空间向量与立体几何之夹角的计算

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1、1.直线间的夹角(1)当两条直线厶与-共面时，我们把两条直线交角中, 范围在0，兰内的角叫作两直线的夹角._ 2_.B（2）当直线厶与厶是异面直线时，在直线右上任取一点A 作AB/,我们把直线厶和直线AB的夹角叫作异面 直线厶与心的夹角.空间直线由一点和一个方向确定，所以空间直线 的夹角由它们的方向向量的采角确定.abffi设直线/,加的方向向量分别为Q,b,若两直线的夹亀为&r rr r工工0=7i .r rx,r r(1) 当0 兰时,0=(a,b 此时:cos 0 = cos (a,方)二(2) 当厅加寸，I Ia -b-Ta bCOS&=此时:cos& = cos(处仏方)卜丁竺仏方卜

2、mmAfDf闾O因此 COS (S1.S2)=例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD - A BCD, AB = 2, BC= 1, AA = 3求对角线,4和侧面对角线fl）的夹角 &的余弦值.解设对角线.4C和侧面对角线,4 Q的 方向向虽分别是,阻则siAC, 5 2 = 4 fD, 4(0, 0,0), C(2,1,3), A (0,0,3), 7)(0,0), A KC=(2,1,3), ,47) = (0,1, 3).S1-S28I90。,所以C和7）夹角3=H- U1,S2），即co阳二芈J J练习一：P45 1已知直线人的万向向量为耳二(i,t, 1),直线厶的万向 in

3、向量为$2二(T, 2, 0),求两条直线夹角的余弦值2.平面间的夹角二面角定义：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫作二面角。以二面角棱上任一点为端点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是二面角的度数。我们规定二面角大小的范围为0,刃 在两个平面所成的二面角的平面角（0,刃）中，称 范围在b，壬内的角为这两个平面的夹角。2L平面间夹角的范围：0,|设平面G和0的法向量分别为%和U若两个平面的夹角为巾r则,(1)当0 5 仏u) 兰时，0=lu.v,此时:cos = cos/w,v = X|T

4、7 /2/ M V注意法向量的方向：一进一出两平面的夹角等于法向量夹备此时:COS= COSI U-V丄 丄注意法向量的方向：同进同出，两平面的夹角等于小牡设平面Q和0的法向量分别为%和uJ 口：若两个平面的夹角为&,贝I,r、 jr,r、(1) 当0仏 一时，夕=仏,/匕珂 uv此时:cos = cos(u 川 kyrrTTr0=71 U.Vj.r rxzr rrr ,r rx丄 丄uvHH(2) 当厅 仏 加寸，止匕日寸：cos & = cos (龙“，”) =-cos“，”) =/宀 i八 I w V I综上。吩命Ar例2如图，在空间直角坐标系中有单位正方体4 B CI) 川ECDI求平

5、而BCDfA与平面ABCD的夹角& .解设平BCI)fAf与平而丄BCD的 法向虽分别是m和2,则”2 = (0, 0,1), V 4 X0, 0,1), B(0,1, 0), C(l, 1, 0), .4 =(0,1,-1), BC=(l,0, 0).bi ,4f3=0, fv-:=0,设肝():尸)侧_ 即丿A C二Q,卜：二取 721=(0, 1, 1),得,、 ni*m QCOS 111,7/ 2)= Fi = _ nini 23=山皿=-4若取平面的法向量711 = （0, 一1,一1）,则n in 2COS122此吋，“斗因此，平丽CDW与平面CD的夹角7T3ti0= n i,n

6、27T4此吋5=丁,因此,平面心父与平面嗣CD的夹角练习二：P45 2已知平面厲的法向量为匚二(1, 2, 3),平面龙2的法向量in为二(T，0, 2)，求两个平面夹角的余弦值3直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作 该直线与此平面的夹角.Oeo9-2(1) 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们 规定这条直线与此平面的夹角为0(2) 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直 线与此平面的夹角为仝.设平面Q的法向量分别为二直线伯勺方向向量为2,r r 龙）2 J此时:sin & = sin严r= -cos 仏 aa设平面Q的法向量分别为2直线伯勺方向向量为2若直线

7、/与平面的夹角为夹角为P 3jr / r r、（2）当v仏加寸,0 a),0,frrr二 cos 仏 a兀.2小结：/ r r、 jt(1)当0 5 仏a) 一时,止匕时:sin & = sinL L ua Hkl 0=(%,a)_ 扌，= -cos 仏 a)二综上:sin0 =设平面Q的法向量分别为2直线伯勺方向向量为2= -cos 仏 a)二综上:sin0 =设平面Q的法向量分别为2直线伯勺方向向量为2此时:sin 0 = sin= -cos 仏 a)二综上:sin0 =例3如图，在空间直角坐标系中有单位正方体4?CD A B CD，求对角线fC与平面月bcd的夹角&的正弦值.解设对角线4

8、C的方向向量护,平面ABCI)的法向量为/?,则y = 4*3 n = (0, 0,1).f(0, 0,1), C(, 1,0),所以兀 =(1,1,1), C0S = A C与平面的夹角0= ($屮 故”孚Z Ji一亍故伽例4如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCI)- 川BCI儿E, F分别是BC,的中点.求：直线HC与平面的夹角&的正弦值.解 因为(0, 0,0), B(lf 0, 0), C(L L 0),所以今AfC=(l, 1,-1).设平面月圧啲法向量是叫则1AB= (1? 0? 0)? AF= (0? ，1)*Ar F 砂-1取=(0, 1, AC= i;T 71T 兀J1

9、0： V4C 匚故 0=n. AC ：+22气一练习三：P46已知直线伯勺方向向量为;二(-1, 1, 1),平面兀的法 向量为二(1, 2,-3),求直线与平面夹角的余弦值L L设直线人加的方向向量分别为Q上,平面血0L L的法向量分别为U,v ,则兀I爲I两直线/, m 的夹角为 & (0 W & W ),cos 3 = |-r-| |fj；2HNI Ijr直线/与平面a的夹角为& （OW0W片），sin0 =再（百;2 1+1aujrr rUVr- .U V两平面。与0的夹角大小为&(OW0W), cos0 =r ru-v二面角aI0的大小为0 (0W& W兀),cos& =作业：P47

10、 1, 2, 3, 4, 5丄 L设直线人加的方向向量分别为Q上,平面血0L L的法向量分别为U,v ,则兀|爲|两直线/, m 的夹角为 & (0 W & W ),cos 3 = |-r-| |fj；2HNI Ijr直线/与平面a的夹角为& （OW0W片），sin0 =再（百;2 HHaujrr rUVr- .U Vr ru-v两平面。与0的夹角大小为&(OW0W), cos0 =二面角aI0的大小为0 (0W& W兀),cos& =故有 cosA BCETbCE作业讲解1-如图，在空间直角朋标系中有单位E方体ABCD-AfBfCrI) E是/I D的中点求直线且迟与直线CE夹角的余弦值解

11、由题意可知4 (0, 0, l),B(l,0, 0),1CU0),E(0. y, 1),1 可得 =1,亍，1),2.如图，在空间直角朋标系中有长方ABCD -A （B CD ； RAB =2, AD = 4, AA 2.求平面ACfI）与平面夹角的余弦值.解 由题意可知4(0, 0, 0), 0(0, 4, 0), CV2, 4, 2),可得AD-(0, 4, 0), ACf=(2, 4, 2),乂平而C7）的法向虽=山0, -1）,3.如图，在空间直角坐标系中有长方体-4 fB CD且 月方=1, BC= 2, AA=2求直线氏。与平面刁fBI)I)，夹角的 正弦值_,解 曲题意可知 BQ

12、 0, 2), C(l, 2,0)0C=(0, 2厂2),平面法向 g/? = (2, (l)?_2从而 cos = l 厂=v578Vio10故直线EC与平面B迟DD咲角的正弦值为 牛.3如图，在空间直角他标系中有长方体ABCD -A fB fCfI) ； AB = 2, AD = 2, AA=1求异面直线貝0与CQ夹角的余弦值解 由题意知4 (0, 0,1), 5(2, 0, 0), C(2, 2,1), D(0, 2,0),得百 =(2, 0,-1), DC=(2, 04),B故 cos = T*巩固习题习题1 RtMABCP, ZBG4 = 90,现将V4BC沿着 平面的C的法向量平移

13、到AA/C位置，已知 BC = CA = CCi,取A/、C的中点9、片, 求昭与4耳所成的角的余弦值.解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C-期图所示,设则G二1A(l, 0,0), 3(0,1,0),F(g,0,a),(*,g,l) uxr i 所以：AF (,0,1),ILLtl / lcos) D(a, a,Q)1 1 故两=(迪 a丄 a,b) Bq =(0,-6/,Z7)1 2 2uxr uuuu i QAB丄BCVAB】 BC、=a:.b = a2 V2则可设 Q=l, & 二三，贝llB(0,l,0)G (0,0,芈),；,o)24473 1 723(*，+)D,(一乎，右0)73 1 723存（飞）吩（号冷,0）Q ACCB在坐标平面yoz中可取 耳=（1，0,0）为面CCB的法向量设面C/D的一个法向量为m = （x, y,z）由 市丄m.DBLm得y平面叱与平面eg夹角的余弦值为岂1.已知正方体BCD - A!BxCxDx 的边长为2,0为AC和BD的交点，M珈1的中点(1) 求证：直绷9丄面MAC求二面角B.-MA-C 的余弦值