高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念教学设计 新人教A版必修1

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1、1.2.1函数的概念教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一在中学，函数的学习大致可分为三个阶段第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数()和基本初等函数()是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围因此，课本采用了从实际

2、例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念三维目标1会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号yf(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识2掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：符号“yf(x)”的含义，不容易

3、认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值课时安排2课时第1课时导入新课问题：已知函数y请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题推进新课(1)给出下列三种对应：(幻灯片)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h130t5t2.时间t的变化范围是数集At|0t26，h的变化范围是数集Bh|0h845则有对应f：th130t5t2，tA，hB.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出

4、现了臭氧层空洞问题图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从19792001年的变化情况图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集At|1979t2001，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集BS|0S26，则有对应：f：tS，tA，SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(t)19911992199319941995199619971998199

5、920002001恩格尔系数(y)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表，可知时间t的变化范围是数集At|1991t2001，恩格尔系数y的变化范围是数集By|37.9y53.8.则有对应：f：ty，tA，yB.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：AB的值域为C，那么集合BC吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性解：(1

6、)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：AB下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且ab，如下表所示：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|

7、axb半开半闭区间(a，bx|xaa，)x|xa(a，)x|xa(，ax|xa(，a)R(，)(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等(5)CB.例题 题已知函数f(x)，(1)求函数的定义域；(2)求f(3)，f的值；(3)当a0时，求f(a)，f(a1)的值活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围.有意义，则x30，有意义，则x20，转化为解由x30和x20组成的不等式组(2

8、)让学生回想f(3)，f表示什么含义？f(3)表示自变量x3时对应的函数值，f表示自变量x时对应的函数值分别将3，代入函数的对应法则中得f(3)，f的值(3)f(a)表示自变量xa时对应的函数值，f(a1)表示自变量xa1时对应的函数值分别将a，a1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a1)的值解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得3x2或x2，即函数的定义域是3，2)(2，)(2)f(3)1；f.(3)a0，a3，2)(2，)，即f(a)，f(a1)有意义则f(a)；f(a1).点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不

9、等式组f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算例如f(x)x2x5，当x2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替如：f(2x1)(2x1)2(2x1)5，fg(x)g(x)2g(x)5等等符号yf(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积符号f(x)与f(m)既有区别又有联系：当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数

10、；当m是常数时，f(m)表示自变量xm对应的函数值，是一个常量已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1函数y的定义域为_答案：x|x1，且x1点评：本

11、题容易错解：化简函数的解析式为yx1，得函数的定义域为x|x1其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式2若f(x)的定义域为M，g(x)|x|的定义域为N，令全集UR，则MN等于()AM BNCUM DUN解析：由题意得Mx|x0，NR，则MNx|x0M.答案：A3已知函数f(x)的定义域是1,1，则函数f(2x1)的定义域是_解析：要使函数f(2x1)有意义，自变量x的取值需满足12x11，0x1.答案：0,11已知函数f(x)满足：f(pq)f(p)f(q)，f(1)3，则_.解析：f(pq)

12、f(p)f(q)，f(xx)f(x)f(x)，即f2(x)f(2x)令q1，得f(p1)f(p)f(1)，f(1)3.原式2(33333)30.答案：302若f(x)的定义域为A，g(x)f(x1)f(x)的定义域为B，那么()AABB BAB CAB DAB解析：由题意得Ax|x0，Bx|x0，且x1则ABA，则A错；ABB，则D错；由于BA，则C错，B正确答案：B问题：已知函数f(x)x21，xR.(1)分别计算f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明活动：让学生探求f(x)f(x)的值分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用

13、解析式证明解：(1)f(1)f(1)(121)(1)21220；f(2)f(2)(221)(2)21550；f(3)f(3)(321)(3)2110100.(2)由(1)可发现结论：对任意xR，有f(x)f(x)证明如下：由题意得f(x)(x)21x21f(x)对任意xR，总有f(x)f(x)本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解课本习题1.2A组1,5.本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习由于

14、函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要第2课时作者：刘玉亭复习1函数的概念2函数的定义域的求法导入新课思路1当实数a，b的符号相同，绝对值相等时，实数ab；当集合A，B中元素完全相同时，集合AB；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等思路2我们学习了函数的概念，yx与y是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等推进新课指出函数yx1的构成要素有几部分？一个函数的构成要素有几部分？分别写出函数yx1和函数yt1的定义域和对应关系，并比较异同.函数yx1和函数yt1的值域相同吗？由此可见两个函数的定

15、义域和对应关系分别相同，值域相同吗？由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：函数yx1的构成要素为：定义域R，对应关系xx1，值域是R.一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同定义域和对应关系分别相同值域相同如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等例题 题下列函数中哪个与函数yx相等？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数

16、的定义域，化简函数关系式为最简形式只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等解：函数yx的定义域是R，对应关系是xx.(1)函数y()2的定义域是0，)，函数y()2与函数yx的定义域不相同，函数y()2与函数yx不相等(2)函数y的定义域是R，函数y与函数yx的定义域相同又yx，函数y与函数yx的对应关系也相同函数y与函数yx相等(3)函数y的定义域是R，函数y与函数yx的定义域相同又y|x|，函数y与函数yx的对应关系不相同函数y与函数yx不相等(4)函数y的定义域是(，0)(0，)，函数y与函数yx的定义域不相同，函数y与函数yx不相等点评：本题主要考查函数相等的含义讨论函

17、数问题时，要保持定义域优先的原则对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由yx1，xR与yx1，xN；y与y；y1与u1；yx2与yx；y2|x|与y是同一个函数的是_(把是同一个函数的序号填上即可)解析：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不是同一个函数；前者的定义域是x|x2，或x2，后者的定义域是x|x2，它们的定义域不同，故不是同一

18、个函数；定义域相同均为非零实数，对应法则相同都是自变量取倒数后加1，那么值域必相同，故是同一个函数；定义域是相同的，但对应法则不同，故不是同一个函数；函数y2|x|则定义域和对应法则均相同，那么值域必相同，故是同一个函数故填.答案：1下列给出的四个图形中，是函数图象的是()图2A BC D答案：B2函数yf(x)的定义域是R，值域是1,2，则函数yf(2x1)的值域是_答案：1,23下列各组函数是同一个函数的有_f(x)，g(x)x；f(x)x0，g(x)；f(x)，g(u)；f(x)x22x，g(u)u22u.答案：问题：函数yf(x)的图象与直线xm有几个交点？探究：设函数yf(x)定义域

19、是D，当mD时，根据函数的定义知f(m)唯一，则函数yf(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m，f(m)，即此时函数yf(x)的图象与直线xm仅有一个交点；当mD时，根据函数的定义知f(m)不存在，则函数yf(x)的图象上横坐标为m的点不存在，即此时函数yf(x)的图象与直线xm没有交点综上所得，函数yf(x)的图象与直线xm有交点时仅有一个，或没有交点(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数1设Mx|2x2，Ny|0y2，给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是()图3答案：B2某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1

20、100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入_，它们之间是_关系解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系答案：增加函数3函数yx2与St2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此yx2与St2表示的是同一个函数因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能

21、急于求成，否则事倍功半【备选例题】【例1】已知函数f(x)，则函数ff(x)的定义域是_解析：f(x)，x1.ff(x)f.10，即0.x2.ff(x)的定义域为x|x2，且x1答案：x|x2，且x1【例2】已知函数f(2x3)的定义域是4,5)，求函数f(2x3)的定义域解：由函数f(2x3)的定义域得函数f(x)的定义域，从而求得函数f(2x3)的定义域设2x3t，当x4,5)时，有t5,13)，则函数f(t)的定义域是5,13)，解不等式52x313，得1x8，即函数f(2x3)的定义域是1,8)【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义

22、(用集合定义函数)在实质上是一致的两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375