高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式素材1 新人教A版选修45

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1、二 一般形式的柯西不等式一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（

2、即两个向量共线）时成立。3定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。如果（）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ，等号成立当且仅当变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则：，等号成立当且仅当。二、典型例题：例1 已知，求证：。例2

3、设，求证：。例3 设为平面上的向量，则。例4 已知均为正数，且，求证：。方法1：方法2：（应用柯西不等式）例5 已知，为实数，求证：。分析：推论：在个实数，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375