高考第一轮复习数学：7.5圆的方程

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1、7.5 圆的方程知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.当D2+E24F0时，方程（*）表示圆心（，），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.（2）当D2+E24F=0时，方程（*）表示点（，），当D2+E24

2、F0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为（为参数）. x=rcos，y=rsin 圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为（为参数）. x=a+rcos，y=b+rsin说明：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A=C

3、0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，仅当（）2+（）240，即D2+E24AF0时表示圆.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：A=C0，B=0，D2+E24AF0.点击双基1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则t的取值范围是A.1t B.1tC.t1 D.1t0，得7t26t10，即t0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当br时，圆心到x轴的距离为

4、|b|，只有当|b|r时，才有圆与x轴相交，而br不能保证|b|0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a0）得=a，化简，得（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.当a=1时，方程化为x=0.当a1时，方程化为（xc）2+y2=（）2.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，|为半径的圆.评

5、述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆方程为（x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1

6、）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知O的半径为3，直线l与O相切，一动圆与l相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），O与M的公共弦为AB，M与l切于点C，则|MA|=|MC|.AB为O的直径，MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=

7、|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.闯关训练夯实基础1.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B. B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=0解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A2.（2004年全国，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆

8、，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称，则k=_.解析：圆心（，3）在直线上，代入kxy+4=0，得k=2.答案：24.（2004年全国卷，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的 距离的最小值为_.解析：圆心（0，0）到直线3x4y10=0的距离d=2.再由dr=21=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的

9、方程.解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y3）2=9表示圆心为（1，3），半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，圆心（1，3）在直线上.代入得m=1.（2）直线PQ与直线y=x+4垂直，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=x+b.将直线y=x+b代入圆方程，得2x2+2（4b）x+b26b+1=0.=4（4b）242（b26b+1）0，得23b2+3.由韦达定理得x1+x2=（4b），x1x2=.y1y2=b2b（x1+x2）+x1x2=+4b.=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=1（23，2+3）.所求的直线方程为y=x+1

10、.6.已知实数x、y满足x2+y2+2x2y=0，求x+y的最小值.解：原方程为（x+1）2+（y）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为（为参数，02），则x+y=1+2（sin+cos）=+1x=1+2cos，y=+2sin2sin（+），当=，即x=1，y=时，x+y的最小值为12.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、

11、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，POC=60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120解之）（2）设yx=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=2，故（yx）min=2.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则（x2+y2）max=OC=2+，（x2+y2）min=OB=2.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关

12、系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=1，AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线的方程为y3=x2，即xy+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为（1，0）.xy+1=0，y=0 半径r=，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.因为M1到圆心C（1，0）的距离为=，|M1C|，所以M2在圆C外.（理）已知动圆M：x2+y22mx2ny+m21=0与圆N：x2+y2+2x+2y2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；（2）求半径最

13、小时圆M的方程.解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（1，1）为弦AB的中点，在RtAMN中，|AM|2=|AN|2+|MN|2，（m+1）2=2（n+2）.（*）故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）2=2（y+2）.（2）由（*）式，知（m+1）2=2（n+2）0，于是有n2.而圆M半径r=，当r=时，n=2，m=1，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=5.探究创新9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy=60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y

14、）.（1）若P点斜坐标为（2，2），求P到O的距离|PO|；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.解：（1）P点斜坐标为（2，2），=2e12e2.|2=（2e12e2）2=88e1e2=88cos60=4.|=2，即|OP|=2.（2）设圆上动点M的斜坐标为（x，y），则=xe1+ye2.（xe1+ye2）2=1.x2+y2+2xye1e2=1.x2+y2+xy=1.故所求方程为x2+y2+xy=1.思悟小结1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方

15、程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.教师下载中心教学点睛1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用

16、标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D2+E24F=0时，方程表示一个点（，），当D2+E24F0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.拓展题例【例1】 圆x2+y2=1内有一定点A（，0），圆上有两点P、Q，若PAQ=90，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.分析：先求出PQ中点E的轨迹方程为x2+y2x=0.再求切点弦PQ所在直线的方程.解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则过P、Q的切线方程分别是x1x+y1

17、y=1，x2x+y2y=1.又M（m，n）在这两条切线上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1，P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，PQ所在直线的方程是mx+ny=1.又E为直线OM与PQ之交点，解方程组mx+ny=1y=xx=，y=.将（，）代入中点E的轨迹方程得x2+y2+x=0.这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程.【例2】 如图，过原点的动直线交圆x2+（y1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.解：设P（x，y），圆O1：x2+（y1）2=1与直线y=2切于点A，连结AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|，又|PQ|=|PR|=2y，在RtOQA中，|OA|2=|AQ|2+|OQ|2，即22=|x|2+（2y）2，化简整理得x2（x2+y24）=0，x=0或x2+y2=4为所求的轨迹方程.