高考数学基础强化训练题—排列组合二项式概率与统计
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1、2012年高考数学基础强化训练题 排列、组合、二项式、概率与统计一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1(理)下列随机变量中,不是离散型随机变量的是( ) A从10只编号的球(0号到9号)中任取一只,被取出的球的号码 B抛掷两个骰子,所得的最大点数 C0,10区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值 D一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数(文)现有10张奖票,只有1张可中奖,第一人与第十人抽中奖的概率为( ) A, B, C, D,2为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响,某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋
2、的数量,结果如下(单位:个):33、25、28、26、25、31如果该班有45名学生,那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋( ) A900个 B1080个 C1260个 D1800个3假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受了点 伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上,右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去,从最初位置爬到4号蜂房中,则不同的爬法有 ( ) A4种 B6种 C8种 D10种4A与A的大小关系是( ) AA > A BA < A CA = A D大小关系不定5(理)若f(m)=,则等于( ) A2 B C1 D3 (
3、文)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A1320 B288 C1530 D6706(理)在二项式(x-)6的展开式中(其中=1),各项系数的和为( ) A64 B64 C64 D64 (文)已知(2a3+)n的展开式的常数项是第7项,则正整数n的值为( ) A7 B8 C9 D10信号源7右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这
4、五个接收器能同时接收到信号的概率是 ( )ABCD8(理)同时抛掷4枚均匀的硬币3次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为,则 的数学期望是 ( ) A B C D1 (文)已知两组数据x1,x2,xn与y1,y2,yn,它们的平均数分别是和,则新的一组数据2x1-3y1+1,2x2-3y2+1,2xn-3yn+1的平均数是( ) A2-3 B2-3+1 C4-9 D4-9+19的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A0B2C4D610从0到9这10个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为( )ABC D 11设集合。选择I的两个非空子
5、集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )A B C D12某射手射击1次,击中目标的概率是0.9他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响有下列结论: 他第3次击中目标的概率是0.9他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 他至少击中目标1次的概率是10.14 其中正确结论的是( )A B C D二、填空题:本大题共4小题。每小题4分。共16分 把答案填在题中横线上13二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且二项式系数最大的一项的值为,则x在(0,2)内的值为_14(理)一射手对靶射击,直到第一次中靶为止他每次射击中靶
6、的概率是0.9,他有3颗子弹,射击结束后剩余子弹数目的数学期望E=_.(文)已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200,现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n的样本,进行质量检查,已知丙车间抽取了24件产品,则n=_.15某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用7步走完,则上楼梯的方法有_种16关于二项式(x-1)2005有下列命题: 该二项展开式中非常数项的系数和是1: 该二项展开式中第六项为Cx1999; 该二项展开式中系数最大的项是第1002项: 当x=2006时,(x-1)2005除以2006的余
7、数是2005 其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,他有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌,但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?18(本小题满分12分)求二项式(-)15的展开式中: (1)常数项; (2)有几个有理项; (3)有几个整式项19(本小题满分12分)(理)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分
8、别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。(1)写出的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)(2)求的数学期望。(要求写出计算过程或说明道理)(文)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率;(2)求所选用
9、的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率;20(本小题满分12分)袋中装有m个红球和n个白球,mn2,这些红球和白球除了颜色不同以外,其余都相同从袋中同时取出2个球 (1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍,试证:m 必为奇数; (2)在肌n的数组中,若取出的球是同色的概率等于不同色的概率,试求m+n40的所有数组(m,n)21(本小题满分12分)(理)东方庄家给游人准备了这样一个游戏,他制作了“迷尼游戏板”:在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉,钉子之间留有空隙作为通道,自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙,第2行3个铁钉之间有2
10、个空隙,第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图所示)东方庄家的游戏规则是:游人在迷尼板上方口放人一球,每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元若小球到达号球槽,分别奖4元、2元、0元、-2元(一个玻璃球的滚动方式:通过第1行的空隙向下滚动,小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙以后小球按类似方式继续往下滚动,落入第8行的某一个空隙后,最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)恰逢周末,某同学看了一个小时,留心数了数,有80人次玩试用你学过的知识分析,这一小时内庄家是赢是赔;通过计算,你想到了什么?(文)甲、乙二人做射击游戏,甲、乙射击击中与否是相互独立事件规则如下:若射击一次击
11、中,则原射击人继续射击;若射击一次不中,就由对方接替射击已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为,且第一次由甲开始射击(1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率;(2)求第4次由甲射击的概率22(本小题满分14分)规定A=x(x-1)(x-m+1),其中xR,m为正整数,且A=1,这是排列数A(n,m是正整数,且mn)的一种推广 (1)求A的值; (2)排列数的两个性质:A=nA,A+mA=A(其中m,n是正整数)是否都能推广到A(xR,m是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由; (3)确定函数A的单调区间参考答案1(理)C 仅C选项中的差值不是离散型随机变量 (文
12、)C 无论谁抽中奖的概率均为P=,则第一人与第十人抽中奖的概率均为,故应选C2C 由已知抽样数据可得平均数为=28个,据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=l260个3C 路线为134;124;1234;0134;0124;01234;024;0234.4D 当n3时,得-=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n2-4n+1),当n=3时,-=6>0,得>;当n4时,-<0,得<. 即与的关系不定故应选D5(理)A f(m)=,f(3)=(1+3)n=4n,f(1)= =(1+1)n=2n. =2,故应选A.(文)A 用间接法求
13、解简单 ;也可直接法分3类求解;6(理)D 令x=l得,各项系数和为(-)6=26×(-)6=-26=-64(文)B T7=(2a3)n-6·a-6=·2n-6·a3n-24,当3n-24=O时,此项为常数项,即n=8时第7项是常数7D由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法,同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法;要五个接收器能同时接收到信号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中,即五个接收器的一个全排列,再将排列后的第一个元素与信号源左端连接,最后一个元素与信号源右端连接,所以符合条件的连接方式共有种,所求的概率是,故选D8(
14、理)B 4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的概率为P=C·()4=, 由此可得P(=0)=C·(1-)3=()3,P(=1)=·(1-)2=,P(=2)=·()2(1-)=,P(=3)=·()3=,由此可得E=0×()3+1×+2×+3×=故应选B (文)B (2x1-3yl+1+2x2-3y2+l+2xn-3yn+1)n=2(x1+x2+xn)n-3(y1+y2+yn)n+1=2-3+l,故应选B9B 展开式通项为,若展开式中含x的正整数指数幂,即所以,选(B)10B将这10个数字按被3除所得的
15、余数分成三个集合A=0,3,6,9,B=1,4,7,C=2,5,8,所以能被3整除的分以下四种情况三个数都从A中取,共有个数能被3整除;三个数都从B中取,共有个数能被3整除;三个数都从C中取,共有个数能被3整除;分别从ABC中各取一个数,共有个数能被3整除.所以所有能被3整除的数共有228个.而从0到9这10个数字中任意取3个数组成的三位数共有个,所以能被3整除的概率为,于是这个数不能被3整除的概率为,因选B11B 显然,设,则C是I的非空子集,且C中元素不少于2个(当然,也不多于5个).另一方面,对I的任何一个k()元子集C,我们可以将C中元素从小到大排列.排好后,相邻数据间共有k1个空档。
16、在任意一个空挡间插入一个隔板,隔板前的元素组成集合A,隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定符合条件,且集合对A,B无重复.综合以上分析,所求为:.选B.12A恰好击中目标3次的概率是O.93×0.1,即得错误,而正确,故应选A13或 由已知可得+=n+1=7,即得n=6,二项式系数最大的一项为·sin3x=20sm3x=,解得sinx=,又x(0,2),x=或14(理)1.89 P(=2)=O.9,P(=1)=0.1×0.9=0.09,P(=0)=O.13+0.12×0.9=0.0l,由此可得E=2×O.9+l×O.09+O
17、5;O.01=1.89 (文)80每个个体被抽取的概率P=, n=(1500+1300+1200)×=801535 从二楼到三楼用7步走完,共走11级,则必有4步每步走两级,其余3步每步1级,因此共有=35种方法16 二项式(x-1)2005所有项的系数和为O,其常数项为-l,非常数项的系数和是1,即得正确;二项展开式的第六项为x2000,即得错误;二项展开式中系数绝对值最大的项为=,-=-,得系数最大的项是第1003项·x1003,即错误;当x=2006时,(x-1)2005除以2 006的余数是2006-l=2005,即正确故应填17由于张数不限,2张2,3张A可以一起
18、出,亦可分几次出,故考虑按此分类 (2分) 出牌的方法可分为以下几类: (1)5张牌全部分开出,有A种方法; (3分) (2)2张2一起出,3张A一起出,有A种方法; (4分) (3)2张2一起出,3张A分开出,有A种方法; (5分) (4)2张2一起出,3张A分两次出,有种方法; (7分) (5)2张2分开出,3张A一起出,有A种方法; (8分) (6)2张2分开出,3张A分两次出,有种方法; (10分) 因此共有不同的出牌方法A+ A+ A+ A+=860种 (12分)18展开式的通项为:Tr+1= = (1)设Tr+1项为常数项,则=0,得r=6,即常数项为T7=26; (4分) (2)
19、设Tr+1项为有理项,则=5-r为整数,r为6的倍数,又0r15,r可取0,6,12三个数,故共有3个有理项 (8分) (3) 5-r为非负整数,得r=0或6,有两个整式项 (12分)19(理)解:()123456789P()(文)设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A,“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B()芳香度之和等于4的取法有2种:、,故。()芳香度之和等于1的取法有1种:;芳香度之和等于2的取法有1种:,故。20(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数), 则有 (2分)-kmn=2kn+1 (4分)kZ
20、,nZ,m=2kn+1为奇数 (6分)(2)由题意,有,=mn,m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n,1 (8分)mn2,所以m+n4,2m-n<7,m-n的取值只可能是2,3,4,5,6,相应的m+n的取值分别是4,9,16,25,36,即或或或或解得或或或或 (10分) 注意到mn2 (m,n)的数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15) (12分)21(理)游人每玩一次,设东方庄家获利为随机变量(元);游人每放一球,小球落入球槽,相当于做7次独立重复试验,设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量+1,则B(7,)因为P(=-4)=P(=0
21、或=7)=P(=0)+P(=7)=+=P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+,一小时内有80人次玩刚东方庄家通常获纯利为(2+×)80=225(元) 答:庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器,劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑 (12分) (文)假设甲射击命中目标为事件A,乙射击命中目标为事件B (1)“前3次射击中甲恰好击中2次”其实隐含的条件
22、是:第一次(甲射击)命中、甲在第二次射击也命中、在第三次射击中没有命中,即事件AA发生事实上,因为第一次(由甲射击)如果出现,则第二次由乙射击,出现B(第三次仍由乙射击)或(第三次改由甲射击),出现的事件分别为BB,B或A,都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”,因此第一次(甲射击)命中;再考虑第二次射击,甲如果没有击中,则出现的事件为AB,A也都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”,因此甲在第二次射击也命中;这样第三次不能再命中,否则结果为AAA前3次射击中甲恰好击中2次可列举为上面事件AA,所求的概率为P=××=; (2)第4次由甲射击隐含条件为:第三次若由甲射击,则必
23、击中;若由乙射击,则必未击中逆推,可以将问题列举为下列事件:AAA、A、A、B第4次由甲射击的概率P=()3+()2×+×()2+××=22(1)=(-15)(-16)(-17)=4080; (3分)(2)性质、均可推广,推广的形式分别是,(xR,mN+)事实上,在中,当m=1时,左边=x,右边=x=x,等式成立; (4分)当m2时,左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)=x(x-1)(x-2)(x-1)-(m-1)+1=x,因此,成立; (5分)在中,当m=l时,左边=+=x+l=右边,等式成立;当m2时,左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)(x-n+2)=x(x-1)(x-2)(x-m+2)(x-m+1)+m=(x+1)x(x-1)(x-2)(x+1)-m+1=右边, (6分)因此(xR,mN+)成立 (8分)(3)先求导数,得()/=3x2-6x+2令3x2-6x+2>0,解得x<或x>因此,当x(-,)时,函数为增函数,当x(,+)时,函数也为增函数 (11分)令3x2-6x+20, 解得x,因此,当x,时,函数为减函数 (12分)函数的增区间为(-,),(,+);减区间为,- 11 -
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