福建省南平市高三5月质检数学文试题及答案

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1、 20xx年福建省南平市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设集合S=x|x3，T=x|6x1，则ST=（） A 6，+） B （3，+） C 6，1 D （3，1【考点】： 并集及其运算【专题】： 集合【分析】： 根据并集的定义计算即可【解析】： 解：集合S=x|x3，T=x|6x1，ST=6，+），故选：A【点评】： 本题考查了并集的运算，属于基础题2（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【专题】

2、： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的几何意义求解【解析】： 解：=1i，在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点（1，1）位于第四象限故选：D【点评】： 本题考查复数所对应的点在第几象限的求法，解题时要认真审题，是基础题3（5分）化简cos15cos45cos75sin45的值为（） A B C D 【考点】： 两角和与差的余弦函数【专题】： 计算题【分析】： 先利用诱导公式把cos75转化为sin15，进而利用两角和的余弦函数求得答案【解析】： 解：cos15cos45cos75sin45=cos15cos45sin15sin45=cos（15+45）=c

3、os60=故选A【点评】： 本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用，利用诱导公式把cos75转化为sin15关键属于基础题4（5分）过点（5，3）且与直线2x3y7=0平行的直线方程是（） A 3x+2y21=0 B 2x3y1=0 C 3x2y9=0 D 2x3y+9=0【考点】： 直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】： 直线与圆【分析】： 求出直线的斜率，利用点斜式求解直线方程即可【解析】： 解：过点（5，3）且与直线2x3y7=0平行的直线的斜率为：，所求直线方程为：y3=（x5）即2x3y1=0故选：B【点评】： 本题考查直线方程的求法，平行线的应用，考查计算能力5（5

4、分）在ABC中，角AB是sinAsinB的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 先看由角AB能否得到sinAsinB：讨论A，B和A两种情况，并结合y=sinx在（0，单调性及0A+B即可得到sinAsinB；然后看由sinAsinB能否得到AB：根据上一步的讨论方法以及y=sinx的单调性即可得到sinAsinB，所以得到角AB是sinAsinB的充要条件【解析】： 解：（1）ABC中，角AB：若0AB，根据y=sinx在（0，上单调递增得到sinAsinB；若0A，0

5、A+B，所以sinAsin（B）=sinB；角AB能得到sinAsinB；即AB能得到sinAsinB；角AB是sinAsinB的充分条件；（2）若sinAsinB：A，B（0，时，y=sinx在上单调递增，所以由sinAsinB，得到AB；A，B时，显然满足AB；即sinAsinB能得到AB；AB是sinAsinB的必要条件；综合（1）（2）得角AB，是sinAsinB的充要条件故选C【点评】： 考查充分条件、必要条件、充要条件的概念，以及正弦函数y=sinx在上的单调性，通过y=sinx在（0，）的图象看函数的取值情况，及条件0A+B6（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大

6、值是（） A 4 B 3 C 2 D 1【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=21+1=3即目标函数z=2x+y的最大值为3故选：B【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法7（5分）若把函数y=3

7、cos（2x+）的图象上的所有点向右平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（） A B C D 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 利用图象的平移求出平移后的解析式，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值【解析】： 解：由题意知，y=3cos（2x+），图象向右平移m（m0）个单位长度后，所得到y=3cos（2x+2m）所得到的图象关于y轴对称，2m=k，kZ，m=，kZ，m0，m的最小值为：故选：C【点评】： 本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数图象的特点，属于基础题8（5分）已知向量，

8、的夹角为60，且|=2，|=1，则|=（） A 2 B C 2 D 2【考点】： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出【解析】： 解：根据已知条件，=4+4+4=12；故选：D【点评】： 考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法9（5分）设数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1+ba2+ba3+ba4=（） A 15 B 60 C 63 D 72【考点】： 等差数列与等比数列的综合【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 分别运用等差数

9、列和等比数列的通项公式，求出an，bn，再由通项公式即可得到所求【解析】： 解：数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，则an=3+（n1）1=n+2，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn=2n1，则ba1+ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60故选B【点评】： 本题考查等比数列和等差数列的通项公式，注意选择正确公式，考查运算能力，属于中档题和易错题10（5分）在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为10，5，4，则该三棱锥外接球的表面积为（） A 141 B 45 C 3 D 24【考点】： 球的体积

10、和表面积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积【解析】： 解：三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=20，ac=10，bc=8，解得：a=5，b=4，c=2，所以球的直径为：=3，它的半径为，球的表面积为=45，故选：B【点评】： 本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同

11、一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在11（5分）利用计算机产生03之间的均匀随机数a、x，则事件“logax0（a0且a1）”发生的概率为（） A B C D 【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 由题意，首先求出满足logax0（a0且a1）”的a，x的范围，然后根据几何概型求概率【解析】： 解：满足“logax0（a0且a1）”的等价条件或者，所以（x，a）满足的区域如图由几何概型得事件“logax0（a0且a1）”发生的概率为；故选D【点评】： 本题考查了几何概型的概率求法；解得本题的关键是求出a，x满足的不等式组，利用区域的面积比求值12（5分）在平面内

12、，曲线C上存在点P，使点P到点A（3，0），B（3，0）的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”以下曲线不是“有用曲线”的是（） A x+y=5 B x2+y2=9 C +=1 D x2=16y【考点】： 两点间的距离公式【专题】： 直线与圆【分析】： 由点P到点A（3，0），B（3，0）的距离之和为10，可得分别与A，B，C，D中的方程联立，判断是否有解即可得出【解析】： 解：由点P到点A（3，0），B（3，0）的距离之和为10，可得A联立，化为41x2250x+225=0，=2502410000，因此曲线x+y=5上存在点P满足条件，是“有用曲线”，正确；同理可判断C，D给出的切线是“有

13、用曲线”，而B给出的曲线不是“有用曲线”故选：B【点评】： 本题考查了椭圆的定义、两点之间的距离公式、曲线的交点，考查了推理能力与技能数列，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为4【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，从而求出它的体积【解析】： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；如图所示，所以，该四棱锥的体积为V=（4+2）22=4故答案为：4【点评】： 本题考查了空间几何

14、体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图中的数据得出几何体的结构特征，是基础题目14（4分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是3【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出【解析】： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，x=4则这样的x值的个数是3故答案为：3【点评】： 算法是新课程

15、中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误15（4分）已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则P到直线l1：4x3y+11=0和l2：x+1=0的距离之和的最小值是3【考点】： 直线与圆锥曲线的关系【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 如图所示，过点P分别作PMl1，PNl2，垂足分别为M，N设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点

16、M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可【解析】： 解：如图所示，过点P分别作PMl1，PNl2，垂足分别为M，Nl2：x+1=0是抛物线y2=4x的准线方程抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，过P作直线l1：4x3y+11=0的垂线，垂足为M，|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值其最小值为点F到直线l1的距离，|FM|=3故答案为：3【点评】： 本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，考查转化思想的应用，属于中档题16（4分）关于函数f（x）=

17、（）xsinx1，给出下列四个命题：该函数没有大于0的零点；该函数有无数个零点；该函数在（0，+）内有且只有一个零点；若x0是函数的零点，则x02其中所有正确命题的序号是【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 函数的性质及应用；导数的综合应用；简易逻辑【分析】： 如图所示，利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质即可判断出【解析】： 解：函数f（x）=（）xsinx1，如图所示，f（2）=0，f（1）=sin10，0，因此函数f（x）在（1，2）内存在零点，故不正确；由图象可知：x0时，函数有无数个零点，正确；当x2时，f（x）=cosx0，函数f（x）单调递增，因此x2

18、，时，不存在零点故该函数在（0，+）内有且只有一个零点；若x0是函数的零点，由可知：x02，正确其中所有正确命题的序号是：故答案为：【点评】： 本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质、简易逻辑的判定，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：（） 根据上表数据求x，y，并据此资料【分析】：有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”？（） 从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求

19、从该样本中任取2人，至少有1人锻练时间少于1小时的概率K2=【考点】： 独立性检验【专题】： 概率与统计【分析】： （）利用对立检验的表格法则，填写表格，可得x，y，利用公式求出得K2，推出有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”（）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，得到抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3写出基本事件的情况，其至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件的情况，然后求解概率【解析】： 本题满分（12分）解：（）x=15，y=20 （2分）由已知数据得K2=8.3337.879（4分）所以有99.5%以上的把握认为“锻练

20、时间与性别有关”（6分）（）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）（8分）其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）（10分）从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为（12分）【点评】

21、： 本题考查对立检验，古典概型的概率的求法，考查计算能力18（12分）已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，且a1，a2，a3+2成等比数列（） 求an的通项公式；（） 若bn=3nan，数列bn的前n项和为Tn，求Tn【考点】： 数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设正项等差数列an的公差为d，故d0由a1，a2，a3+2成等比数列，可得=a1（a1+2d+2）又S3=12=，联立解出即可（）bn=2n3n，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出【解析】： 解：（）设正项等差数列an的公差为d，故d0a1，a2，a3+2成等比数列，则=a1（a3

22、+2），即=a1（a1+2d+2）又S3=12=，解得或（舍去），an=2+（n1）2=2n（）bn=2n3n，Tn=23+2232+2n3n，3Tn=232+433+（2n2）3n+2n3n+1，2Tn=23+2（32+33+3n）2n3n+1=2n3n+1=（12n）3n+13，+【点评】： 本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）=2sinxcosxcos2x，xR（） 求函数f（x）的单调递增区间；（） 在ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）=2C=

23、，c=2，C=，f（A）=2，C=，c=2，求ABC的面积【考点】： 正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （）利用倍角公式可得：函数f（x）=，再利用正弦函数的单调性即可得出；（II）在ABC中，由f（A）=2，可得A，利用正弦定理可得a，再利用三角形面积计算公式即可得出【解析】： 解：（）函数f（x）=2sinxcosxcos2x=，由，解得，kZ函数f（x）的单调递增区间是，kZ（）在ABC中，f（A）=2C=，c=2，=2，化为=1，又0A，A=由据正弦定理可得：=，解得a=，B=AC=SABC=【点评】： 本题考查了倍角公式、三角

24、函数的图象与性质、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，AB=2，C是O上一点，且AC=BC，PCA=45，E是PC的中点，F是PB的中点，G为线段PA上（除点P外）的一个动点（） 求证：BC平面GEF；（） 求证：BCGE；（） 求三棱锥BPAC的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （I）利用三角形中位线定理可得：EFCB，利用线面平行的判定定理即可证明：BC平面GEF（）由PAO所在的平面，可得BCPA，利用圆的直径的

25、性质可得BCAB，再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明（III）由（）知BC平面PAC，再利用圆的性质、直角三角形的边角关系、三棱锥的体积计算公式即可得出【解析】： （I）证明：E是PC的中点，F是PB的中点，EFCB，EF平面GEF，点G不于点P重合，CB平面GEF，BC平面GEF（）证明：PAO所在的平面，BCO所在的平面，BCPA，又AB是O的直径，BCAB，又PAAC=A，BC平面PAC，GE平面PAC，BCGE（III）解：在RtABC中，AB=2，AB=CB，AB=BC=，PA平面ABC，AC平面ABC，PAACPCA=45，PA=，SPAC=1，由（）知BC平面PAC，VB

26、PAC=【点评】： 本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算、圆的性质、直角三角形的边角关系等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，属于中档题21（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，短半轴长为（） 求椭圆C的方程；（） 已知斜率为的直线l交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2若直线l过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；试探究k1+k2是否为定值？并说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）通过椭圆的离心率以及，a2=b2+c2，

27、求出a，b，即可求出椭圆C的方程（）若直线过椭圆的左顶点，写出直线的方程与椭圆联立方程，求出直线的斜率，推出结果k1+k2 为定值，且k1+k2=0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，推出直线的方程，然后两条直线与椭圆联立，设A（x1，y1）B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式求出k1+k2，然后化简求解即可【解析】： 本题满分（12分）解：（）由椭圆的离心率为，又，a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以椭圆C的方程为（3分）（）若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=，联立方程组，解得或，故，（6分）k1+k2 为定值，且k1+k2=0（7分）证明如下：设直线在y轴上的截距

28、为m，所以直线的方程为由，得x2+2mx+2m24=0当=4m28m2+160，即2m2时，直线与椭圆交于两点（8分）设A（x1，y1）B（x2，y2），则x1+x2=2m（9分）又，故=（10分）又，所以（y11）（x22）+（y21）（x12）=x1x2+（m2）（x1+x2）4（m1）=2m24+（m2）（2m）4（m1）=0，故k1+k2=0（12分）【点评】： 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想的应用22（14分）己知函数f（x）=xlnx （aR），（） 若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0，求

29、实数a，b的值；（） 若函数f（x）0，求实数a取值范围；（） 若函数f（x）有两个不同的极值点分别为x1，x2求证：x1x21【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求出原函数的导函数，利用函数在点（1，f（1）处的切线方程为x+y+b=0列式求得a，b的值；（）把f（x）0恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求其最大值得答案；（）利用函数f（x）在极值点处的导数等于0，得到ln（x1x2）=a（x1+x2）2=再把证x1x21转化为证令换元后再由导数证明【解析】： （）解：由f（x）=xlnx，得f（x）=lnxax+1

30、，切线方程为x+y+b=0，f（1）=1a=1，即a=2又，可得切点为（1，1），代入切线方程得b=0；（） 解：f（x）0恒成立等价于恒成立，即，设，则，当x（0，e）时，g（x）0；当x（e，+）时，g（x）0当x=e时，即； （）证明：若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，即f（x1）=lnx1ax1+1=0，f（x2）=lnx2ax2+1=0，即lnx1+lnx2a（x1+x2）+2=0且lnx1lnx2a（x1x2）=0也就是ln（x1x2）=a（x1+x2）2=要证x1x21，只要证0即证，不妨设x1x2，只要证成立，即证令，即证，令h（t）=lnt，则h（t）在（1，+）上是增函数，h（t）h（1）=0，原式得证【点评】： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，重点考查了数学转化等数学思想方法，是压轴题