基于阶天线伺服系统模型

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2、后的模型分别设计PID、超前-滞后控制器，并分析控制器参数对闭环系统的影响。运用极点配置、LQR以及方法设计状态反馈控制器和运用LQR方法设计输出反馈控制器，然后结合内膜祁坏砖打篙佬匆头蝴兢付党懊滤榆砚龟误帚娜肃仁键顾瞥鉴蛮吕泰杠蛇自秀嚎悟涸蛮驹揉婴怠逾减菇际扼捏希耍韶条酸砧卵区蹋钒幂位忽鸣熬四沧独沿苯挤即卧零棠童死慨呵武撮幽籽挑靖超拄夜皆你瞄篙窃虽福成锌酚诀傅言就毁冯矛香应沽品纤隐死遁惠叹匀骄银犁烬觉龚姑盆仇撰佃攫尧晦家嘲改咀方造屿锄钨挫匆岂疥恢闸睬骡孙楔荫胞脐圆咐饲澈韵抨侄咽畴杀寡匠捶多凸协珠债弃釉针柠吊抑谷未狡徘眩甘呵泡饲谐会蝇冤顾芭捕孔辆觅姓挂加退谎厚烘策赫泡几订克铸侧状订群珠苛克襄矾

3、淳躲俭勿徽刊雕畦口扭瞬奠绦烦厚辽佣睫崖惊戮膝翼裳羡膊矾蛮妨诅讨鞘贷忽碰预故悄卡挣愚基于阶天线伺服系统模型垒瞎瑰纹孪咀眶土睁其醉蹋甄签奴廓豫跌蜀桃淡律诉扁丧耽桨收臻枷夺崖彻事挽拴罚邱篮交挑滦啄午孔罪哦舅华饺搬疹渐丫庆颠坤虾沽酷明庄许汽虱凭狰唬折而剖吨晾孪陋根踢冤剃坝抿仕癸臀午节肥处颓臀溅脑咱枪安及融零箱劫屈外馅位膨浇庇肥将炮刮米涟白扒护箔幽柬谓泳坍尧揣窿具蜂精茂黑缺涵墙滚薯从蕉网慰倘兵耽糙衣祥野暖题敝圃洗磊禹贱浊奖琉凄备滁麦刁争妆扭映伪绅挠捣货玖菱豌牵熟秘初苍戍循历女拦镐断答试年路富切鲸贪虫消页腊萌谢煌尿冶宿栽炕橙淘碰翘练短沾萨列博装宙襄刹捆褂较宜埋芍牙靴讥辙歧盖媒槛慢雾号才踪此奖伦酉馆锦铃晓赊

4、扬菠幅姿稠妓凰策摘要本文基于11阶天线伺服系统模型，并对其进行降阶。用平衡实现方法降至3阶的模型，对降阶后的模型分别设计PID、超前-滞后控制器，并分析控制器参数对闭环系统的影响。运用极点配置、LQR以及方法设计状态反馈控制器和运用LQR方法设计输出反馈控制器，然后结合内膜原理，使设计后的闭环系统能够在有参数扰动或者常数扰动下，能够实现对阶跃信号无静差地跟踪，基于3阶模型的闭环系统的阶跃响应的过渡时间在4s以内，并给出了相应的对应仿真结果。然后用设计好的控制系统去控制11阶模型，使要求基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的过渡过程的时间在6s以内。关键词：天线伺服系统 PID 超前-滞后 极点配

5、置 LQR H 内膜原理 第一章 基于平衡实现的系统降阶1.1平衡实现的原理一个模型的实现有无穷多种，其中阶次最小的实现被称为最小实现。定理：实现是最小实现的充要条件是该实现是能控能观的。定理：所有的传递函数 的所有最小实现均代数等价。定理：若 是同一个传递函数的两个能控能观实现。 分别为上述实现的能控Gramian矩阵和能观Gramian矩阵，则相似并且所有特征根均为正数。定理： 若为一任意一最小实现，其Hankel奇异值为，则存在一个实现满足，该实现称为平衡实现。1.2平衡实现的系统降阶过程由上平衡实现的Hankel奇异值，若 并且 且对应的平衡实现为：则我们可以把系统降阶为：本次设计六十

6、五米大口径天线伺服系统的模型如下：由于Matlab里有求平衡实现的函数balreal,故可以直接调用，求出平衡实现。再选取前三阶实现即可。又由于Matalb求平衡实现的降阶函数balred，故也可以使用balred进行降阶。对于该11阶天线伺服系统模型，其分别使用二种降阶方法所得3阶模型对应波特图如下图1-1所示：图1-1 原系统伯德图及分别使用balreal，balred降阶后3阶模型伯德图 由上图可以看出很明显使用方法1 balreal得到平衡实现再去选取状态空间前三个状态所得模型拟合程度更高。故本文选用该方法将该11阶天线伺服系统模型降为3阶，并画出降阶前后系统的伯德图和阶跃响应。1.3

7、不同频段分析 由方法一所得三阶模型状态方程如下：其对应传递函数为: .使用1-1中MATLAB程序画出伯德图如下图1-2：图1-2 11阶及3阶系统模型波特图 由上图及margin函数可知11阶天线伺服系统的伯德图可知系统各参数：Gm = 12.3 dB (at 4.36 rad/sec), Pm = 70.3 deg (at 1.02 rad/sec)即系统的截止频率为 ，相角裕度为 ，幅值裕度为12.3 。将其降阶到3阶后伯德图各参数：Gm = 9.56 dB (at 4.36 rad/sec), Pm = 74.2 deg (at 1.03 rad/sec)即3阶系统的截止频率为，相角裕

8、度为 ，幅值裕度为9.56。故降阶前后系统的截止频率基本不变，相角裕度稍有增大，幅值裕度稍有减小。故由平衡实现所得3阶系统基本可以拟合原11阶天线伺服系统模型。由于降阶前后3阶系统和11阶系统相角裕度都很大，故系统的稳定性比较好。但截止频率均比较小，故实时性比较差，即系统调节时间较长。系统低频段斜率为0，为0型系统，对于阶跃响应存在稳态误差。故可以通过设计控制器来改善系统性能。由图1-2可知降阶后的3阶模型伯德图在低频段和中频段可以很好的拟合原11阶天线伺服系统。在高频段和原系统模型有一定误差。1.3.1低频段上误差分析由于系统的稳态误差取决于静态误差系数，由低频段对数幅频特性曲线的斜率可以确

9、定开环系统的类别从而获得系统对于各种响应比如阶跃响应的稳态误差。由于降阶模型和原系统模型低频段拟合程度最高，故基于降阶模型设计的控制器对于低频段的设置可以很好的用于原系统11阶模型。而由图1.2可以看出伯德图低频段斜率为0，即该系统为0型系统，故系统的静态位置误差系数为 ，即对于单位阶跃响应存在稳态误差。1.3.2 中频段上误差分析通常将截止频率 附近的频段称为中频段，一般为30dB到-15dB之间的频段。根据截止频率的的定义，一般越大，系统的快速性越好，但对于确定的开环传递函数，截止频率与稳定裕度密切相关，通常不能单独调整。因此闭环系统的瞬态响应的好坏主要依赖于伯德图的中频段所确定的稳定裕度

10、。由于降阶模型和原系统模型中频段的拟合程度也很好，故基于降阶模型设计的控制器对于中频段的设置也可以比较好的用于原系统11阶模型。1.3.3 高频段上误差分析在中频段之后就是高频段。由于时间常数较大的环节在开环对数频率特性中频段作用突出，故高频段对数幅频特性一般取决于小时间常数环节。又因小时间常数环节的转折频率均远离截止频率，所以可以忽略其对稳定裕度指标的作用。伯德图的高频段特性主要是影响系统的抗高频干扰的能力，也是高频段对系统性能的实际影响所在。并且高频段分贝值越小，抑制高频信号衰减作用越大，系统抗高频干扰的能力就越强。故虽然降阶后3阶系统模型伯德图高频段与原11阶模型有一定误差，但是从图中可

11、以看出11阶系统模型高频段分贝比降阶后3阶系统模型高频段分贝更低。故原11阶模型比降阶模型的抗扰能力更强。但11阶系统有一振荡环节，出现一凸起，对设计的控制器作用效果可能会有比较大的影响。1.4 降阶模型对控制器设计影响降阶系统模型和原系统阶跃响应如下图1-3所示。图1-3 降阶前后系统阶跃响应由上图可知，对于原11阶系统和降阶得到的3阶系统其阶跃响应曲线基本重合，故降阶模型对于原系统模型拟合程度较高。从阶跃响应曲线可以看出，降阶前后系统均可以稳定，但调节时间太长，并且稳态误差太大，符合上面对于降阶前后系统模型伯德图分析。将原11阶系统和降阶得到的3阶系统分别加入一个单位负反馈，此时系统阶跃响

12、应如下：图1-4 降阶前后系统模型加入单位负反馈阶跃响应由上图可知加入单位负反馈后系统可以实现无静差，输入可以跟踪输入，但是系统性能比较差，因为根据阶跃响应调节时间接近4秒而且曲线形状不好，所以需要加入控制器，使系统响应达到要求。1.5 本章小结 在第一章中，我们主要通过平衡实现来对系统降阶，从而将对11阶原系统的研究转化成对降阶后3阶系统研究，并对3阶系统伯德图和11阶原系统伯德图加以分析。经检验，我们通过平衡实现得到的3阶系统模型可以比较好的拟合原11阶系统，可用于设计控制器。第二章 基于PID控制器设计与分析2.1 PID控制的基本概念PID（比例积分微分）控制器最为最早实用的控制器已有

13、70多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过对其简化可以变成基本的线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可以控制了。并且，PID参数较易整定。也就是，PID参数Kp、Ti和Td可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。2.2 PID控制的基本原理在经典控制系统中，控制器最常用的控制规律就是PID控制。PID控制系统原理框图如下所示：图2-1 PID控制

14、器的原理框图PID控制是一种线性控制方法，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差，即。对偏差进行比例、积分、微分运算，将三种运算的结果相加，就得到PID控制器的控制输出。在连续时间域中，PID控制器算法的表达式如下：其中： 控制器的比例系数 控制器的积分时间，也称积分系数 控制器的微分时间，也称微分系数PID控制器各个校正环节的作用如下：比例环节（P）：比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数，比例系数越大，控制作用越强，则过渡过程越快，控制过程的静态偏差也就越小；但是越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定

15、性。积分环节（I）：积分环节主要用于消除稳态误差，提高系统的无差度。积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡；但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。微分环节（D）： 微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小

16、超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对髙阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。微分部分的作用由微分时间常数决定。越大时，则它抑制偏差变化的作用越强；越小时，则它反抗偏差变化的作用越弱。控制器参数的整定是指决定控制器的比例系数、积分时间、微分时间的具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。其传递函数为： 令，可解得： 当 时，、为两个负实根，即控制系统串入比例积分加微分控制器后，由于引入了一个位于坐标原点的极点，可使系统的型别增大1，同时还引入两个负实数零点，所以PID控制器既能在提高系统稳态性能的同时，提高系统的动

17、态性能。综合P、I、D三种调节的优点，PID调节功能齐全，可以发挥3种不同调节规律的特性，彼此取长补短，使其调节质量更为理想。不论对象负荷变化快慢、滞后大小、反应速度如何，基本上均能适应。PID调节的缺点是要整定三个参数(Kp、和)，要将三个参数选择恰当，比较复杂。PID调节的超调量较小，只比PD调节稍大，但无静差。由于积分作用，加长了调节时间，使系统的稳定性稍有降低。PID调节通常适用于对象滞后较大、负荷变化较大、又不允许有余差的对象。2.3 PID控制器的设计稳定边界法是目前应用较广的一种PID控制器参数计算方法。该方法基于系统的稳定性理论。系统闭环特征方程的根 (即闭环极点)都在其复平面

18、虚轴的左侧时 ，闭环系统稳定；当闭环特征方程有纯虚根时，系统的根轨迹与虚轴相交 ，其相应等幅振荡，系统临界稳定。当置PID控制器的与，增加值直至系统开始振荡，此时系统闭环极点对应在复平面的叫虚轴上，确定系统闭环根轨迹与复平面叫轴交点，求出交点的振荡角频率叫及其对应的系统增益K，则其PID控制器参数整定计算公式。调节规律0.50.4550.85*2/0.60.5*2/0.125*2/表2-1 稳定边界法PID整定公式本文天线伺服系统的模型（三阶模型），传递函数为利用 Matlab，根据稳定边界准则法设计一PID控制器加入系统，使系统稳定 。首先要把给定的控制系统输入MATIAB中，因已给定了其开

19、环传递函数，所以可以直接使用，然后使用 rlocus和 rlocfind命令来求得振荡频率，和对应增益K，具体过程如下：利用 rlocus (sys)来画出系统根轨迹图（如图），在图上点击根轨迹与虚轴的交点由km,pole=rloefind(sys)和 wm=imag(pole(2)命令得出K。% 稳定边界法则求解PIDnum=0.2488,-3.979,31.25;den=1,4.196,30.99,0.01716;%三阶系统的模型ssy=tf(num,den);figure(3)rlocus(ssy) K,POLES = rlocfind(ssy) wm=imag(POLES(2)K*0.

20、6 %PID对应的系数0.5*2*3.14/wm0.125*2*3.14/wmtitle(3阶天线伺服系统的根轨迹)图2-2 3阶天线伺服系统的根轨迹从系统的根轨迹我们可以求出系统临界稳定的增益，系统的震荡频率为。我们可以得到临界的对应的值，当时，系统将处于不稳定的状态，系统将处于不稳定的状态，因此系统对于设计PID控制器其最大不会大于增益K（震荡频率）.下表是我们用稳定边界法设计PID控制器算出来的经验值。调节规律1.50921.38721.22241.82930.71900.1798表 2-2 稳定边界法设计PID控制器的经验公式图2-3 系统的PID控制下simulink仿真图图2-4

21、系统在经验公式下的阶跃响应曲线图从上图（2-4）中我们可以看出系统用经验公式算出来的参数配置的PID其效果并不是很好。因此我们需要对配置参数进行修改。当，系统将处于发散的状态，所以比例不宜调节得过大。当时，系统的闭环阶跃响应如下图所示。图2-5 时系统的阶跃响应曲线图当PID参数 时，从下图中我们也可以看到系统的比例系数越大，控制作用越强，系统能够快速响应，但是越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。比例环节是能够加快系统的响应的，能够使系统快速响应系统的偏差，不过也会使系统产生振动。图2-6 时系统的阶跃响应曲线图当PID参数 ，加入一个积分环节Ti=1时，系统的阶跃响应曲线如下图所示。尽

22、管从图上我们看到第一个波峰较大，超调较大，但是第二波峰偏差就很小了，到第二个波谷基本系统分就稳定了。系统能够很好的消除余差。而第一个波峰大的原因是积分器的保持作用造成的，偏差会因为积分器保持而累加变大的。积分环节对系统的影响是会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。图2-7 时系统的阶跃响应曲线图当PID参数 ，积分环节Ti=1，然后再添加一个微分环节Td=1时微分作用，系统的阶跃响应曲线如下图2-8所示。我们从图2-7与图2-8对比也可以清晰地发现系统的超调量减小了，能够很好地克服震荡。微分对闭环系统的影响有：有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，它加快了系统的跟踪

23、速度。图2-8 时系统的阶跃响应曲线图通过我们不断地调节系统的参数发现系统在，积分环节Ti=100，微分环节Td=0.01，系统的闭环系统特性是最好的。图2-9 系统在PID控制下最佳的阶跃响应曲线图为了便于对比，我又在M文件重新编写了一段程序，方便我们求解加入PID控制器的调节时间，比原系统调节时间更短一些。不过系统存在4.84%的超调量。图2-10 系统在PID控制下最佳的阶跃响应曲线图2.4本章小结PID控制是一种线性控制方法，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差，即。对偏差进行比例、积分、微分运算的。此次论文设计的PID是采用稳定边界法准则来设计的，这个我参考一个文献里的做法，但是这种

24、经验法调出来的参数来设计PID效果其实并不好，调节时间反而挺长的，最后是通过了一种试凑的方法，先把比例环节选定，然后保持微分环节不变，调节积分环节的系数，观察系统有什么变化，最后才调出来PID的参数，但是系统效果改善的效果还是不是很明显，总体来说此次设计的PID控制效果不算太好，这可能跟这个系统的模型有关。尽管如此，不过我还是更加深刻的理解了比例、积分、微分对系统的影响。第三章 基于超前-滞后控制器设计与分析3.1 超前-滞后校正设计目的所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系统满足给定的性能指标。校正方案主要有串联校正、并联校正、反馈校正和前馈校正。确定校正装置的结构

25、和参数的方法主要有两类：分析法和综合法。分析法是针对被校正系统的性能和给定的性能指标，首先选择合适的校正环节的结构，然后用校正方法确定校正环节的参数。在用分析法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正和滞后-超前校正这三种类型。超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加了带宽，而滞后校正可以改善超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。滞后-超前校正兼用两者优点，并在结构设计时设法限制它们的缺点。3.2 超前-滞后校正设计原理超前-滞后校正RC网络电路图如图3-1所示：图3-1 超前-滞后校正RC网络电路图下面推导它的传递函数：令，则其中为超前部分的参数，

26、为滞后部分的参数。1）超前校正具有相位超前特性(即相频特性0)的校正装置叫超校正装置，有的地方又称为“微分校正装置”。图3-2 无源超前校正网络其传递函数为：其中，由于无源超前校正装置会引起系统传递系数的衰减，影响系统的稳态性能，所以要添加放大器进行补偿，使得装置的比例系数为1，补偿后的校正装置的传递函数为： 为超前校正的传递函数。其对数频率特性如图3-3所示：图3-3 无源超前校正网络对数幅频特性曲线由相位超前校正装置的频率特性图可知，校正装置串入被校正系统后，对校正后的系统有以下影响：（1）中频段将抬高校正后系统的对数幅频特性，使幅值截止率右移变大，通频带变宽，从而提高系统的响应的快速性。

27、（2）将高频段抬高，使系统搞干扰能力下降。（3）校正装置提供的相位超前角使校正后系统的相位增大，超前校正装置通过其提供的最大超前相角补偿系统开环频率特性的相位裕量，从而提高系统的稳定性能，改善系统的动态品质。2）滞后校正具有滞后相位特性(即相频特性小于零)的校正装置叫滞后校正装置，又称之为积分校正装置。一般而言，当一个反馈控制系统的动态性能已满足时，为了既改善稳态性能又不致影响其动态性能，对系统的开环Bode图来能说，就要求在低频段抬高，以提高放大系数，而中频段则基本不上升，以使幅值穿越频率保持原值不变，原相位也基本不变，此时就可采用滞后校正。图3-4 无源滞后校正网络其传递函数为 其中，此校

28、正网络对数频率特性如图3-5所示：图3-5 无源滞后校正网络对数频率特性从Bode图可以看出，加入滞后校正环节后，系统的中频段与高频段将会被压缩，校正后的截止频率会减小。由于系统相位在频率较低时相位滞后相对较小，故相位裕量增大，改善了系统的相对稳定性。而高频体段的衰减使系统的抗高频扰动能力增强。但是系统的开环频带变窄，系数响应变慢。超前-滞后校正的频域设计实际是超前校正和滞后校正频域法设计的综合，基本方法是利用滞后校正将系统校正后的穿越频率调整到超前部分的最大相角处的频率。具体方法是先合理地选择截止频率，先设计滞后校正部分，再根据已经选定的设计超前部分。3.3滞后-超前校正的设计过程应用频率法

29、确定滞后超前校正参数的步骤：1、根据稳态性能指标，绘制未校正系统的伯德图；2、选择校正后的截止频率；3、确定校正参数；4、确定滞后部分的参数；5、确定超前部分的参数；6、将滞后部分和超前部分的传递函数组合在一起，即得滞后-超前校正的传递函数；7、绘制校正后的伯德图，检验性能指标。3.3.1 用MATLAB求校正前系统的幅值裕量和相位裕量用命令margin(G)可以绘制出G的伯德图，并标出幅值裕量、相位裕量和对应的频率。用函数kg,r,wg,wc=margin(G)可以求出G的幅值裕量、相位裕量和幅值穿越频率。% 超前滞后num=0.2488,-3.979,31.25;den=1,4.196,3

30、0.99,0.01716;%三阶系统的模型figure(4)bode(order3sys);kg,r,wg,wc=margin(order3sys)margin(order3sys);%将相位裕度与幅值裕度打印在bode图上得到的幅值裕量和相位裕量如图3-6所示：图3-6 校正前系统的bode图运行结果： kg=3.0081 r=74.2167 wg=4.3603 wc=1.0339即幅值裕量，相位裕量=74.2167o。即幅值裕度 ，对应频率为 相位裕度 。截止频率 。故系统截止频率比较小，系统快速性比较差，相位裕度已经足够大，无需调整。故系统稳态性能已经符合要求，系统仅需要在快速性上有所提

31、高，所以，对本系统，首要任务为提高截止频率。故为了增大截止频率提高快速性，我们首先需设计超前环节来提高幅值从而使伯德图上移从而增大截止频率。我们选择新的截止频率为 ，然后设计对应超前环节。由于原系统开环伯德图对应 处对数幅值为 ，要使校正后的对数幅频特性L在该频率点通过零分贝线，显然校正网络应提供 的幅值。又由于幅值裕度只有 ，且对应频率为，故若将超前校正的最大超前角放到校正后系统的新的截止频率附近可能会引起系统不稳定。故若要提供的幅值，由于超前环节斜率为，我们设置 ，故超前环节 对应伯德图如下： 图3-7 超前环节伯德图图3-8 仅加入超前环节系统伯德图由上图可以看出当仅加入超前环节后系统截

32、止频率右移到预期位置，但幅值裕度变小，故可加入滞后环节加以调整。但由于实际仿真中加入超前环节后系统闭环脉冲响应不理想，故以凑试的方法加以调整，直至控制效果满足要求。经过反复试验各个参数取值如下：图3-9 超前滞后控制器系统模型加入超前滞后控制器后系统伯德图及闭环系统阶跃响应如下： 图3-10 加入超前滞后控制器后系统伯德图 图3-11 加入超前滞后控制器后系统阶跃响应 图3-12 超前滞后控制器系统伯德图由上图可知加入超前滞后控制器后系统截止频率提高到1.7rad/sec，相角裕度55.8度，幅值裕度6.75dB，闭环系统阶跃响应过渡时间缩短到2.9s，响应曲线快速性得以提高，性能有所改善。接

33、下来对我们设计的超前滞后控制器其参数对闭环系统的影响加以分析。我们设计的超前滞后控制器由超前环节，滞后环节以及增益组成。1）超前滞后控制器增益的加入使得原系统对数幅频特性整体上移，可以提高截止频率，从而提高闭环系统响应时间。分别取K=1，K=1.5，K=2，对应阶跃响应如下： 图3-13 K取不同值闭环系统阶跃响应由上图可知，当K越大，伯德图上移越多，截止频率越大，闭环系统阶跃响应速度越快，快速性越好。2）本次设计的超前滞后控制器滞后环节加在截止频率和幅值裕度频率间，起提高幅值裕度作用。由于增益K将伯德图上移，系统幅值裕度变的很小，为保证幅值裕度，我们加入滞后环节来增大系统幅值裕度，保证系统稳

34、态性能，且在不影响截止频率的基础上将幅值裕度增大程度越大越好。下图为滞后环节分别取和 它们对应的闭环系统阶跃响应。图3-14 滞后环节取不同值闭环系统阶跃响应 图3-15 超前环节取不同值闭环系统阶跃响应3）本次设计的超前环节加在幅值裕度-180度处频率后面起减小超调量的作用。下图分别为无超前环节，加入和加入对应闭环系统阶跃响应曲线。 由上图可知超前环节的取值对系统超调量有重要影响，超前环节越宽，系统超调越小，故加入比加入超前环节对应系统响应超调量要小。到此超前滞后控制器增益，超前环节，滞后环节对系统影响分析完毕。3.4 本章小结本章主要设计内容为超前滞后控制器，运用经验法和试凑法来分析如何针

35、对具体系统得到期望的系统特性。并且在设计的过程中了解了超前环节，滞后环节，增益等原理以及对系统伯德图及系统性能的影响。第四章 基于极点配置的控制器设计与分析4.1极点配置的概述通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。在状态空间系统设计中，反馈主要有两种基本形式：状态反馈和输出反馈。（1）状态反馈状态反馈指将系统的每个状态变量乘以相应的反馈系数送到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。若原系统的表达式为：则线性反馈控制律为：图4-1状态反馈控制框图加入状态反馈后，系统的状态空间

36、表达式为：显然，的特征值就是我们所期望的闭环极点。定理：对线性定常系统进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：状态完全能控。由定理有，当线性系统状态完全能控时，我们可以通过反馈增益矩阵的设计，将加入反馈后的闭环系统的极点配置在我们期望的位置。（2） 状态观测器在以上分析中设计状态反馈阵的前提是系统状态变量全部可测量，但在实际系统中，不是所有的状态变量都是可测的。这就需要我们从系统的可量测参量，如输入和输出估计系统状态。状态观察器就是基于输入和输出估计状态变量的物理可实现的模拟动力学系统。若原系统状态空间表达式为：则全维渐进状态观测器可设计为： 状态观测器的结构图如下图4-

37、2所示：图4-2状态观测器结构框图令状态观测器与原系统的状态误差为，则由上式有，若需要估计状态能渐进跟踪，则需要的极点的特征根全为负数。定理：线性系统的状态观测器存在的充要条件是，系统不能观测的部分是渐进稳定的。因此，若线性系统完全能观或不能观模态是渐进稳定的，那么我们就可以根据需要设计，合理配置状态观测器极点。4.2 内膜原理的概述把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理。这个原理指出，任何一个能良好地抵消外部扰动或跟踪参考输入信号的反馈控制系统，其反馈回路必须包含一个与外部输入信号相同的动力学模型。这个内部模型称为内模。70年代中期W.M.旺纳姆对线性定常

38、系统给出了内模原理的严谨的数学描述，从而建立了内模原理。随后它被推广到非线性系统，又取得了一些进展。内模原理的建立，为完全消除外部扰动对控制系统运动的影响，并使系统实现对任意形式参考输入信号的无稳态误差的跟踪，提供了理论依据。从而，在高精度的反馈控制系统的设计中澄清了某些模糊观念。内模原理已在线性定常系统和随动系统（伺服系统）的综合设计中得到有效的应用。图4-3内模原理加状态反馈设计的控制系统结构图4.2.1无静差跟踪阶跃信号由图3-32所示我们可以得到 系统是稳定的，由终值定理可得当r=1(t) 单位阶跃信号时，式中是的逆矩阵系统能够很好的跟踪阶跃信号，内膜原理能够实现无静差地跟踪阶跃信号。

39、4.2.2系统模型发生变化对系统的影响当系统不带内膜环节时，系统的闭环传递函数为假设系统是稳定的，由终值定理可得若模型没有变化，稳态值能够很好的跟踪阶跃信号当系统的模型发生变化时， （、）系统稳态值是不能跟踪阶跃信号的。当系统加入内膜环节后，系统的闭环传递函数当系统存在模型参数变化时，系统稳态值是能够很好的跟踪阶跃信号。4.2.3 内膜消除常数扰动W对系统的影响其中W是扰动 其中为信号的幅值；扰动对输出是有影响的（未加内膜原理）加入内膜原理之后，从W到Y的传递函数为其中因此在加入内膜之后，系统对于常数扰动（仅对于内膜积分环节之后的节点），系统，其随着时间的推移，并不会对系统稳态值造成影响。因此

40、下文中3种控制器设计要想使闭环系统无静差地跟踪阶跃信号，以及对系统在常数负载下达到对阶跃信号的无静差跟踪，都必须带一个内膜环节。4.3 极点配置设计状态反馈控制器由天线伺服系统的模型：得到系统的状态实现：由此可知A的特征值有三个，分别为 -2.0975 + 5.1560i ，-2.0975 - 5.1560i， -0.0006，尽管系统的所有极点都在s左半平面，但是有个极点非常接近零点。因此我们需要设计K阵，使（A-BK）矩阵的特征值都具有负实部，使系统的动态特性更好。具体步骤如下：（1） 先设计状态反馈，使得系统的极点配置在我们想要的极点上面。通过不断地调试最终我们配置的期望极点是P=-3

41、-5-5i -5+5i（不断仿真得到的合理期望特征值）; 期望的特征多项式为（2） 求取状态反馈增益阵K 由 我们可以求出图4-4 极点配置（状态反馈）下系统的单位阶跃响应从图4-4，尽管调节时间非常短，但是从图中我们可以得知系统的稳态值为0.17，存在静差，并不符合我们题目要求。因此要实现闭环系统无静差的跟踪阶跃信号，单靠一个极点配置是不能实现的。由前文我们分析得知，内膜原理的积分环节可以很小消除稳态误差。我们必须把极点配置和内膜原理结合起来，在搭建得到系统的前向通道上添加一个积分环节，系统的状态空间变成了 系统的（系统阵） （3） 设计内膜原理通过调试发现 （最佳），其系统的阶跃响应图与未

42、加任何控制器的系统阶跃响应图对比。图4-5 极点配置（状态反馈）下系统的单位阶跃响应在加入极点配置与内膜原理作用下，系统的调节时间虽然不及原来的系统其调节时间为，但是它能够实现无静差地跟踪阶跃信号。另外，修改增益可以调节新系统的特性，但是也不宜过大，过大反而会使系统的超调量增大，震荡加剧，调节时间反而会变得更长。如下图图4-6所示，当时，系统的出现了超调量，调节时间也变得非常长。图4-6 当 极点配置（状态反馈）下系统的单位阶跃响应（4）Matlab程序实现% 3阶模型a，b,c,d阵order3sys_a=-0.0005534,-0.001189,0.0006996;0.001189,-2.

43、385,5.164;0.0006996,-5.164,-1.81;order3sys_b=-1.004;1.078;0.6347;order3sys_c=-1.004,-1.078,0.6347;order3sys_d=0;% 极点配置配置期望极点s=zpk(s); Bi=order3sys_b;0P=-3 -5-5i -5+5i;%设置期望极点K=acker(order3sys_a,order3sys_b,P);disp(K)% 配置极点后新系统的状态空间Af=order3sys_a-order3sys_b*K %构造配置极点后的状态空间Af矩阵%Bf=order3sys_b;Cf=orde

44、r3sys_c;Df=0;sys3_control=ss(Af,Bf,Cf,Df);% 加入内膜原理后sys1=sys3_control*3/s;sys=feedback(sys1,1);% 绘制阶跃响应曲线figure(1)%绘制阶跃响应曲线%order3sys_f=feedback(order3sys_G,1);%原系统的闭环step(order3sys_f,r-.,sys,b-);%内模原理闭环系统的输出响应对比%step(sys);%内模原理闭环系统的输出响应grid on;title(系统的单位阶跃响应);h2 = legend(系统单位负反馈的输出响应,系统极点配置下输出响应);4

45、.3.1参数扰动当系统的模型发生变化时， 时，系统对应的阶跃响应曲线如下图所示，其中 。% 模型参数有扰动情况时order3sys_a=order3sys_a+0.2order3sys_b=order3sys_b+0.2order3sys_c=order3sys_c+0.2当A，B，C系统模型发生不同变化时，我们从图中也可以看出系统的阶跃响应曲线发生了一些变化。系统的调节时间变得更长，但是闭环系统可以同样达到对阶跃信号的无静差的跟踪，这也就体现了内膜原理中积分环节的作用了，和前文分析得所得结果是一致的。图4-7 系统模型A发生变化时系统的阶跃响应曲线图4-8 系统模型B发生变化时系统的阶跃响应

46、曲线图4-9 系统模型A、B、C发生变化时系统的阶跃响应曲线4.3.2 常数扰动当系统存在常数负载扰动时（扰动信号不妨取为阶跃信号），用Simulink比较直观，非常容易添加常数负载扰动。其系统框图如下图4-10所示图4-10 含内膜的状态反馈的系统框图将上文求解的导入simulink，其仿真的结构框图如下图所示。图4-11 simulink 3阶系统仿真框图Matlab 程序实现% 使用极点配置设计控制器A1=-0.0005534,-0.001189,0.0006996;0.001189,-2.385,5.164;0.0006996,-5.164,-1.81;B1=-1.004;1.078;

47、0.6347;C1=-1.004,-1.078,0.6347;D1=0;K=-2.23467611833128,0.612670322056757,2.18542826380815;% 将数据导入simulink模型set_param(jidianpz/A1,Gain,A1);set_param(jidianpz/B1,Gain,B1);set_param(jidianpz/C1,Gain,C1);set_param(jidianpz/K,Gain,K);set_param(jidianpz/K,Gain,1);A2,B2,C2,D2=linmod(jidianpz);%导出3阶模型G1=ss

48、(A2,B2,C2,D2);figure(1)step(A2,B2,C2,D2);grid on;%hold on;%3阶模型阶跃响应title(加入扰动后系统的阶跃响应曲线);从下图我们也可以看出由对于外部的常数扰动，我们设计基于极点配置设计的闭环系统依然可以很好的实现无静差跟踪单位阶跃响应。图4-12 存在常数负载扰动时系统的阶跃响应曲线4.4 系统的开环波特图分析图4-13是系统加入内膜原理和状态反馈后，图 4-14是系统的开环bode图与未加任何控制器作用下系统开环的bode图之间的对比。图4-13 加内膜和极点配置后系统的开环bode图图4-14 系统加入控制器与未加入的bode图对

49、比从4-13图中，我们可以看出系统加入内膜原理和状态反馈后，系统（3阶模型）的相角裕度是67，幅值裕度是14.7dB。通过图4-14对比我们可以清晰地看出，系统的幅频曲线的初始位置被抬高，系统的开环截止频率增加，系统的响应性能比原系统要好。前面已经提到，通过修改增益Ka可调节新系统的开环截止频率，但是Ka也不宜过大，过大反而会使系统的超调量增大，震荡加剧，调节时间反而会变得更长。综合考虑我们先分别取K0 = 1，3，10，画出的其Bode图如图4-15所示，图 4-15 系统在不同的增益Ka下的bode图对比上图与我们前面所分析的一致，当Ka分别为1、3、10时，所对应的系统开环截止频率分别为

50、逐渐增大，所对应的相角裕度分别为则逐渐减小。可见，虽然增大Ka可以增大开环截止频率，即提高系统的响应速度，但是会使得系统的相角裕度变小，降低系统的稳定性。所以选定一个合适的Ka,对于控制器的设计有很大的影响。下文中的其他控制器设计Ka都先选定，然后在做控制器，Ka都是可以提高系统的响应，但也会使系统的相角裕度变小，降低稳定性。3种方法其内膜模态的增益对系统的影响是类似的，故在其他两种方法里，就不再重复分析其对系统的影响。4.5 控制器控制11阶模型分析运用上文中极点配置的方式设计的控制器去控制11阶模型（降阶之前的模型）。基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的过渡过程时间要求是在6秒以内。如下图

51、所示基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的过渡过程时间 ，满足题意要求。用于控制3阶的状态反馈控制器去控制11阶系统，由于我们采用的降阶方法是balreal得到平衡实现再去选取状态空间前三个状态，故状态反馈控制器变成11阶模型控制器只要将状态反馈增加0使维数至11阶，而控制器并没有改变。% 3阶控制11阶模型的转换K=K(1),K(2),K(3),0,0,0,0,0,0,0,0;Ai=order11.a-order11.b*K %构造配置极点后的状态空间%Bi=order11.b;Ci=order11.c;Di=0;图 4-16 控制器控制3阶与11阶单位阶跃响应曲线对比从图4-16可以看出来，

52、不管是3阶模型还是11阶模型，系统都能够很好的跟踪阶跃信号，不存在稳态误差。系统控制器控制11阶模型，我们根据其系统开环伯德图并与控制3阶模型系统开环伯德图做对比（如下图图4-17所示）图 4-17 状态反馈控制器控制11阶系统开环系统bode图图 4-18 控制器控制3阶与11阶开环系统bode图对比我们可以求出控制器控制器三阶模型时，系统的稳定裕度67(0.612 rad/sec)，系统是稳定的。控制器控制11阶模型时，系统的稳定裕度为63.8（截止频率为0.6rad/sec），系统也是稳定的。只不过是11阶系统的相角裕度比3阶系统的相角裕度稍微小一点，截止频率也小一点，幅值裕度稍微增大一

53、些。由第一章分析得到，系统降阶模型和原系统模型在中频段的拟合程度很好，故基于降阶模型设计的控制器对于中频段的设置也可以比较好的用于原系统11阶模型。我们图中也可以清晰看到，加了控制器之后，系统在中频段拟合程度还是不错的。4.6本章小结运用极点配置设计状态反馈控制器，再外加一个内膜原理消除一些扰动，这其实是苏老师上课重点给我们讲解的内容，也可以算是我们线性系统的重中之重了。上文中设计的状态反馈控制器能够很好的对阶跃信号达到无静差地跟踪，另外调节时间也符合题意的要求，整个设计过程刚开始分析时思路也比较明确，最后结果也不错，相角裕度也挺好的。通过运用极点配置设计状态反馈巩固加深了对设计系统的理解。第

54、五章 基于LQR控制器设计与分析5.1 LQR概述LQR(Linear Quadratic regulator)即线性二次型调节器，其对象是现代控制是理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR最优设计是指设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数的J取最小值，而K由加权矩阵Q与R唯一决定，故此Q、R的选择尤为重要。LQR理论是现代控制理论中发展得最早也是最为成熟的一种状态空间设计法。特别的是，LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制。而且Matlab的应用为LQR理论仿真提供了非常好的条件，更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方

55、便。对于线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态变量和（或）控制变量的二次型函数积分，则这种动态动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次问题。线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，并可简单地采用状态线性反馈控制构成闭环最优控制系统，能够兼顾多项性能指标，因此得到特别的重视，为现代控制理论中发展较为成熟的一部分。 LQR最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性能指标（事实也可以对不稳定的系统进行镇定），而且方法简单便于实现，同时利用 Matlab 强大的功能体系容易对系统实现仿真。对于线性系统，

56、若取状态变量和控制变量的二次型函数的积分作为性能指标，这种动态系统最优问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型问题。它的最优解可以写成统一的解析表达式，而且可以导出一个简单的状态线性反馈控制律，其计算和工程实现都比较容易。MATLAB控制系统工具箱提供了一些LQ（Linear Quardratic,线性二次型）设计工具，可以很方便地完成线性二次型最优控制器的设计。线性二次型最优控制问题的重要性在于其具有如下特点：(1)对于用线性微分方程或线性差分方程描述的动态系统，最优控制指标具有非常明确、实际的物理意义。(2)在系统设计技术上做到规范化，具有统一的解析形式。(3)构成反馈

57、控制形式，可以得到线性反馈控制的最优解.(4)在工程实现上使实时控制计算工作大为简化。5.2 LQR控制器设计原理考虑线性系统的状态方程为： 2关于线性二次型控制（LQR）的最优化问题的定义如下：寻找一个状态反馈控制： ,使得如下性能指标最小化：其中Q为半正定矩阵，R为正定矩阵，Q、R分别为对状态变量和输入向量的加权矩阵。要使性能函数J最小，可先构造一个Hamilton函数：然后通过求导的方法可以求出最优控制信号 为： 其中 矩阵就是Riccati方程的解：上面的方程是微分Riccati方程，一般是多个互相耦合非线性微分方程组，除了特殊情况下，一般不存在解析解。这就给求解最优控制信号造成了困难

58、。因此，我们一般求解的稳态解。即令 趋于无穷，则趋于一个常值矩阵，的一阶倒数趋于零，有：上式被称为代数Riccati方程，其求解就比较容易了。并且，因为都是矩阵运算，用MATLAB实现起来也比较容易。因此，系统设计归结于求解Riccati方程的问题，并求出反馈增益矩阵。其基本设计步骤大概分为三步：(1)由Riccati方程解得矩阵，若P为正定矩阵，则系统是稳定的。（2）按 计算反馈增益矩阵K。（3）线性二次型最优控制 。设计线性二次型最优控制器关键是选择矩阵Q和R。而Q、R的选择无一般规律可循，一般采用试凑法，即选择不同的Q、R代入计算比较结果而确定。这里提供几个选择的一般原则：（1）Q、R都

59、应是堆成矩阵，Q为半正定矩阵，R为正定矩阵。（2）通常选用Q和R为对角线矩阵，实际应用中，通常将R值固定，然后改变Q和N的数值，最优控制的确定通常在通过仿真或实际比较后得到。当控制输入只有一个时，R成为一个标量数（一般可直接选R=1）。由于MATLAB中有函数lqr(A,B,Q,R,N)可以直接用于计算最优增益K来帮我们设计LQR控制器。5.3 LQR控制器设计过程 虽然LQR控制器设计推导过程比较复杂，但在设计时并不困难，从前面的论述可以看出，设计该控制器的关键在于加权矩阵的Q和R选取，一般可以根据所期望的性能质变以及状态、输入在指标函数中的权重来选取这二个加权矩阵，进而求得相应的状态反馈增

60、益矩阵K，用于状态反馈控制器。本次课题要求设计后的LQR状态反馈控制器闭环系统可无静差地跟踪阶跃信号，并且在有参数扰动和常数负载扰动的情况下，闭环系统可同样对阶跃信号达到无静差跟踪。故需要在LQR设计状态反馈的基础上加入内膜原理，再利用MATLAB求出的状态空间模型设计控制器，选取合适的权阵Q和R，通过LQR算法求出最优的反馈增益阵K来满足课题要求。整个LQR状态反馈控制器加内 膜原理的结构图如下图5-1所示：图5-1 LQR状态反馈控制器加内膜原理系统结构图由于MATLAB中有现成的LQR算法，故我们直接调用lqr函数计算最优增益矩阵K，其中lqr()函数的调用格式为 .。式中K即为计算出最

61、优增益矩阵，P为黎卡提代数方程的解，E为闭环系统零极点。由于闭环系统需要在有参数扰动和常数负载扰动的情况下对阶跃信号达到无静差跟踪，故首先确定内膜积分环节增益，我们这里选取 ，并在Matlb的Simulink下搭建如下的系统框图：图5-2 3阶系统simulink仿真图5.3.1 Matlab程序实现我们通过M文件来计算最优反馈阵K，首先通过第一章得到的降阶模型得到A,B。再通过设定Q,R,N阵得到反馈K，最后导入Simulink模型得到得到系统的阶跃响应及伯德图。% 将LQR的参数送入Simulink中程序R=1;%权阵RQ=diag(5,1,1);%权阵QN=3;0;3;%权阵NK,P1,E1=lqr(A1,B1,Q,R,N);%LQR最优增益K1