精修版高中数学选修45人教A版：评估验收卷四 Word版含解析

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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理评估验收卷评估验收卷(四四)(时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分在每小分在每小题给出的四个选项中题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A若一个命题当若一个命题当 n1，2 时为真时为真，则此命题为真命题则此命题为真命题B若一个命题当若一个命题当

2、 nk 时成立且推得时成立且推得 nk1 时也成立时也成立，则此则此命题为真命题命题为真命题C若一个命题当若一个命题当 n1，2 时为真时为真，则当则当 n3 时此命题也为真时此命题也为真D若一个命题当若一个命题当 n1 时为真时为真，nk 时为真能推得时为真能推得 nk1 时时亦为真亦为真，则此命题为真命题则此命题为真命题解析解析：由数学归纳法定义可知由数学归纳法定义可知，只有当只有当 n 的初始取值成立且由的初始取值成立且由 nk 成立能推得成立能推得 nk1 时也成立时时也成立时，才可以证明结论正确才可以证明结论正确，二者缺二者缺一不可一不可A，B，C 项均不全面项均不全面答案：答案：D

3、2等式等式 122232n212(5n27n4)()An 为任何正整数时都成立为任何正整数时都成立B仅当仅当 n1, 2，3 时成立时成立C当当 n4 时成立时成立，n5 时不成立时不成立D仅当仅当 n4 时不成立时不成立解析：解析：把把 n1，2，3，4，5 代入验证可知代入验证可知 B 正确正确答案：答案：B3用数学归纳法证用数学归纳法证明不等式明不等式 11231331n321n(n2，nN)时时，第一步应验证不等式第一步应验证不等式()A1123212B1123133213C1123213D1123133214解析：解析：因为因为 n2，所以第一步验证不等式应为所以第一步验证不等式应为

4、 n2 时时 1123212.答案：答案：A4用数学归纳法证明对一切大于用数学归纳法证明对一切大于 1 的自然数的自然数 n，不等式不等式113115 112n1 2n12成立时成立时， 当当 n2 时验证的不等式时验证的不等式是是()A11352B.113115 52C.113115 52D以上都不对以上都不对解析解析：当当 n2 时时，左边左边11221113，右边右边221252，所以所以 11352.答案：答案：A5已知已知 f(n)1n1n11n21n2，则则()Af(n)中共有中共有 n 项项，当当 n2 时时，f(2)1213Bf(n)中共有中共有 n1 项项，当当 n2 时时，

5、f(2)121314Cf(n)中共有中共有 n2n 项项，当当 n2 时时，f(2)1213Df(n)中共有中共有 n2n1 项项，当当 n2 时时，f(2)121314解析：解析：本题主要考查数列的概念本题主要考查数列的概念由由 n 到到 n2一共有整数一共有整数 n2n1 个个，所以所以 f(n)有有 n2n1 项项，当当 n2 时代入得时代入得，f(2)121314.故本题正确答案为故本题正确答案为 D.答案：答案：D6 用数学归纳法证明用数学归纳法证明“当当n为正奇数时为正奇数时， xnyn能能被被xy整除整除”的第二步是的第二步是()A假设假设 n2k1 时正确时正确，再推再推 n2

6、k3 时正确时正确(kN)B假设假设 n2k1 时正确时正确，再推再推 n2k1 时正确时正确(kN)C假设假设 nk 时正确时正确，再推再推 nk1 时正确时正确(kN)D假设假设 nk(k1)时正确时正确，再推再推 nk2 时正确时正确(kN)解析解析：n 为正奇数为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假第二步应先假设设 n 取第取第 k 个正奇数也成立个正奇数也成立，本题即假设本题即假设 n2k1 时正确时正确，再推再推 n取第取第(k1)个正奇数个正奇数，即即 n2k1 时正确时正确答案：答案：B7平面内原有平面内原有 k 条直线条直线，它们的交点个数记

7、为它们的交点个数记为 f(k)，则增加一则增加一条直线条直线 l 后后，它们的交点个数最多为它们的交点个数最多为()Af(k)1Bf(k)kCf(k)k1Dkf(k)解析：解析：第第 k1 条直线与前条直线与前 k 条直线都相交有交点条直线都相交有交点，所以应比原所以应比原先增加先增加 k 个交点故应选个交点故应选 B.答案：答案：B8用数学归纳法证明用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)成立时成立时，从从 k 到到 k1 左边需增乘的代数式是左边需增乘的代数式是()A.2k1k1B2(2k1)C2k1D.2k3k1解析：解析：要求左边从要求左边从 k 到到 k1

8、左边需增乘的代数式左边需增乘的代数式，可以先写可以先写出出nk 时时， 左边左边(k1)(k2)(kk)， 再写出再写出 nk1 时时，左边左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)，然后比较两式然后比较两式，得出需增乘得出需增乘（kk1） （kk2）k12(2k1)答案：答案：B9已知已知 n 为正偶数为正偶数，用数学归纳法证明用数学归纳法证明 11213141n121n21n412n 时时， 若已假设若已假设 nk(k2 为偶数为偶数)时命题为时命题为真真，则还需要用归纳假设再证则还需要用归纳假设再证()Ank1 时等式成立时等式成立Bnk2 时等式成立时等式成立Cn2k2 时等式成

9、立时等式成立Dn2(k2)时等式成立时等式成立解析解析：因为因为 n 是正偶数是正偶数，所以所以 nk 的下一个偶数是的下一个偶数是 nk2.故故选选 B.答案：答案：B10已知已知 123332433n3n13n(nab)c 对对一切一切 nN都成立都成立，则则 a，b，c 的值为的值为()Aa12，bc14Babc14Ca0，bc14D不存在这样的不存在这样的 a，b，c解析：解析：因为等式对一切因为等式对一切 nN均成立均成立，所以所以 n1，2，3 时等式成立时等式成立，即即13（ab）c，12332（2ab）c，12333233（3ab）c，整理得整理得3a3bc1，18a9bc7，

10、81a27bc34，解得解得a12，b14，c14.答案：答案：A11用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 1121312n1n(nN)，且且 n1 时时，不等式在不等式在 nk1 时的形式是时的形式是()A1121312kk1B1121312k112k11k1C1121312k112k12k11k1D1121312k112k12k112k1212k11k1解析：解析：不等式左边的每一项的分母从不等式左边的每一项的分母从 1 开始递增开始递增，当当 nk 时不时不等式为等式为 1121312k1k，当当 nk1 时时，不等式的形式是不等式的形式是 1121312k112k12k112k

11、1212k11k1.答案：答案：D12已知已知 f(n)(2n7)3n9，存在自然数存在自然数 m，使得对任意使得对任意 nN，都能使都能使 m 整除整除 f(n)，则最大的则最大的 m 的值为的值为()A30B26C36D6解析解析： f(1)36， f(2)108， n3 时时 f(n)9(2n7)3n21， (2n7)3n21，当当 n3 时能被时能被 4 整除整除，结合选项知结合选项知 C 正确正确答案：答案：C二二、填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分把答案填把答案填在题中的横线上在题中的横线上)13若用数学归纳法证明若用数学归纳法证

12、明：2n1n2n2 成立时成立时，第一步应验第一步应验证证_答案：答案：n03，24323214用数学归纳法证明命题：用数学归纳法证明命题：12223242(1)n1n2(1)n1n（n1）2(nN)，(从从“第第 k 步到步到 k1 步步”时时，两边应同两边应同时加上时加上_答案：答案：(1)k(k1)215用数学归纳法证明用数学归纳法证明“当当 n 是非负整数时是非负整数时，55n145n235n能被能被 11 整除整除”的第一步应写成的第一步应写成：当当 n_时时，55n145n235n_，能被能被 11 整除整除解析解析： 本题考查对运用数学归纳法证明整除问题的掌握情况本题考查对运用数

13、学归纳法证明整除问题的掌握情况， 由由于于 n 是非负整数是非负整数，所以第一步应考虑所以第一步应考虑 n0.答案：答案：05142302216有以下四个命题：有以下四个命题：(1)2n2n1(n3)；(2)2462nn2n2(n1)；(3)凸凸 n 边形内角和为边形内角和为 f(n)(n1)(n3)；(4)凸凸 n 边形对角线条数为边形对角线条数为 f(n)n（n2）2(n4)其中满足其中满足“假设假设 nk(kN，kn0)时命题成立时命题成立，则当则当 nk1时命题也成立时命题也成立”，但不满足但不满足“当当 nn0(n0是题中给定的是题中给定的 n 的初始值的初始值)时命题成立时命题成立

14、”的命题序号是的命题序号是_解析解析：当当 n 取初始值时取初始值时，经验证经验证，(1)成立成立，(2)，(3)，(4)均不成均不成立立，故故(1)不符合题意不符合题意假设假设 nk(kN，kn0)时命题成立时命题成立，则当则当 nk1 时时，经验证经验证，(2)(3)成立成立，(4)不成立所以不成立所以(2)(3)正确正确答案：答案：(2)(3)三三、解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分解答时应写出必要的文解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10 分分)用数学归纳法证明用数学归纳法证明：(n1)(n

15、2)(nn)n（3n1）2(nN)证明证明：(1)当当 n1 时时，左边左边2，右边右边1（31）22左边左边，等式成立等式成立(2)假设假设 nk 时等式成立时等式成立，即即(k1)(k2)(kk)k（3k1）2.则当则当 nk1 时时， 左边左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(kk)3k2k（3k1）23k23k27k42（k1） （3k4）2（k1）3（k1）12，故故 nk1 时时，等式成立等式成立由由(1)(2)知对任意知对任意 nN，等式成立等式成立18 (本小题满本小题满分分12分分)用用数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式：1n1n11n21n

16、21(nN，且且 n1)证明：证明：(1)当当 n2 时时，12131413121 成立；成立；(2)设当设当 nk(k2)时时，1k1k11k21k21；则当则当 nk1 时时，1k11k21k211（k1）21k1k11k21k211k22k11k12k1（k1）21k1k2k1k（k1）21（k1）2k2k（k1）21，即当即当 nk1 时也成立时也成立由由(1)(2)知对任意知对任意 n1(nN)，原不等式成立原不等式成立19(本小题满分本小题满分 12 分分)求证：对于整数求证：对于整数 n0 时时，11n2122n1能被能被 133 整除整除证明：证明：(1)n0 时时，原式原式1

17、1212133 能被能被 133 整除整除(2)假设假设 nk(k0，kN)时时，11k2122k1能被能被 133 整除整除，nk1 时时，原式原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)122k1133 也能被也能被 133 整除整除由由(1)(2)可知可知，对于整数对于整数 n0，11n2122n1能被能被 133 整除整除20(本小题满分本小题满分 12 分分)设设xn是由是由 x12，xn1xn21xn(nN)定义的数列定义的数列，求证：求证：xn 21n.证明：证明：(1)当当 n1 时时，x12 21，不等式成立不等式成立(2

18、)假设当假设当 nk(k1)时时，不等式成立不等式成立，即即 xk 21k，那么那么，当当 nk1 时时，xk1xk21xk.由归纳假设由归纳假设，xk 21k，则则xk22212k，1xk121k.因为因为 xk 2，所以所以1xk22.所以所以 xk1xk21xk2212k22 212k 21k1.即即 xk1 21k1.所以所以当当 nk1 时时，不等式不等式 xn 21n成立成立综上所述综上所述，得得 xn 21n(nN)21(本小题满分本小题满分 12 分分)数列数列1n（n1） 的前的前 n 项和记为项和记为 Sn.(1)求出求出 S1，S2，S3的值；的值；(2)猜想出猜想出 S

19、n的表达式；的表达式；(3)用数学归纳法证明用数学归纳法证明你的猜想你的猜想(1)解：解：an1n（n1），S1a112；S2a1a2121623；S3a1a2a3121611234.(2)解：解：猜想：猜想：Snnn1(nN)(3)证明：证明：当当 n1 时时，S1a112，右边右边12.等式成立等式成立假设当假设当 nk 时时，Skkk1，则当则当 nk1 时时，Sk1Skak1kk11（k1） （k2）（k1）2（k1） （k2）k1k2k1（k1）1.即当即当 nk1 时时，等式成立等式成立由由可得可得 Snnn1(nN)22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知an是等差数列是

20、等差数列，首项首项 a13，前前 n项和项和为为Sn.令令cn(1)nSn(nN)， cn的的前前20 项项和和 T20330.数列数列bn是公比为是公比为 q 的等比数列的等比数列，前前 n 项和为项和为 Wn，且且 b12，q3a9.(1)求数列求数列an、bn的通项公式；的通项公式；(2)证明：证明：(3n1)WnnWn1(nN*)(1)解：解：设等差数列的公差为设等差数列的公差为 d，因为因为 cn(1)nSn，所以所以 T20S1S2S3S4S20330，则则 a2a4a6a20330，则则 10(3d)10922d330，解得解得 d3，所以所以 an33(n1)3n.所以所以 q

21、3a927，q3.所以所以 bn23n1.(2)证明：证明：由由(1)知知，Wn2（13n）133n1，要证要证(3n1)WnnWn1，只需证只需证( (3n1)(3n1)n(3n11)，即证即证 3n2n1，当当 n1 时时，3n3n1.下面用数学归纳法证明：当下面用数学归纳法证明：当 n2 时时，3n2n1，(1)当当 n2 时时，左边左边9，右边右边5，左右左右，不等式成立不等式成立(2)假设假设 nk(k2)，3k2k1，则则 nk1 时时，3k133k3(2k1)6k32(k1)1，所以所以 nk1 时不等式成立时不等式成立根据根据(1)(2)可知可知，当当 n2 时时，3n2n1，综合可知：综合可知：3n2n1 对于对于 nN成立成立，所以所以(3n1)WnnWn1(nN)最新精品资料