一组最佳权数，能实 际用来预测2007年、2008年的销售额。本例在调整过程中，经过五轮迭代可使得误差降为零（四舍五入），而权数达到稳定不变，最后得到的最佳权数为:01=0.54,02=0.541回总目录回本章目录回总目录回本章

8、目录兀6因此，可计算得到预测值:= 0.54X53+0.541 X 50=56 （百万元）= 0.54X56+0.541 X53=59 （百万元）该商品在2007年和2008年的销售额分别为 56百万元和59百万元。回总目录回本章目录自适应过滤法程序一:clc,clearyt=32.1,30.5, 38.2, 40.0, 37.2, 32.9, 38.5, 28.2, 35.1,33.6; yhat=；m=length(yt); k=0.0001;N=2; Terr=5;w=0.5 0.5;for i=1:500Terr=;for j=N+1:m yhat(j)=w(1 )*yt(j-1 )+

9、w(2广yt(卜2); err=ytd)-yhat(j);Terr=Terr,abs(err);w(1 )=w(1 )+2*k*err*yt(j-1); w(2)=w(2) +2*k*err*ytd-2)； endTerr=max(Terr);endw3 yhat自适应过滤法程序二:clc,clearyt=32.1,30.5, 38.2, 40.0, 37.2, 32.9, 38.5, 28.2, 35.1,33.6; yhat=;m=length(yt); k=0.0001;N=2; Terr=5;w=ones(1,N)/N;while abs(Terr)0.2Teg;for j=N+1:m

10、 yhat(j)=w(1 )*yt(J-1 )+w(2广yt(卜2); err=ytO)-yhat(j);Terr=Terr,abs(err);w(1 )=w(1 )+2*k*err*yt(j-1)； w(2)=w(2) +2*k*err*yt(j-2);endTerr=ma x(Terr);endw, yhat八标准化处理问题当数据的波动较大时，在调整权数之前， 应对原始数据值做标准化处理。标准化处理一 方面可以加快调整速度，使权数迅速收敛于“最佳”的一组权数，并可使学习常数k的最佳 值近似于1/p ,从而使自适应过法更为有效； 另一方面可以使数据和残差无量纲化，有助于 不同单位时间序列数据

11、的比较。回总目录回本章目录回，込E岂目录标准化公式为:、1/21/2xt-i(PE xt-i1li PX 1/2其中，称为标准化常数。标准化处理问题的步骤第一步:第二步:求岀标准化常数；得岀数据的标准化值;第三步：把已标准化的新序列按照公式进行迭代调整，直至找到最佳权数。回，込E岂目录表63数据的标准化处理tXt(it =另站bt = a?1JTT =心2 / 以工1 = J/-1 Jbt=工&(1)(2)(4)(6)(7)11.973.8821.893.5732.45. 767. 452. 730.720. 690. 8843.210. 249333.050. 620. 791.055278

12、7.7316.004000. 600. 800. 7063.4511.9017. 974. 240.750. 660.8171.93.6119. 634. 430.630. 780. 4382,345,4815.513.946 880. 480. 5992.024,089. 093.010.630780, 67102.56.259. 563.090.760. 650.81然后，可以根据表6-3中(5八(6)、(7)栏中的数据，进行权数的调整。取p=2,可得初始权数，学习常数:&W-F1-尬1 = 1在此，我们取点=0 5。牙=0.5=0. 88,+ 1.05? = 53IXF务.儿】%&TD(

13、3)4) = 期的二上一 崩的佃(6)(S)T=13O 879Q7220.6920. 5-000. 5000.7C70. 1720. S190.624MSE-O. 047 74L04B0.6190. 7850.619&. -6240. 87S0. 1750.7570.53250.6950. 6000.8000. 7570. 732LQ45-Q.3W0,4770.52360.814O.7S56566 4?70. 5230. 7070. 1070 5470. 60370.4290.6270.7790. 5470.6030.040. 375CX Z54O.36A8O5940.8760.4820. 2

14、540. 3680. 445011490. S27OU 9890.6700. 6300. 7760. 3270. 4980.566a 1020.4060.563100.809.7S70.6S3Q406Q. 5630. 6920. 1170.4830.652T-230.8790.7220. 6920. *830. 652(L 80.1a 075Cl 5340.706A*SF-Q. 042 14LOW0.6190- 7860. 5340. 7060.856a 1910. 6850.82450.6950. 6000. 8000, 6850. S241. (M2-0. 3470.4070.616608

15、U0.7550. 6$60-407Q.616Or 732a 03Z0.461Q.67S70.4290.6270. 7790.4610. 6780. 7840.3550. 1840.455g0.5940.8760. 482a 1840. 4556 W0. 1070. 236O 544890.6700.6300. 7760. 236Q. 5480. 5290.1416 3460.638100.6040.7570 653a 34 6G. 383 7OB0. 1000.4110.713T-33Q8790.722Q. 6920.4110. 713。 7990. 0800. 4660.771AfSE-0.

16、041 041.0430.6190. 7850.4660.7710. R430l2(M0.6270.89750. 69S0. 6000.8000-阿Q. 97L Q43一 056 J51a 6906814O.75S0. 6560. 3510. 6900. 7510. 030. 3920.73870.4290.6270. 7790.1920. 7380.768-0. 3590. 128O.5i580.5940.8760.4820.280.5250.S210. 0730. 163a 5ft990.6700.6500. 776a 1630. 890.4970. 1?30. 297a 69710Q 8

17、09Q.757队6$30. 297Q, 970- 7220. 0370. 3540. 763T-430.8790.7220- 692a 3540. 7630.7950.0340. 4.12d &23MSE=0.CM0 841.04A0. 6190- 7?6am0. 8230,833Qr2L&a $8。0. 93650.6950. 6000. 8000. 5&00. 9561.03B一0. M30. S060. 75160.8140.7550. 6560.1060. 7510.767m 047a. 3370. 78670.4290.6270. 7790. 3377860.755一0 3261 6 0820, &8180.5940.8760.4620- 0820. 5$】C. 5490. 0450. LOfl0. 62190.6700.6300.7760.104Q. 2】0.4720. 19Ba 2580. 745100. 8090.7570.6530. 2580 7450.7330.0760. 3&B0.803经过四个迭代循环的调整,WE :机= 则第1】期的预测值为：Xll =如工】002工P世0. 040 8达到最小，得到最佳权=Y （工出Xh-i）2/8 120. 308 融=0. 803：0 308 X 2. 5 + 0. 803 X 2. 02 = 2. 39