高考数学基础强化训练题—排列组合二项式概率与统计

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1、2012年高考数学基础强化训练题 排列、组合、二项式、概率与统计一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A从10只编号的球(0号到9号)中任取一只，被取出的球的号码 B抛掷两个骰子，所得的最大点数 C0，10区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值 D一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数(文)现有10张奖票，只有1张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为（ ） A， B， C， D，2为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋

2、的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋（ ） A900个 B1080个 C1260个 D1800个3假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点 伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A4种 B6种 C8种 D10种4A与A的大小关系是（ ） AA > A BA < A CA = A D大小关系不定5(理)若f(m)=，则等于（ ） A2 B C1 D3 （

3、文）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A1320 B288 C1530 D6706(理)在二项式(x-)6的展开式中(其中=1)，各项系数的和为（ ） A64 B64 C64 D64 （文）已知(2a3+)n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为（ ） A7 B8 C9 D10信号源7右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这

4、五个接收器能同时接收到信号的概率是 （ ）ABCD8（理）同时抛掷4枚均匀的硬币3次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为，则 的数学期望是 （ ） A B C D1 (文)已知两组数据x1，x2，xn与y1，y2，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1-3y1+1，2x2-3y2+1，2xn-3yn+1的平均数是（ ） A2-3 B2-3+1 C4-9 D4-9+19的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（ ）A0B2C4D610从0到9这10个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为（ ）ABC D 11设集合。选择I的两个非空子

5、集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A B C D12某射手射击1次，击中目标的概率是0.9他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响有下列结论： 他第3次击中目标的概率是0.9他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 他至少击中目标1次的概率是10.14 其中正确结论的是（ ）A B C D二、填空题：本大题共4小题。每小题4分。共16分 把答案填在题中横线上13二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则x在(0，2)内的值为_14(理)一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶

6、的概率是0.9，他有3颗子弹，射击结束后剩余子弹数目的数学期望E=_.(文)已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200，现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n的样本，进行质量检查，已知丙车间抽取了24件产品，则n=_.15某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有_种16关于二项式(x-1)2005有下列命题： 该二项展开式中非常数项的系数和是1： 该二项展开式中第六项为Cx1999； 该二项展开式中系数最大的项是第1002项： 当x=2006时，(x-1)2005除以2006的余

7、数是2005 其中正确命题的序号是_(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?18(本小题满分12分)求二项式(-)15的展开式中： （1）常数项； （2）有几个有理项； （3）有几个整式项19(本小题满分12分)(理)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分

8、别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（1）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（2）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）（文）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。（1）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；（2）求所选用

9、的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；20(本小题满分12分)袋中装有m个红球和n个白球，mn2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同从袋中同时取出2个球 （1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m 必为奇数； （2）在肌n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m+n40的所有数组(m，n)21(本小题满分12分)(理)东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2

10、个空隙，第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图所示)东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元若小球到达号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元(一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩试用你学过的知识分析，这一小时内庄家是赢是赔；通过计算，你想到了什么?(文)甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件规则如下：若射击一次击

11、中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击（1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率；（2）求第4次由甲射击的概率22(本小题满分14分)规定A=x(x-1)(x-m+1)，其中xR，m为正整数，且A=1，这是排列数A(n，m是正整数，且mn)的一种推广 （1）求A的值； （2）排列数的两个性质：A=nA，A+mA=A(其中m，n是正整数)是否都能推广到A(xR，m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由； （3）确定函数A的单调区间参考答案1(理)C 仅C选项中的差值不是离散型随机变量 (文

12、)C 无论谁抽中奖的概率均为P=,则第一人与第十人抽中奖的概率均为，故应选C2C 由已知抽样数据可得平均数为=28个，据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=l260个3C 路线为134；124；1234；0134；0124；01234；024；0234.4D 当n3时，得-=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n2-4n+1)，当n=3时,-=6>0，得>；当n4时，-<0，得<. 即与的关系不定故应选D5(理)A f(m)=，f(3)=(1+3)n=4n，f(1)= =(1+1)n=2n. =2,故应选A.(文)A 用间接法求

13、解简单 ；也可直接法分3类求解；6(理)D 令x=l得，各项系数和为(-)6=26×(-)6=-26=-64(文)B T7=(2a3)n-6·a-6=·2n-6·a3n-24，当3n-24=O时，此项为常数项，即n=8时第7项是常数7D由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，故选D8(

14、理)B 4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的概率为P=C·()4=， 由此可得P(=0)=C·(1-)3=()3，P(=1)=·(1-)2=，P(=2)=·()2(1-)=，P(=3)=·()3=，由此可得E=0×()3+1×+2×+3×=故应选B (文)B (2x1-3yl+1+2x2-3y2+l+2xn-3yn+1)n=2(x1+x2+xn)n-3(y1+y2+yn)n+1=2-3+l，故应选B9B 展开式通项为，若展开式中含x的正整数指数幂，即所以，选（B）10B将这10个数字按被3除所得的

15、余数分成三个集合A=0,3,6,9,B=1,4,7,C=2,5,8,所以能被3整除的分以下四种情况三个数都从A中取,共有个数能被3整除;三个数都从B中取,共有个数能被3整除;三个数都从C中取,共有个数能被3整除;分别从ABC中各取一个数,共有个数能被3整除.所以所有能被3整除的数共有228个.而从0到9这10个数字中任意取3个数组成的三位数共有个,所以能被3整除的概率为,于是这个数不能被3整除的概率为,因选B11B 显然，设，则C是I的非空子集，且C中元素不少于2个（当然，也不多于5个）.另一方面，对I的任何一个k（）元子集C，我们可以将C中元素从小到大排列.排好后，相邻数据间共有k1个空档。

16、在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A，隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定符合条件，且集合对A，B无重复.综合以上分析，所求为：.选B.12A恰好击中目标3次的概率是O.93×0.1，即得错误，而正确，故应选A13或 由已知可得+=n+1=7，即得n=6，二项式系数最大的一项为·sin3x=20sm3x=，解得sinx=，又x(0，2)，x=或14(理)1.89 P(=2)=O.9，P(=1)=0.1×0.9=0.09，P(=0)=O.13+0.12×0.9=0.0l，由此可得E=2×O.9+l×O.09+O

17、5;O.01=1.89 (文)80每个个体被抽取的概率P=, n=(1500+1300+1200)×=801535 从二楼到三楼用7步走完，共走11级，则必有4步每步走两级，其余3步每步1级，因此共有=35种方法16 二项式(x-1)2005所有项的系数和为O，其常数项为-l，非常数项的系数和是1，即得正确；二项展开式的第六项为x2000，即得错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为=，-=-，得系数最大的项是第1003项·x1003，即错误；当x=2006时，(x-1)2005除以2 006的余数是2006-l=2005，即正确故应填17由于张数不限，2张2，3张A可以一起

18、出，亦可分几次出，故考虑按此分类 (2分) 出牌的方法可分为以下几类： (1)5张牌全部分开出，有A种方法； (3分) (2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法； (4分) (3)2张2一起出，3张A分开出，有A种方法； (5分) (4)2张2一起出，3张A分两次出，有种方法； (7分) (5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法； (8分) (6)2张2分开出，3张A分两次出，有种方法； (10分) 因此共有不同的出牌方法A+ A+ A+ A+=860种 (12分)18展开式的通项为：Tr+1= = (1)设Tr+1项为常数项，则=0，得r=6，即常数项为T7=26； (4分) (2)

19、设Tr+1项为有理项，则=5-r为整数，r为6的倍数，又0r15，r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项 (8分) (3) 5-r为非负整数，得r=0或6，有两个整式项 (12分)19(理)解：（）123456789P（）(文)设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B（）芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。（）芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。20(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)， 则有 (2分)-kmn=2kn+1 (4分)kZ

20、，nZ，m=2kn+1为奇数 (6分)(2)由题意,有，=mn,m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n，1 (8分)mn2，所以m+n4，2m-n<7，m-n的取值只可能是2，3，4，5，6，相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，即或或或或解得或或或或 (10分) 注意到mn2 (m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15) (12分)21(理)游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量+1，则B(7，)因为P(=-4)=P(=0

21、或=7)=P(=0)+P(=7)=+=P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+，一小时内有80人次玩刚东方庄家通常获纯利为(2+×)80=225(元) 答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑 (12分) (文)假设甲射击命中目标为事件A，乙射击命中目标为事件B (1)“前3次射击中甲恰好击中2次”其实隐含的条件

22、是：第一次(甲射击)命中、甲在第二次射击也命中、在第三次射击中没有命中，即事件AA发生事实上，因为第一次(由甲射击)如果出现，则第二次由乙射击，出现B(第三次仍由乙射击)或(第三次改由甲射击)，出现的事件分别为BB，B或A，都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此第一次(甲射击)命中；再考虑第二次射击，甲如果没有击中，则出现的事件为AB，A也都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此甲在第二次射击也命中；这样第三次不能再命中，否则结果为AAA前3次射击中甲恰好击中2次可列举为上面事件AA，所求的概率为P=××=； (2)第4次由甲射击隐含条件为：第三次若由甲射击，则必

23、击中；若由乙射击，则必未击中逆推，可以将问题列举为下列事件：AAA、A、A、B第4次由甲射击的概率P=()3+()2×+×()2+××=22(1)=(-15)(-16)(-17)=4080； (3分)(2)性质、均可推广，推广的形式分别是，(xR，mN+)事实上，在中，当m=1时，左边=x，右边=x=x，等式成立； (4分)当m2时，左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)=x(x-1)(x-2)(x-1)-(m-1)+1=x，因此，成立； (5分)在中，当m=l时，左边=+=x+l=右边，等式成立；当m2时，左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)(x-n+2)=x(x-1)(x-2)(x-m+2)(x-m+1)+m=(x+1)x(x-1)(x-2)(x+1)-m+1=右边， (6分)因此(xR，mN+)成立 (8分)(3)先求导数，得()/=3x2-6x+2令3x2-6x+2>0，解得x<或x>因此，当x(-，)时，函数为增函数，当x(，+)时，函数也为增函数 (11分)令3x2-6x+20, 解得x，因此,当x,时,函数为减函数 (12分)函数的增区间为(-，),(，+)；减区间为,- 11 -