浙江省11市中考数学试题分类解析：三角形问题

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1、 浙江省11市中考数学试题分类解析汇编专题10：三角形问题1. （2015年浙江湖州3分）如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则BCE的面积等于【 】A.10 B.7 C.5 D.4【答案】C.【考点】角平分线的性质；三角形面积的计算.【分析】如答图，过点作于点，CD是AB边上的高线，.BE平分ABC，DE=2，.BC=5，.故选C.2. （2015年浙江湖州3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tanOAB=，则AB的长是【 】A.4 B. C.8 D.【答案】C.【考点】切线的性

2、质；垂径定理；锐角三角函数定义.【分析】如答图，连接OC，弦AB切小圆于点C，.由垂径定理得.tanOAB=，.OD=2，OC=2. .故选C.3. （2015年浙江嘉兴4分） 如图，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则O的半径为【 】A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6【答案】B. 【考点】切线的性质；勾股定理逆定理；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，设O与AB相切于点D，连接CD，AB=5，BC=3，AC=4，.ABC是直角坐标三角形，且.O与AB相切于点D，即.易证. .O的半径为2.4.故选B.4. （2015年浙江金华3分）

3、如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是【 】A. B. C. D. 2【答案】C.【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.【分析】如答图，连接，与交于点.则根据对称性质，经过圆心，垂直 平分，.不妨设正方形ABCD的边长为2，则.是O的直径，.在中，.在中，.易知是等腰直角三角形，.又是等边三角形，.故选C.5. （2015年浙江丽水3分）如图，点A为边上任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示的值，错误的是【 】A. B. C.

4、D. 【答案】C.【考点】锐角三角函数定义.【分析】根据余弦函数定义：对各选项逐一作出判断：A. 在中，正确； B. 在中， ，正确； C、D.在中， .故C错误；D正确. 故选C6. （2015年浙江丽水3分）如图，在方格纸中，线段，的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有【 】A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 12种【答案】B【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的性质；分类思想的应用.【分析】由图示，根据勾股定理可得：.，根据三角形构成条件，只有三条线段首尾相接能组成三角形.如答图所示，通

5、过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种.故选B7. （2015年浙江宁波4分） 如图，ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使ABECDF，则添加的条件不能为【 】A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. 1=2【答案】C.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定. 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断：四边形是平行四边形，ABCD，AB=CD.ABE=CDF.若添加BE=DF，则根据SAS可判定ABECDF；若添加BF=DE，由等量减等量差相等得BE=DF，则根据SA

6、S可判定ABECDF；若添加AE=CF，是AAS不可判定ABECDF；若添加1=2，则根据ASA可判定ABECDF.故选C.8. （2015年浙江宁波4分） 如图，O为ABC的外接圆，A=72°，则BCO的度数为【 】A. 15° B. 18° C. 20° D. 28°【答案】B.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】如答图，连接OB，A和BOC是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，.A=72°，BOC=144°.OB=OC，.故选B.9. （2015年浙江宁波4分）如图，将ABC沿着过AB中点D的直

7、线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为；还原纸片后，再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为，若=1，则的值为【 】A. B. C. D. 【答案】D.【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理. 【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE是ABC的中位线，D1E1是A D1E1的中位线，D2E2是A2D2E1的中位线，.故选D.10. （2015年浙江衢州3分）如图，在

8、ABCD中，已知平分交于点，则的长等于【 】A. B. C. D. 【答案】C【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定和性质【分析】四边形ABCD是平行四边形，.又平分，. .，.故选C.11. （2015年浙江衢州3分）如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，则花坛对角线的长等于【 】 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】A.【考点】菱形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】菱形花坛的周长是24，.，.（米）.故选A.12. （2015年浙江衢州3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，则“

9、人字梯”的顶端离地面的高度是【 】A. B. C. D. 【答案】B【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义【分析】“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，.，.，解得.，即.故选B13. （2015年浙江绍兴4分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABCADC，这样就有QAE=PAE. 则说明这两个三

10、角形全等的依据是【 】A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS【答案】D.【考点】全等三角形的判定.【分析】由已知，AB=AD，BC=DC，加上公共边AC=AC，根据三边对应相等的两三角形全等的判定可得ABCADC，则说明这两个三角形全等的依据是SSS. 故选D.14. （2015年浙江温州4分）如图，在ABC中，C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是【 】A. B. C. D. 【答案】D【考点】锐角三角函数定义；勾股定理. 【分析】在ABC中，C=90°，AB=5，BC=3，根据勾股定理，得AC=4.故选D15. （2015年浙江义乌3分）如图，

11、小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABCADC，这样就有QAE=PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是【 】A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS【答案】D.【考点】全等三角形的判定.【分析】由已知，AB=AD，BC=DC，加上公共边AC=AC，根据三边对应相等的两三角形全等的判定可得ABCADC，则说明这两个三角形全等的依据是SSS. 故选D.16. （2015年浙江舟山3分） 如

12、图，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则O的半径为【 】A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6【答案】B. 【考点】切线的性质；勾股定理逆定理；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，设O与AB相切于点D，连接CD，AB=5，BC=3，AC=4，.ABC是直角坐标三角形，且.O与AB相切于点D，即.易证. .O的半径为2.4.故选B.1. （2015年浙江嘉兴5分）如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5. 折叠该纸片，使点A落在BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则AE的长为 【答案】2.5.【考点】折叠问题；等腰三角形的性质；三角形中位

13、线定理.【分析】一张三角形纸片ABC，AB=AC，折叠该纸片，使点A落在BC的中点上，折痕是ABC的中位线.折痕经过AC上的点E，AB=AC=5，AE的长为2.5.2. （2015年浙江金华4分）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点A作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F. 若BC=2，则EF的长是 【答案】5.【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质.【分析】直线是一组等距离的平行线，即.又，. .BC=2，.3. （2015年浙江金华4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且ACD=90°.图2

14、是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，ACD变形为四边形，最后折叠形成一条线段.（1）小床这样设计应用的数学原理是 （2）若AB：BC=1：4，则tanCAD的值是 【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）.【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ACD变形为不稳定四边形，最后折叠形成一条线段，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性.（2）AB：BC=1：4，设，则.由旋转的性质知，.在中，根据勾股定理得，.4. （2015年浙江丽水4分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都

15、是菱形，点E，F在BD上，已知BAD=120°，EAF=30°，则= .【答案】. 【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性质；特殊元素法的应用.【分析】如答图，过点E作EHAB于点H，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，BAD=120°，EAF=30°，ABE=30°，BAE=45°.不妨设，在等腰中，；在中，. .5. （2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数的图象经过点（-1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与

16、轴交于点P，连结BP.（1）的值为 .（2）在点A运动过程中，当BP平分ABC时，点C的坐标是 .【答案】（1） ；（2）（2，）.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.【分析】（1）反比例函数的图象经过点（-1，），.（2）如答图1，过点P作PMAB于点M，过B点作BN轴于点N，设，则.ABC是等腰直角三角形，BAC=45°.BP平分ABC，.又，.易证，.由得，解得.，.如答图2，过点C作EF轴，过点A作AFEF于点F，过B点作BEEF于点E，易知，设.又，根据勾股定理，

17、得，即.，解得或（舍去）.由，可得.6. （2015年浙江宁波4分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是 m（结果保留根号）.【答案】+9.【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】根据在RtACD中，求出AD的值，再根据在RtBCD中，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案：在RtACD中，.在RtBCD中，.AB=AD+BD=+9（m）.7. （2015年浙江衢州4分）

18、如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高为0.6米，是的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度等于 米.【答案】.【考点】三角形中位线定理【分析】，.是的中点，是的中位线.米，米.8. （2015年浙江衢州4分） 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 .【答案】【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】如答图，连接，过点作于点，交于点，则.，.下雨后，水管水面上升了，即，.9. （2015年浙江衢州4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转

19、之后，点的坐标是 .【答案】【考点】探索规律题（图形的变化类-循环问题）；正六边形的性质；含30度角直角三角形的性质 【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.，经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.，在中，.在中，.的横坐标为，纵坐标为.经过2015次翻转之后，点的坐标是10. （2015年浙江绍兴5分）如图，已知点A（0，1），B（0，1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则BAC等于 度【答案】60.【考点】点的坐标；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】A（0，1），B（0，1），AO=1，AC=AB=2. .BAC=60

20、76;.11. （2015年浙江绍兴5分） 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm.【答案】18.【考点】等边三角形的判定和性质.【分析】OA=OB=18cm，图2中AOB=60°，此时ABC是等边三角形.此时A，B两点之间的距离是18cm.12. （2015年浙江台州5分）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲

21、、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置则椒江区B处的坐标是 【答案】. 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；直角坐标系和点的坐标；含30度角直角三角形的性质.【分析】如答图，过点B作BC轴于点C，根据题意，得AB=16，ABC=30°，AC=8，BH=.A（2，0），即OA=2，OC=.B处的坐标是.13. （2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）. 图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm【答案】.【考点】菱形和平行

22、四边形的性质；三角形和梯形面积的应用；相似判定和性质；待定系数法、方程思想数形结合思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接MN、PQ，设MN=，PQ=，可设AB=，BC=.上下两个阴影三角形的面积之和为54，即.四边形DEMN、AFMN是平行四边形，DE=AF=MN=.EF=4，即.将代入得，化简，得.解得（舍去）.AB=12，BC=14，MN=5，.易证MCDMPQ，解得.PM=.菱形MPNQ的周长为14. （2015年浙江义乌4分）如图，已知点A（0，1），B（0，1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则BAC等于 度【答案】60.【考点】点的坐标；锐角三角函数定义；特

23、殊角的三角函数值.【分析】A（0，1），B（0，1），AO=1，AC=AB=2. .BAC=60°.15. （2015年浙江义乌4分） 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm.【答案】18.【考点】等边三角形的判定和性质.【分析】OA=OB=18cm，图2中AOB=60°，此时ABC是等边三角形.此时A，B两点之间的距离是18cm.16. （2015年浙江舟山4分）一张三角形纸片

24、ABC，AB=AC=5. 折叠该纸片，使点A落在BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则AE的长为 【答案】2.5.【考点】折叠问题；等腰三角形的性质；三角形中位线定理.【分析】一张三角形纸片ABC，AB=AC，折叠该纸片，使点A落在BC的中点上，折痕是ABC的中位线.折痕经过AC上的点E，AB=AC=5，AE的长为2.5.17. （2015年浙江舟山4分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的P周长为1. 点M从A开始沿P按逆时针方向转动，射线AM交轴于点N（，0）. 设点M转过的路程为（）. 随着点M的转动，当从变化到时，点N相应移动的路径长为 【答案】.

25、【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质.【分析】以AP为半径的P周长为1，当从变化到时，点M转动的圆心角为120°，即圆周角为60°.根据对称性，当点M转动的圆心角为120°时，点N相应移动的路径起点和终点关于轴对称.此时构成等边三角形，且. 点A（0，1），即OA=1，.当从变化到时，点N相应移动的路径长为.1. （2015年浙江杭州8分）如图，在ABC中，已知AB=AC，AD平分BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN.【答案】证明：AM=2MB，AN=2NC，.又AB

26、=AC，.AD平分BAC，.又AD=AD，.DM=DN.【考点】全等三角形的判定和性质. 【分析】要证DM=DN只要即可，两三角形已有一条公共边，由AD平分BAC，可得，只要再有一角对应相等或即可，而易由AB=AC，AM=2MB，AN=2NC证得.2. （2015年浙江杭州8分）如图1，O的半径为r(r>0)，若点P在射线OP上，满足OPOP=r2，则称点P是点P关于O的“反演点”，如图2，O的半径为4，点B在O上，BOA=60°，OA=8，若点A、B分别是点A，B关于O的反演点，求AB的长.【答案】解：O的半径为4，点A、B分别是点A，B关于O的反演点，点B在O上， OA=8

27、，即.点B的反演点B与点B重合.如答图，设OA交O于点M，连接BM，OM=OB，BOA=60°，OBM是等边三角形.，BMOM.在中，由勾股定理得.【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点B与OA和O的交点M，由已知BOA=60°判定OBM是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得AB的长.3. （2015年浙江杭州12分）如图，在ABC中(BC>AC)，ACB=90°，点D在AB边上，DEAC于点E（1）若，AE=2，求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与EDC有

28、一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【答案】解：（1）ACB=90°，DEAC，DEBC.，AE=2，解得.（2）若，此时线段CP1为CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：，.又，. .又，. .线段CP1为CFG1的斜边FG1上的中线.若，此时线段CP2为CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：，又DEAC，. . CP2FG2.线段CP2为CFG2的斜边FG2上的高线.当CD为ACB的平分线时，CP既是CFG的FG边上的高线又是中线.【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想

29、的应用.【分析】（1）证明DEBC，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.（2）分，和CD为ACB的平分线三种情况讨论即可.4. （2015年浙江嘉兴8分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.（1）观察图形，写出图中所有与AED相等的角；（2）选择图中与AED相等的任意一个角，并加以证明.【答案】解：（1）与AED相等的角有.（2）选择：正方形ABCD中，又AF=DE，.【考点】开放型；正方形的性质；平行的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】（1）观察图形，可得 结果.（2）答案不唯一，若选择，则由可得结论；若选择，则由正方形ABCD得到

30、ABCD，从而得到结论；，若选择，则一方面，由可得，另一方面，由正方形ABCD得到ADBC，得到，进而可得结论5. （2015年浙江嘉兴12分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架后，电脑转到位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，于点C，=12cm.（1）求的度数；（2）显示屏的顶部比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度？【答案】解：（1）于点C

31、，OA=OB=24，OC=12，.30°.（2）如答图，过点作交的延长线于点.，.，.显示屏的顶部比原来升高了 cm.（3）显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.理由如下：如答图，电脑显示屏绕点按顺时针方向旋转度至处，.电脑显示屏 与水平线的夹角仍保持120°，.，即.显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.【考点】解直角三角形的应用；线动旋转问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】（1）直接正弦函数定义和30度角的正弦函数值求解即可.（2）过点作交的延长线于点，则显示屏的顶部比原来升高的距离就是，从而由求出即可求解.（3）根据旋转和平行的的性质即

32、可得出结论.6. （2015年浙江湖州8分）如图，已知BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连结DE.（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是O的切线.【答案】解：（1）如答图，连接CD，BC是O的直径，即.AD=DB，OC=5，.（2）证明：如答图，连接OD，E为AC的中点，.AC是O的切线，.，即.ED是O的切线.【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定和性质；切线的判定和性质.【分析】（1）作辅助线：连接CD，由BC是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角的性质得到，从而易得.（2）作辅助线：连接OD，一方面，根据等腰三角形等边对等角的性质得到

33、，另一方面，由AC是O的切线，根据切线的性质得到，从而得到证明.7. （2015年浙江湖州10分）问题背景：已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点（1）初步尝试：如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而

34、证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)（2）类比探究：如图2，若在ABC中，ABC=90°，ADH=BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36°，记，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程).【答案】解：（1）证明：选择思路一：如题图1，过点D作DGBC，交AC于点G，ABC是等边三角形，.ADG是等边三角形. .DHAC，.DGBC，.，即.选择思路二：如题图1，过点E作EMAC，交AC

35、的延长线于点M，ABC是等边三角形，.DHAC，EMAC，.，.又，.（2）如答图1，过点D作DGBC，交AC于点G，则.，.由题意可知，.DGBC，.，即.（3）.【考点】开放型；双动点问题；等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）根据思路任选择一个进行证明即可.（2）仿思路一，作辅助线：过点D作DGBC，交AC于点G，进行计算.（3）如答图2，过点D作DGBC，交AC于点G，由AB=AC，ADH=BAC=36°可证：，由点D、E的运动速度相等，可得.从而可得.8. （2015年浙江金华8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且A

36、F=AD，过点D作DEAF，垂足为点E.（1）求证：DE=AB；（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长.【答案】解：（1）证明：DEAF ，AED=90°.又四边形ABCD是矩形， ADBC，B=90°.DAE=AFB，AED=B=90°.又AF=AD，ADEFAB（AAS）.DE=AB.（2）BF=FC=1，AD=BC=BF+FC=2.又ADEFAB，AE=BF=1.在RtADE中，AE=AD. ADE=30°.又DE=，.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含30度角直角坐标三角形的性质；勾股定理；弧长的计

37、算.【分析】（1）通过应用AAS证明ADEFAB即可证明DE=AB.（2）求出ADE和DE的长即可求得的长.9. （2015年浙江丽水6分）如图，已知ABC，C=Rt，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若B=37°，求CAD的度数.【答案】解：（1）作图如下：（2）ABC中，C=Rt，B=37°，BAC=53°.AD=BD，B=BAD=37°CAD=BACBAD=16°.【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角

38、形的性质.【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.（2）根据直角三角形两锐角互余，求出BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出BAD，从而作差求得CAD的度数.10. （2015年浙江丽水8分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作O 的切线DF，交AC于点F.（1）求证：DFAC；（2）若O的半径为4，CDF=22.5°，求阴影部分的面积.【答案】解：（1）证明：如答图，连接OD，OB=OD，ABC=ODB.AB=AC，ABC=ACB.ODB=AC

39、B.ODAC.DF是O的切线，DFODDFAC.（2）如答图，连接OE，DFAC，CDF=22.5°，ABC=ACB=67.5°. BAC=45°.OA=OB，AOE=90°.O的半径为4，.【考点】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用.【分析】（1）要证DFAC，由于DF是O的切线，有DFOD，从而只要ODAC即可，根据平行的判定，要证ODAC即要构成同位角或内错角相等，从而需作辅助线连接OD，根据等腰三角形等边对等角的性质由ABC=ODB和ABC=ACB即可得.（2）连接OE，则，证明AO

40、E是等腰直角三角形即可求得和.11. （2015年浙江衢州8分）如图1，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点落在折痕上的点处，再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的点处，如图2.（1）求证：；（2）已知，求和的长.【答案】解：（1）证明：由折叠知： .由矩形知：，.（2）如答图， .由折叠知：，.，.又，由（1）可得，.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；等腰直角三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得.（2）判断和都是等腰直角三角形，即可，由求得；由证明，得到，从而由求得.12. （2015年浙江衢州12分）如图，在中

41、，动点从点出发，沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，动点从点出发，以相同的速度在线段上由向运动，当点运动到点时， 、两点同时停止运动. 以为边作正方形（按逆时针排序），以为边在上方作正方形.（1）求的值；（2）设点运动时间为，正方形的面积为，请探究是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当为何值时，正方形的某个顶点（点除外）落在正方形的边上，请直接写出的值【答案】解：（1）如答图1，过点作于点，解得，.又根据勾股定理，得.（2）存在.如答图2，过点作于点，经过时间，.根据勾股定理，得，.，且在的取值范围内，.存在最小值？若存在，这个最小值是.（3）当或或1或秒时，正

42、方形的某个顶点（点除外）落在正方形的边上.【考点】双动点问题；勾股定理；锐角三角函数定义；二次函数最值的应用；分类思想的应用【分析】（1）作辅助线“过点作于点”构造直角三角形，根据已知求出和应用的长，即可根据正切函数定义求出（2）根据求得关于的二次函数，应用研究二次函数的最值原理求解即可（3）分四种情况讨论：当点在上时，如答图3，；当点在上时，如答图4，；当点在上（或点在上）时，如答图5，；当点在上时，如答图6，.13. （2015年浙江绍兴8分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60&

43、#176;和30°.（1）求BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）.备用数据：，【答案】解：如答图，延长PQ交直线AB于点C，（1）端点P点的仰角是60°，即PBC=60°，BPQ.（2）设PQ=，则QB=QP=，在BCQ中，BC=，QC=，在ACP中，CA=CP，解得.PQ=，即该电线杆PQ的高度约为9 m.【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；直角三角形两锐角的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用.【分析】延长PQ交直线AB于点C，（1）根据直角三角形两锐角互余的关系，由PBC=60°，即可求得BPQ的

44、度数.（2）根据两直角三角形列方程求解即可.14. （2015年浙江绍兴12分）某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM：AN=8：9，问通道的宽是多少？（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图3，在草坪RPCQ中，已知REPQ于点E，CFPQ于点F，求花

45、坛RECF的面积.【答案】解：（1）设通道的宽是m，AM=m，AM：AN=8：9，AN=m.，解得.答：通道的宽是1m.（2）四块相同草坪中的每一块有一条为8 m，若RP=8，则AB13，不合；若RQ=8，适合.纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为2m，RP=6.REPQ，四边形RPCQ是长方形，PQ=10.RE=4.8.，即，解得PE=3.6.同理可得QF=3.6.EF=2.8.，即花坛RECF的面积为13.44 m2.【考点】二元一次方程组的应用（几何问题）；矩形和平行四边形的性质；勾股定理.【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解. 本题设通道的宽是m，AM

46、=m，AN=m，等量关系为：长AD为18m，宽AB为13m.（2）求出EF和RE的长，即可求出花坛RECF的面积.15. （2015年浙江台州8分）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA处，求调整后点A比调整前点A的高度降低了多少cm?（结果取整数）？（参考数据：sin35°0.57，cos35°0.82，tan35°0.70）【答案】解：如答图，过点A作AHAO于点H，在RtO AH中，O A=80cm，HO A=35°，.答：调整后点A比调

47、整前点A的高度降低了14cm【考点】解直角三角形的应用（旋转问题）；锐角三角函数定义.【分析】作辅助线构造直角三角形：过点A作AHAO于点H，解之求得AH的长，即可求得调整后点A比调整前点A的高度降低的高度.16. （2015年浙江台州12分）如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.（1）若CBD=39°，求BAD的度数；（2）求证：1=2.【答案】解：（1）BC=DC，CBD=39°，BDC=CBD=39°.四边形ABCD内接于O，BAC=BDC，CAD=CBD.BAD=BAC+CAD=BDC+CBD=78°.（2）证明：B

48、C=DC，BDC=CBD.EC=BC，CBE=CEB.四边形ABCD内接于O，BAC=BDC.1=CBECBD=CEBCBD=2+BACCBD=2+BDCCBD=2.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角性质.【分析】（1）要求BAD的度数只要求得BAC和CAD的度数即可，而BAC和CAD的度数可由圆周角定理和等腰三角形等边对等角的性质求得.（2）应用圆周角定理、三角形外角性质和等腰三角形等边对等角的性质，通过角的转换即可证得结论.17. （2015年浙江台州14分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N

49、是线段AB的勾股分割点.（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图2，在ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DEBD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AMBN，AMC，MND和NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究

50、，和的数量关系，并说明理由.【答案】解：（1）点M，N是线段AB的勾股分割点， AM=2，MN=3，若MN为斜边，则，即，解得.若BN为斜边，则，即，解得.BN的长为或.（2）证明：点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DEBD，.在ABC中，FG是中位线，AD，AE分别交FG于点M，N，FM、MN、NG分别是ABD、ADE、AEC的中位线.BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG.，即.点M，N是线段FG的勾股分割点.（3）如答图1，C，D是线段AB的勾股分割点.（4）.理由如下：设，是的中点，.，均为等边三角形，.，.，.点，是线段的勾股分割点，.，又. 在和中，.，.，.【考点】

51、新定义和阅读理解型问题；开放型和探究型问题；勾股定理；三角形中位线定理；尺规作图（复杂作图）；等边三角形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）根据定义，分MN为斜边和BN为斜边两种情况求解即可.（2）判断FM、MN、NG分别是ABD、ADE、AEC的中位线后代入即可证明结论.（3）过点C作AB的垂线MN，在MN截取CE=CA；连接BE，作BE的垂直平分线PQ交AB于点D.则点C，D是线段AB的勾股分割点.（作法不唯一）（4）首先根据全等、相似三角形的判定和性质证明AMC和NBM是全等的等边三角形，再证明.18. （2015年浙江温州8分）如图，点C，

52、E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，ABCD，AE=DF，A=D.（1）求证：AB=CD；（2）若AB=CF，B=30°，求D的度数.【答案】解：（1）ABCD，B=C.AE=DF，A=D，ABEDCF（AAS）.AB=CD.（2）AB=CD，AB=CF，CD=CF. D=CFD.B=C=30°，D=30°.【考点】全等三角形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】（1）要证AB=CD，只要ABEDCF即可，由已知有一边一角对应相等，在，而可由ABCD得到另一组对应角相等，从而根据AAS可证.（2）由AB=CD，AB=CF经过

53、等量代换可得CD=CF，根据等边对等角的性质可得D=CFD，从而根据三角形内角和定理可求得D的度数.19. （2015年浙江义乌8分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.（1）求BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）.备用数据：，【答案】解：如答图，延长PQ交直线AB于点C，（1）端点P点的仰角是60°，即PBC=60°，BPQ.（2）设PQ=，则QB=QP=，在BCQ中，BC=，QC=，在ACP中，CA=CP，解

54、得.PQ=，即该电线杆PQ的高度约为9 m.【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；直角三角形两锐角的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用.【分析】延长PQ交直线AB于点C，（1）根据直角三角形两锐角互余的关系，由PBC=60°，即可求得BPQ的度数.（2）根据两直角三角形列方程求解即可.20. （2015年浙江义乌10分）某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比

55、AM：AN=8：9，问通道的宽是多少？（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图3，在草坪RPCQ中，已知REPQ于点E，CFPQ于点F，求花坛RECF的面积.【答案】解：（1）设通道的宽是m，AM=m，AM：AN=8：9，AN=m.，解得.答：通道的宽是1m.（2）四块相同草坪中的每一块有一条为8 m，若RP=8，则AB13，不合；若RQ=8，适合.纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为2m，RP=6.REPQ，四边形RPCQ是长方形，PQ=10.RE=4.

56、8.，即，解得PE=3.6.同理可得QF=3.6.EF=2.8.，即花坛RECF的面积为13.44 m2.【考点】二元一次方程组的应用（几何问题）；矩形和平行四边形的性质；勾股定理.【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解. 本题设通道的宽是m，AM=m，AN=m，等量关系为：长AD为18m，宽AB为13m.（2）求出EF和RE的长，即可求出花坛RECF的面积.21. （2015年浙江舟山10分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散

57、热架后，电脑转到位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，于点C，=12cm.（1）求的度数；（2）显示屏的顶部比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度？【答案】解：（1）于点C，OA=OB=24，OC=12，.30°.（2）如答图，过点作交的延长线于点.，.，.显示屏的顶部比原来升高了 cm.（3）显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.理由如下：如答图，电脑显示屏绕点按顺时针方向旋转度至处，.电脑显示屏 与水平线的夹角仍保持120°，.，即.显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.【考点】解直角三角形的应用；线动旋转问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】（1）直接正弦函数定义和30度角的正弦函数值求解即可.（2）过点作交的延长线于点，则显示屏的顶部比原来升高的距离就是，从而由求出即可求解.（3）根据旋转和平行的的性质即可得出结论.22