高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程教材梳理导学案 苏教版必修3

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1、2.4线性回归方程庖丁巧解牛知识·巧学 一、相关关系变量之间的常见关系： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系. 在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 辨析比较 函数关系与相关

2、关系的区别与联系相同点：两者均是指两个变量间的关系；不同点：函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性；函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究.二、线性回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.1.散点图 我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（xn

3、，yn）（n=1，2，3，）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图.如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：（单位：千克）施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图散点图来分析.以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如

4、图2-4-1：图2-4-1 从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.可见散点图能直观形象地反映各对数据的密切程度. 注意：如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图2-4-2的形状，则这两个变量之间不具有相关关系.如学生的身高与学生的数学成绩就没有相关关系.图2-4-2 可见利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.所以在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手. 学法一得 画出散点图，可以作出如下判断：如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，

5、则说明变量之间具有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系.2.最小二乘法一般地,设有n个观察数据如下：xx1x2x3xnyy1y2y3yn设有一直线方程=bx+a，Q(a,b)是直线=bx+a与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,设法取a,b的值,使Q(a,b)达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).其中点Q=(y1-bx1-a)2+ (y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2取得最小值时,就称=bx+a为这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于a或b的二次函数，应用配方法，可求出使Q为

6、最小值时的a、b的值，即（*）其中=，.求线性回归方程的步骤：计算平均数,；计算xi与yi的积，求xiyi；计算xi2；将结果代入公式求a；用b=-a求b；写出回归方程. 深化升华 求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，去进一步体会回归直线的应用价值.三、相关系数与相关性检验 进行回归分析，通常先进行相关性检验.若能确定两个变量具有线性相关性，则再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义

7、. 给定（xi，yi）（i=1，2，3，n），只要x1，x2，x3，xn不全相等，就能求出一条回归直线，可它有无意义就是一个大问题.由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数量化的检验法.样本相关系数：r=叫做变量y与x之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程度.|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.统计学认为，相关变量的相关系数r-1，-0.75时，两变量负相关很强；r0.75，1时，两变量正相关很强；r（-0.75，-0.3或0.3，0.75）时，两变量相关性一般；r-0.25，0.25时，

8、两变量相关很弱. 学法一得 在实际操作中常常利用计算器计算出相关系数和线性回归方程.典题·热题知识点一 线性相关关系例1 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高思路分析：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.答案：D 方法归纳 判断相关关系与函数关系要看两个相关变量是否有确定的关系式.知识点二 求出回归直线例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间.为此进行了10次试验，测得数据如下：零件个数x（个）1020

9、30405060708090100加工时间y（分）626875818995102108115122请判断y与x是否具有线性相关关系，如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程.思路分析：根据求线性回归的方法与步骤.解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系.由测得的数据表可知：=55，=91.7，=38 500，=87 777，=55 950，b=0.668.a=-b=91.7-0.668×5554.96，因此，所求线性回归方程为=bx+a=0.668x+54.96. 巧解提示 先根据散点图判断两个变量是否具有相关关系，然后计算出各项的值代入公

10、式.例3 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与消光系数如下表：尿汞含量x246810消光系数y64138205285360（1）用统计方法判断尿汞含量x与消光系数y是否相关.（2）求出回归直线方程.（3）能预测尿汞含量为5 mg/L时的消光系数吗？思路分析：据题意需作回归分析，先画出其散点图，看其是否呈直线形.再借助现代技术手段，求出回归直线方程.根据题意，对实际问题进行预测.解：（1）画出其散点图（如图2-4-3），观察散点图，可以发现5个样本点都落在一条直线附近，所以变量x、y属于线性相关.图2-4-3（2）由于尿汞含量x与消光系数y线性相关，所以可以利用公式求出回归方程

11、的系数.再利用计算器可求得回归方程=36.95x-11.3.（3）当x=5时，=36.95×5-11.3173.可知尿汞含量为5 mg/L时的消光系数约为173. 方法归纳 求线性回归方程的步骤：(1)计算平均数、；(2)计算xi与yi的积，求xiyi；(3)计算xi2，yi2；(4)将上述有关结果代入公式，求b、a，写出回归直线方程.问题·探究思想方法探究 问题 用最小二乘法估计得到的直线与用两点式求出的直线方程一致吗? 探究过程：事实上设两点（x1，y1），（x2，y2），设所求回归直线方程是y=bx+a.Q=y1-（a+bx1）2+y2-（a+bx2）2,由使Q取得最小值的a、b的求值公式，得b=a=即回归直线方程为y=.而由（x1，y1），（x2，y2）两点确定的直线方程为,变形为y=. 探究结论：用最小二乘法估计得到的直线与用两点式求出的直线方程是一致的.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375