第5章随机变量及分布函数习题答案

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1、第第5 5 章章 随机变量及分布函数随机变量及分布函数习习 题题1. 从五个数从五个数 1,2,3,4,5 中任取三个数中任取三个数 ，(1) 求求 的分布率，并求的分布率，并求 (2) 求求 的分布率，并求的分布率，并求(1) 解：解：321,XXX)4( XP 321,maxXXXX 321,minXXXY )3( YP1011)3(35 CXP103)4(3523 CCXP106)5(3524 CCXPX345P1011031064 . 0103101)4( XP1. 从五个数从五个数 1,2,3,4,5 中任取三个数中任取三个数 ，(1) 求求 的分布率，并求的分布率，并求 (2) 求

2、求 的分布率，并求的分布率，并求(2) 解：解：321,XXX)4( XP 321,maxXXXX 321,minXXXY )3( YP106)1(3524 CCYP103)2(3523 CCYP1011)3(35 CYPY Y1 12 23 3P P1061031010)3( YP2. 直线上一质点从原点开始作随机游动，每单位时间可向左或向直线上一质点从原点开始作随机游动，每单位时间可向左或向右一步，向左的概率为右一步，向左的概率为 p，向右的概率为，向右的概率为 q=1-p，每步保持定长，每步保持定长 l，求三步以后质点位置坐标求三步以后质点位置坐标 X 的概率分布。的概率分布。(2) 解

3、：解：3)()3(pPlXP 向左三步向左三步X-3l-2l-l0l2l3lP3poll 2l 3l l 2 l 3 3)()3(qPlXP 向右三步向右三步0)()0()2()2( PXPlXPlXPqpqpCPlXP22233)()( 向左两步向左两步22133)()(pqpqCPlXP 向左一步向左一步0qp23023pq03q3. 四个开关和四个灯如图连接，每个开关断开的概率为四个开关和四个灯如图连接，每个开关断开的概率为 p ，闭合，闭合的概率为的概率为 q=1-p ，四个开关互不影响。以，四个开关互不影响。以 表示亮灯数，求表示亮灯数，求 的分布率，以及的分布率，以及“至少一个灯亮

4、至少一个灯亮”的概率。的概率。解：亮灯数目解：亮灯数目 明显是个概率为明显是个概率为 q、重复次数为重复次数为4的二项分布，则的二项分布，则 的分的分布率为布率为 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)(44kpqCkPkkk 40400411)0(1)1()(ppqCPPP 至少一个灯亮至少一个灯亮5. 一电话总机，每分钟收到的呼叫次数一电话总机，每分钟收到的呼叫次数 服从参数为服从参数为3的泊松的泊松分布，求每分钟（分布，求每分钟（1）恰有）恰有5次呼叫的概率；（次呼叫的概率；（2）呼叫次数大于）呼叫次数大于10的概率；（的概率；（3）呼叫次数不大于）呼叫次数不大于6次的概率。次的概率。解

5、：该泊松分布的概率分布为解：该泊松分布的概率分布为X33)( ekkXPk！（1）1008. 053)5(35 eXP！（2）000292. 0)(1)10(100查表计算查表计算 kkXPXP（3）9665. 0)()6(60查表计算查表计算 kkXPXP6. 设随机变量设随机变量 服从泊松分布，且服从泊松分布，且 ，求，求解：由题意知解：由题意知X, 2 , 1 , 0,)( kekkXPk ！)2()1( XPXP)4( XP eXPeXP！2)2(1)1(21解得解得 02 或或取取 ，则，则2 , 2 , 1 , 0,2)(2 kekkXPk！查表得查表得090224. 0)4( X

6、P8. 随机变量随机变量 X 的概率密度为的概率密度为（1）求）求a=？ （2）求分布函数）求分布函数 F(x)。其他其他, 0,cos)(22 xxaxf（1）解：由概率密度函数的性质可知）解：由概率密度函数的性质可知12cos)(22axdxadxxf 21 a（2）解：）解：22221212222212, 1,sin, 0, 1,cos, 0)()(2 xxxxxxxdxxdxxfxFxx10. 某城市每天用电量不超过一百万度，以某城市每天用电量不超过一百万度，以 表示每天的耗电率表示每天的耗电率（即电量除以百万度），它的概率密度为（即电量除以百万度），它的概率密度为X其他其他, 010

7、,)1(12)(2xxxxp若该城市每天的供电量仅若该城市每天的供电量仅80万度，求供电量不够需要的概率。万度，求供电量不够需要的概率。解：解： 0272. 0386)1(12)()8 . 0()(18 . 043218 . 028 . 0 xxxdxxxdxxpXPP 供电量不够需要供电量不够需要12. 设随机变量设随机变量 X 的分布密度为的分布密度为)(), 0()()(22 xxxp为常数为常数 求求 X 的分布函数以及的分布函数以及 的概率。的概率。2, XaX解：解： xxxdxdxxdxxpxFxxxxarctan121arctan111)()(2220 aXP xxFarcta

8、n121)(2arctan2)2()2(22222 FFXPXPXP13. 设随机变量设随机变量 X 的分布密度为的分布密度为 0,00,)(xxexpx 求求 X 的分布函数以及的分布函数以及 的概率。的概率。32 X 解：解： 0,10,00,0,0)(0 xexxdxexxFxxx 32233232 eeFFXPXP 14. 随机变量随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，求，求（1）A、B的值；（的值；（2） （3） 的概率密度的概率密度解：解：XxBAxFarctan)(（1）)20( XPX1)arctan()(0)arctan()(22 BABAFBABAF 121,BA（2） 3

9、524. 02arctan0arctan2arctan)0()2()20(1121121 FFXP（3）)1(1arctan)( )(2121xxdxdxFxf 15. 随机变量随机变量 的概率密度为的概率密度为 ，求其分布函数，并画出图形。求其分布函数，并画出图形。X 其它其它,021,210,)(xxxxxp解：解： 2,121,1210,0,02,121)2(100,0)(2212211010 xxxxxxxxxdxxxdxxxdxxxFxx，16. 随机变量随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，(1) 求求 (2) 求概率密度求概率密度X 0,00,1)(xxexFx(1) 解：解：3

10、, 2 XPXP)(xp21)2(2 eFXP3)3(13 eFXP(2) 解：解： 0,00,)( )(xxexFxpx引入引入 Y 表示表示150小时内电子管损坏的数量，则小时内电子管损坏的数量，则17. 设某类电子管的寿命设某类电子管的寿命 X （以小时计）的概率密度为（以小时计）的概率密度为设某仪器装有三个上述电子管，求：设某仪器装有三个上述电子管，求：（1）使用的最初）使用的最初150个小时内没有一个电子管损坏的概率个小时内没有一个电子管损坏的概率(电子电子管损坏与否是互相独立的管损坏与否是互相独立的)；100,0100,)(2100 xxxpx解：解：311501002150100

11、)()150()150( dxxdxxpXPP小时内电子管损坏小时内电子管损坏), 3(31BY 2963. 0)0(27833203103 CYP17. 设某类电子管的寿命设某类电子管的寿命 X（以小时计）的概率密度为以小时计）的概率密度为设某仪器装有三个上述电子管，求：设某仪器装有三个上述电子管，求：（2）这段时间内只有一个电子管损坏的概率；）这段时间内只有一个电子管损坏的概率；100,0100,)(2100 xxxpx解：解： 4444. 0)1(9423213113 CYP（3）X 的分布函数的分布函数解：解：100,1100, 0100,100, 0)()(1001001002xxx

12、dxxdxxpxFxxxx18. 设设 X 的概率密度为的概率密度为（1）确定）确定A，使得，使得其他其他,010,4)(3xxxp解：解：（1）)()(AXPAXP （2） （2）确定）确定B，使得，使得05. 0)( BXP8409. 05 . 014)()(4)()(4413403 AAdxxdxxpAXPAdxxdxxpAXPAAAA98726. 095. 005. 01)(44 BBBXP20. 设随机变量设随机变量 ，求，求（1）)2 , 5(2NX（2） )83( XP)1( XP 774538. 0115 . 115 . 1253258查表查表 9786. 0132312113

13、211)1()1(1)1()1(251251查表查表 XPXPXPXP（3）（4） )5( XP)22( XP 5 . 0011255 314747. 05 . 215 . 015 . 25 . 0)40(250254查表查表 XP（5） )912(2 XP 15 . 35 . 15 . 315 . 1115 . 35 . 111)2()2(1)2()2(252252 XPXPXPXP21. 设某种电子元件的寿命设某种电子元件的寿命 ，（1）求寿命在）求寿命在250小时以上的概率；小时以上的概率；解：解：)35,300(2NX 923. 042875. 11142875. 111)250(1)

14、250(35300250查表估算查表估算 XPXP（2）求）求x ，使得寿命在，使得寿命在 300-x 与与 300+x 之间的概率不低于之间的概率不低于0.9 。解：解： 0.959 . 012)300-300(35353535 xxxxxXxP令令查表估算得：查表估算得：571.6335xx22. 某厂生产的滚珠某厂生产的滚珠直径直径 ，规定长度在，规定长度在 内为合格品，问该厂滚珠的废品率为多少？内为合格品，问该厂滚珠的废品率为多少？解：解：)06. 0 , 6(2NX 01242. 05 . 2221)15. 06()15. 06()(06. 015. 006. 015. 0查表查表废品废品 XPXPP15. 06