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1、小波函数的评价指标讲授内容小波基的评价指标:常用小波短支撑正交小波的构造小波函数的评价指标对称性短支撑（紧支撑）正交性正则性消失矩 线性相位小波函数的评价指标1.1对称性设函数(x)eL2(R),若(p(a + t) =(pa -1),称处)具有对称性,若 (p(a + r) = cpa -1)、称(f)具有反对称性。如果小波函数具有上述 性质，则称具有对称性1.2紧支撑若函数(/)在区间a,切外恒为零，则称t/,b为0的支集或支撑，a,b的 长度称为的支撑长度，“ 0越小，支集越小，具有该性质的小波称 为紧支撑小波或紧支小波。紧支撑是小波的重要性质之一，也是小波 中的小”字的由来，支撑越小的
2、小波，其局部化能力越强，定位的 精度越高。1.3正交性设0(兀)wZ?(R),若函数系(p(x-k)kEZ满足=k IkHl则称函数系为规范正交系。在芒(R)中，当规范正交系完全时，可称为规范正交基。1.4正则性正则性在数学上表现为小波基的可微性或光滑性。与正则性相对 应的一个词是奇异性，用Lipschitz指数来表达。对于Lipschitz指数，有以下结论： 一个信号/(%)的Lipschitz指数a越大，其光滑性越好；a越小其 光滑性越差，奇异性越大。 一个信号f(x)的Lipschitz指数为a ,贝叮于(x)dx的Lipschitz指数为 a + 1, 型M的Lipschitz指数为a
3、-l dx当a0时，小波变换模极大值随尺度增大而增大，当a0时小波变 换模极大值随尺度增大而减小。当a = 0时小波变换模极大值不随尺度 变化I(IJ变化。、一 一一 一 一-、-一-一*_1.5消失矩对于小波函数(x)eL2(R),如果满足/Xi/(x)dx = 0r = 0,1，A ,7?-lJ-00则称0(Q具有R阶消失矩。如果小波的消失矩阶数为R,则其对应的小波滤波器长度不少于2R。在信号检测中，为了能够有效地检测到奇异点，小波基必须具有足够高的消失矩的阶数，它与Lipschitz指数密切相关。然而，突变信号的Lipschitz指数一般在(0,1)内，因此为了分析突变信号，消失矩也不能
4、太高，过高的消失矩阶数将使分析的结果模糊，另外，从计算量的角度来看，消失矩的阶数也不宜过高。X1.6线性相位滤波器的传递函数可以表示为1.6线性相位H(e) =IH(q)丨严)其中，IH(q)I称为系统的幅频特性，而&(劲称为相频特性。如果&S)可以表示为&(6?) = p-aco式中a和0为常数，那么称此滤波器具有线性相位特性。当信号/(对通过一个具有线性相位的滤波器时，其输出信号的频谱为g(e) = H血(効=l H(e) I eiPfeiaa =l H(e) I其输出信号的相位特性，除一常数外，与延时为“的输入信号f(x-a) 的相位特性完全一致。也就是说，当滤波器具有线性相位时，输出信
5、 号将不产生相位畸变。00.20.40.60.80510150510151015Haar、J脅Mexican hai hMor-ei、丁藩Meyer藩Daubechies、藩洲coif-2.亠虑独Biorthogona- 3.4构造实例解析3.4构造实例解析所以P(sin2 ) = 1 + 2sin2 竺=2- cos 2-丄(ej6) + 严) 2 2 2以 Z = ejca 代入上式，得旳二2 丄心+厂)求得M=0的两个实根为Zi.2 =2土巧因为C弓心可得(短和+妁)1 / 2ejco Z1 仁=(f= _ (1 + 3)2 1 + ) = -(l + V3) + (l-心严)2卄3式得HO)1+严2mco)+ Q+（i严）上式即对应4个滤波器系数(1 + 2e-ja + e-j2o/3) = (3-V3)oo1伍_A3=/2g-(l-V3) = (l-)oo4课后预习时频分析的Matlab实现小波分析的应用小波分析的Matlab相关函数5练习1. 试推导岀DB1的滤波器系数、尺度函数与小波函数。提不：a) limx(l-_/A) = jcoA-00b) 矩形单脉冲=的傅里叶变换为 COTsinF) = 2ECOc)小波函数求解请借助Matlab,课后完成2 就波形畸变角度分析，采用DB1还是采用DB2好？为什么?
第十二讲小波基构造与常用小波
