复变函数与积分变换期末考试题及答案

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1、专业年级： 电子科学与技术一、单项选择题（15 分，每小题3 分）z21 设 fzz , z 0 ，则 f z 的连续点集合为（ ）。0, z0（ A ）单连通区域（ B）多连通区域（C）开集非区域（ D）闭集非闭区域2 设 f ( z)u( x, y)iv ( x, y) ，那么u( x, y) 与 v( x, y) 在点x0 , y0可微是fz 在点z0x0iy 0 可微的（）。A 充分但非必要条件B 必要但非充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件3 下列命题中，不正确的是（）。A 如果无穷远点是 fz 的可去奇点 , 那么 Resf z,0B若 fz 在区域 D内任一点 z0的

2、邻域内展开成泰勒级数, 则 fz 在 D内解析 .C幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.D函数ezi 将带形域 0( )映射为单位圆1.eziImz4 设 c 是 z1i t ， t 从 1到 2 的线段，则arg z d z（ ）。cA4BiC1iD 1i445 设 fz在 0z1 内解析且 lim zfz1 ，那么 Res fz ,0（ ）。z0A 2 iB2 iC 1D1二、填空题（15 分，每空 3 分）1 Ln 1 i的主值为。2函数 f ( z)= z Re z+Im z仅在点 z=处可导。n2nnz3罗朗级数的1131n 1zn 134 映射 w1z11映射为，将圆域z5 ?1d

3、z。z 1 coszn收敛域为。三 (10分 ) 求解析函数f( z)= u+iv ，已知 u x2y2xy, f (i)1 i 。四 (20分 ) 求下列积分的值1 ?ez22 dzz 4 zz 1应用数理统计试题第 1页 共 4页2x sin xdx a00x2a五 (15分 ) 若函数z 在点 z0 解析，试分析在下列情形：1 z0 为函数fz 的 m 阶零点；2 z0 为函数fz 的 m 阶极点；fz求 Resz, z0。fzez2六（ 15 分）写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。cos z七（ 10 分）求函数ft1tu t3tsin 2t 傅氏变换。江西科技师范学

4、院卷（B）2007-2008学年第二学期时间 110 分钟复变函数与积分变换课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷专业年级：电子科学与技术总分 100分，占总评成绩 70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上三、单项选择题（ 15分，每小题 3 分）1 A 。 2 B 。3 A 。 4 C。 5C。四、填空题（ 15 分，每空3 分）1 ln 2i 。 2i。 3 2z33 。 4 半平面 Re w1R。 5 0。42三 (10 分 ) 解: 容易验证 u 是全平面的调和函数。利用C-R 条件，先求出v 的两个偏导数。vu2 yx,vu2xyxyyx则v( x, y)x, y2

5、yxdx2xydy C0,0xy2xy dyCx dx001 x22xy1 y2C22四 (20 分 ) 求下列积分的值1 2 3e i2这里 m=2， n=1， m-n=1 ， R(z) 在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的应用数理统计试题第 2页 共 4页x eix d x 2i ResR( z)e iz ,ai x 2 a22i limzeiz2 ie aie az iazia2因此x sin xd xIm(1xix1ea.0x2a22x2a2 e dx)2五 (15分 )解: 函数z 在点 z0解析等价于在 z0的一个邻域内nz0nzzz0z z0Lz z0Ln!(1)z0为f

6、z的 阶零点等价于在z0的一个邻域内fzzz0mzm其中z 在点 z0解析 ,z0,于是在 z0的去心领域zf z m zzz m z0mm zzn 1zzf zz z0zz z0n 1n!z0z由此可知 , Reszfzmz0fz, z02 与上面类似 Reszfz, z0mz0fz六函数 ez2距原点最近的奇点2, 其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,cos z即 R=, 收敛范围为z.由 ez21z21z4L1z2nLz,222!n!111ncos z1z2z4Lz2 nLz及幂级数的除法 , 可设2n!2!4!z2ec0c1z c2 z2Lz2cos zz2, 其展开式中不含2 n 1c3L0注意到 e 与 cos z均为偶函数z项 , 可知 c11 z41 z2n1 z21 z41n于是 1 z2LLc cz2L1Lz2nL2!n!022!4!2n!比较同次系数得 c01,c23,c429,L224故 ez21 3 z229 z4L z2cos z224七（ 10 分）证明： F12F tu (t)1i()2F 3t e 3iF sin 2t i22应用数理统计试题第 3页 共 4页从而 F f t 1e3 i2i( )222应用数理统计试题第 4页 共 4页