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1、第三章三角恒等变换检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 76°cos 16°+cos 14°cos 74°-2cos 75°cos 15°等于()A.0B.32C.1D.-12解析:原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°-2sin 15°cos 15°=cos(76°-16°)-sin 30°=cos
2、60°-sin 30°=12-12=0.答案:A2.函数f(x)=cosx+4-cosx-4是()A.周期为的偶函数B.周期为2的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为2的奇函数解析:f(x)=cos xcos4-sin xsin4-cos xcos4-sin xsin4=-2sin x,它是周期为2的奇函数.答案:D3.已知tan +1tan=52,0<<4,则tan 2的值等于()A.34B.43C.-34D.-43解析:由tan +1tan=52可解得tan =2或12,但由于0<<4,所以tan (0,1),故tan =12,因此tan 2=2&
3、#215;121-122=43.答案:B4.在ABC中,若cos Acos B=-cos2C2+1,则ABC一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:由已知,得12cos(A+B)+cos(A-B)=1-12(1+cos C),即12cos(A-B)=12,于是A-B=0,A=B,即ABC是等腰三角形.答案:C5.函数f(x)=(1+3tan x)cos x的最小正周期为()A.2B.32C.D.2解析:依题意,得f(x)=cos x+3sin x=2sinx+6,因此其最小正周期是2.答案:A6.已知cos-6+sin =435,则sin+76等于()A.-
4、235B.235C.-45D.45解析:由cos-6+sin =32cos +32sin =435,得sin+6=45,所以sin+76=-sin+6=-45.答案:C7.已知sin +sin =33(cos -cos ),且(0,),(0,),则-等于()A.-23B.-3C.3D.23解析:sin +sin =2sin+2cos-2,cos -cos =-2sin+2sin-2,cos-2=33sin-2,tan-2=3.(0,),(0,),-2<-2<2,-2=3,-=23.答案:D8.已知msin+cosmcos-sin=tan ,且-=4,则m等于()A.1B.-1C.2
5、D.-2解析:由于msin+cosmcos-sin=mtan+1m-tan=tan =tan+4=1+tan1-tan,因此m=1.答案:A9.若函数f(x)=sinx+4cosx-4+cosx+4·sinx-4(>0)的最小正周期为24,则f()等于()A.6-24B.6+24C.2-64D.-(6+2)4解析:f(x)=sinx+4+x-4=sin 2x的最小正周期为24,T=22=24,=124,则f()=sin12=sin3-4=sin3cos4-cos3sin4=32×22-12×22=6-24.答案:A10.已知向量a=cos3x2,sin3x2
6、,b=cosx2,-sinx2,且x0,2.若|a+b|=2a·b,则sin 2x+tan x等于()A.-1B.0C.2D.-2解析:|a+b|=cos3x2+cosx22+sin3x2-sinx22=2+2cos2x=2cos x.又a·b=cos 2x,由|a+b|=2a·b,得2cos x=2cos 2x,所以2cos2x-cos x-1=0,解得cos x=1或cos x=-12(舍去).当cos x=1时,sin x=0,tan x=0,所以sin 2x+tan x=0,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的
7、横线上)11.若sin+2=14,则sin2-2=. 解析:由已知得cos =14,于是sin2-2=-cos 2=1-2cos2=1-2×142=78.答案:7812.已知是第二象限的角,tan(+2)=-43,则tan =. 解析:由已知得tan 2=-43,即2tan1-tan2=-43,解得tan =2或-12.又是第二象限的角,tan <0,故tan =-12.答案:-1213.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x的最小正周期为. 解析:f(x)=(1+cos 2x)sin2x=(1+cos 2x)·1-cos2x2=1
8、2(1-cos22x)=121-1+cos4x2=14-14cos 4x,其最小正周期T=24=2.答案:214.函数f(x)=2sin24+x-3cos 2x4x2的最大值为. 解析:f(x)=2·1-cos2+2x2-3cos 2x=1+sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3+1.因为4x2,所以62x-323,所以当2x-3=2时,f(x)取最大值3.答案:315.已知13sin +5cos =9,13cos +5sin =15,则sin(+)的值为. 解析:两式等号两边分别平方并相加,得132+130(sin cos +cos sin )+52=9
9、2+152,即130sin(+)=112,故sin(+)=5665.答案:5665三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知函数f(x)=sinxcosx+cos2xcosx.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f+4=325,求cos 的值.解:(1)由cos x0,得x2+k,kZ,所以函数f(x)的定义域为xx2+k,kZ.(2)f(x)=sinxcosx+cos2xcosx=sin x+cos x=2sinx+4,f+4=2sin+2=2cos =325,所以cos =35.17.(8分)求证:tan+1cos-1tan-1co
10、s+1=1+sincos.证明左边=sincos+1cos-1sincos-1cos+1=sin+1-cossin-1+cos=(sin+1)2-cos2(sin-1+cos)(sin+1+cos)=sin2+2sin+1-cos2(sin+cos)2-1=2sin2+2sin2sincos=1+sincos=右边.故原等式成立.18.(9分)已知函数f(x)=2cosx+6(其中>0,xR)的最小正周期为10.(1)求的值;(2)设,0,2,f5+53=-65,f5-56=1617,求cos(+)的值.解:(1)由2=10,得=15.(2)f5+53=2cos155+53+6=2cos
11、+2=-2sin =-65,sin =35.f5-56=2cos155-56+6=2cos =1617,cos =817.,0,2,cos =1-sin2=1-352=45,sin =1-cos2=1-8172=1517.故cos(+)=cos cos -sin sin =45×817-35×1517=-1385.19.(10分)已知cos =17,cos(+)=-1114,且0,2,+2,求tan2及的值.解:0,2,cos =17,sin =437.tan2=sin2cos2=2sin222sin2cos2=1-cossin=67×743=32.又+2,cos
12、(+)=-1114,sin(+)=5314,cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-1114×17+5314×437=12.又0,2,+2,-2<-<0,则0<<,=3.20.(10分)设函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x(>0)的最小正周期为23.(1)求的值;(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,求y=g(x)的单调递增区间.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x=sin2x+cos2x+sin 2x+1+cos 2x=s
13、in 2x+cos 2x+2=2sin2x+4+2.依题意得22=23,故=32.(2)依题意得g(x)=2sin3x-2+4+2=2sin3x-54+2.由2k-23x-542k+2(kZ),解得23k+4x23k+712(kZ),故y=g(x)的单调递增区间为23k+4,23k+712(kZ).6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中数学 第三章 三角恒等变换检测B新人教B版必修4
