三角形三边关系归纳(共8页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、 确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|ab|cab.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为xm，则73x73，即4x10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m。二、 判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小

2、的两边之和是否大于第三边即可.例2（1）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cmC，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cmC，12cm,5cm,6cmD，2cm,3cm,6cm 简析 由三角形的三边关系可知：(1)5+713，故应选C；(2)6+48，故应选B.例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a3，a，3(其中a3)；（2）a，a4，a6(其中a0)；（3

3、）a1，a1，2a(其中a0).简析（1）因为(a3)3=a，所以以线段a3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.（2）因为(a6)a =6，而6与a4的大小关系不能确定，所以以线段a，a4，a6为边的三条线段不一定能组成三角形.（3）因为(a1)(a1)=2a22，(a1)2a=3a1(a1)，所以以线段a1，a1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.三、 求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三

4、角形的腰长.简析如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+x12，且y+x21；或x+x21，且y+x12.解得x8，y17；或x14，y5.显然当x=8，y=17时，8817不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为_.简析 设第三边长为x厘米，因为9-2x9+2，即7x11，而x是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.图2图1DCBA四、 求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例6已知等腰三角形的一边等于5,另

5、一边等于6,则它的周长等于_.简析已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、 判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2abbcca=0.试判断三角形的形状.简析因为a2+b2+c2abbcca=0，则有2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0.于是有（ab）2+（）2+（a）20.此时有非负数的性质知（ab）2=0；（）2=0；（a）2

6、0，即ab=0；=0；a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形.六、 化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|abc|abc|=10，求b的值.简析因abc，故abc0因abc，故abc0.所以|abc|abc|= abc(abc)=2b=10.故b=5.七、 确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4简析 由三角形的三边关

7、系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形.即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C.例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析设较大边长为a，另两边长为b、c.因为abc，故2aabc，a(abc).又aabc，即2abc.所以3aabc，a(abc).所以，(abc)a(abc).24a24.所以8a12.即a应为9，10，

8、11.由三角形三边关系定理和推论讨论知： 由此知符合条件的三角形一共有7个.八、 说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11已知P是ABC内任意一点，试说明ABBCCAPAPBPC(ABBCCA)的理由.简析 如图2，延长BP交AC于D点.在ABD中，可证明ABADBPPD.在PDC中，可证明PDDCPC.两式相加，可得ABACBPPC，同理可得ABBCPAPC，BCCAPAPB.把三式相加后除以2，得ABBCCAPAPBPC.在PAB中，PAPBAB；在PB

9、C中，PBPCBC；在PAC中，PAPCCA.上面三式相加后除以2，得PAPBPC(ABBCCA)，综上所述：ABBCCAPAPBPC(ABBCCA).课堂练习 1. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是_。2. 设三角形三边之长分别为3，8，12a，则a的取值范围为（ ）A. 6a3B. 5a2C.2a5 D.a2 3. ABC的一边为5，另外两边长恰是方程2x212x+m=0的两根，那么m的取值范围是_。 4. 已知五条线段长分别为3，5，7，9，11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形（ ）A. 10个 B. 7个C. 3个D. 2个 5.

10、 以7和3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6. 已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_。7.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 9cmB. 12cmC. 12cm或15cmD. 15cm 8. 在ABC中，ABAC，AC上的中线BD把三角形的周长分为21cm和12cm两部分，求三角形各边长。 9. 若a，b，c为ABC的三边长，试证。 10. 已知：如图2，在ABC中，B2C，求证：AC2AB。 11. 已知：如图3，M、N是四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，求证：，并试问，

11、当四边形ABCD满足什么条件时取等号。 三角形中的有关角的考点归纳 三角形中关于角的考点，主要在于三角形三内角和为180求角的度数，三角形类型的判断，内角和外角关系以及关于角度大小的证明。 一根据三角形三内角和180解题1.ABC中，A=55，B=25，则C= .解析：此题考查三角形内角和定理.由三角形三个角的和为180，易得C=180-A -B =180-55-25=100.2. 在中，则_ 解析：设B=x,A= 2x,根据三角形内角和定理得x+2x+60=180,解得x=60, A= 2x=80.3. 若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 度解析:等腰三角形的一个外角为，则和这个角相邻的

12、内角为110度，它必为为顶角；所以底角=.4. 图1，ABCD， ACBC，BAC =65，则BCD= 度.图1解析:本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握.由三角形内 角和可以知道ABC=25，再根据平行线性质，我们可以知道BCD=ABC=25. 二利用三角形三内角比判断三角形类型 5. 一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（ ）A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：此题根据三角形内角性质，可以看着把180分成12分，其中有一个占去7分，则可知次为钝角三角形，是否等腰只看2:3就可知不等要。 6. 已知ABC中，ABC=135，这个三角形是 三角型，A= B

13、= ，C= 。 解析：同上题可把180分成9分，有角占5分则可知为钝角三角形，计算角度时可先算出每份为20，则A=20，B=60，C=100.三. 内角和外角的运用 7.ABC中，若C-B=A，则ABC的外角中最小的角是_（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 解析：由C-B=A可以得到C=B+A，可知此为直角三角形，则其他2内角都为锐角，其外角则最小为直角。 8. 如图，ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则1，2，3的大小关系是_ 解析：2=3+E，1=2+B，则可知123 四. 利用三角形内角和外角进行证明 9. 一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按

14、规定A应等于90，B、D应分别是30和20，李叔叔量得BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 解析：解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则DEB=A+B=90+30=120，从而DCB=DEB+D=120+20=140若零件合格，DCB应等于140李叔叔量得BCD=142，因此可以断定该零件不合格 (1) (2) (3) 点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则3=1+D，4=2+B，因此DCB=1+D+2+B=140以下同方法1解法3：如答图3，过点C作EFAB，交AD于E，则DEC=90，FCB=B=30，所以DCF=D+

15、DEC=110，从而DCB=DCF+FCB=140以下同方法1 说明：也可以过点C作AD的平行线 点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 10. 如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？ 解析：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中理由说明如下：延长CD到E，则ADEACE，BDEBCE，ADE+BDEACE+BCE，即ADBACB 点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题课堂练习 1. 如图，在ABC中，D，E分别是边AB，

16、AC的中点， 已知BC=10，则DE的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.6123 2. 如图，那么（ ） A55B65C75D85 3.如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：且；，正确的个数是（ ）A1B2C3D4ADBFCE第1题图4. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）ABC或D或 5.如图，已知ABC为直角三角形，C =90，若沿图中虚线剪去C，则12等于第3题图A315 B270 C180 D135 6.如图，在ABC中，AC=DC=DB，ACD=100，则B等于( ) 。 A50 B40 C25 D20 7.某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格，一工人测得，请你帮他判断该零件是否合格（填ABCDE（12题图）“合格”或“不合格”） 专心-专注-专业