精编高中数学北师大版选修21练习：第三章2.2 抛物线的简单性质一 1 Word版含解析

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1、精编北师大版数学资料基础达标1.顶点在原点，关于 y 轴对称，并且经过点 M(4，5)的抛物线方程为()Ay2165xBy2165xCx2165yDx2165y解析：选 C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为 x22py(p0)，将(4，5)代入得 p85，所以，抛物线方程为 x2165y.2.已知点(x，y)在抛物线 y24x 上，则 zx212y23 的最小值为()A2B3C4D0解析：选 B.zx2124x3(x1)22，x0，x0 时，z 有最小值，zmin3.3.设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线

2、C 的准线相交，则 y0的取值范围是()A(0，2)B0，2C(2，)D2，)解析：选 C.圆心到抛物线准线的距离为 p4，根据已知只要|FM|4 即可，根据抛物线定义，|FM|y02，由 y024，解得 y02，故 y0的取值范围是(2，)4.若抛物线 x22y 上距离点 A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则 a 的取值范围是()Aa0B00，即 a1 时，ya1 时 d2取到最小值，不符合题意综上可知 a1.5.已知抛物线 yx2上有一定点 A(1，1)和两动点 P、Q，当 PAPQ 时，点 Q 的横坐标取值范围是()A(，3B1，)C3，1D(，31，)解析：选 D.设 P(x0，

3、x20)，Q(x，x2)，其中 x01，xx0，则PA(1x0，1x20)，PQ(xx0，x2x20)，PAPQ，PAPQ0.(1x0)(xx0)(1x20)(x2x20)0，即1(1x0)(xx0)0，xx011x0(1x0)11x01，当 x01 时，1x011x0(x01)1x012，x213，故 Q 横坐标的取值范围是(，31，)6.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 M(m，2)到焦点的距离为 4，则 m_解析：由已知，可设抛物线方程为 x22py(p0)由抛物线定义有 2p24，p4，x28y.将(m，2)代入上式，得 m216.m4.答案：47.已知直线 y

4、k(x2)，(k0)与抛物线 y28x 相交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA|3|FB|，则 k 的值为_解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知 x10，x20，y10，y232.y21y22的最小值为 32.答案：329.抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135的直线被抛物线截得的弦长为 8，试求抛物线的方程解：如图，设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点为 Fp2，0，所以直线方程为 yxp2 .设直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据抛物线的定义，得|AB|AF|BF|AC|BD|x1p2x2p2，即 x1x2

5、p8.联立方程组yxp2，y22px，消去 y，得 x23pxp240，x1x23p，3pp8，即 p2.所求抛物线的方程为 y24x.当抛物线方程设为 y22px(p0)时，同理可以求得抛物线的方程为 y24x.综上，抛物线的方程为 y24x 或 y24x.10.设点 P(x，y)(y0)为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原点)，点 P到定点 M(0，12)的距离比点 P 到 x 轴的距离大12.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若直线 l：ykx1 与点 P 的轨迹相交于 A，B 两点，且|AB|2 6，求 k 的值解：(1)由题意知，动点 P 到定点 M 的距离等于

6、它到直线 x12的距离，根据抛物线的定义，得动点 P 的轨迹是抛物线，其中p212，则 2p2，故动点 P 的轨迹方程为 x22y.(2)将直线的方程代入抛物线方程并整理，得 x22kx20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k，x1x22，|AB| （x1x2）2（y1y2）2 （1k2）（x1x2）24x1x2 （1k2）（2k）282 6，解之得 k1.能力提升1.设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|3|BF|，则 l 的方程为()Ayx1 或 yx1By33(x1)或 y33(x1)Cy 3(x1)或 y 3

7、(x1)Dy22(x1)或 y22(x1)解析：选 C.法一：如图所示，作出抛物线的准线 l1及点 A，B 到准线的垂线段 AA1，BB1，并设直线 l 交准线于点 M.设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m， |AA1|AF|3m.由 BB1AA1可知|BB1|AA1|MB|MA|， 即m3m|MB|MB|4m，所以|MB|2m，则|MA|6m.故AMA130，得AFxMAA160，结合选项可知答案法二：由|AF|3|BF|可知AF3FB，易知 F(1，0)，设 A(xA，yA)，B(x0，y0)，则1xA3（x01）yA3y0，从而可解得 A 的坐标为(43x0，3y0)因为点 A，

8、B 都在抛物线上，所以y204x0（3y0）24（43x0），解得 x013，y023，所以 kly00 x01 3.法三：结合焦点弦公式|AB|2psin2及1|FA|1|FB|2p进行求解设直线 AB 的倾斜角为，由题意知 p2，F(1，0)，|AF|BF|3.又1|FA|1|FB|2p，13|BF|1|BF|1，|BF|43，|AF|4，|AB|163.又由抛物线焦点弦公式：|AB|2psin2，1634sin2，sin234，sin32，ktan 3.故选 C.2.抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦 AB的中点 M 作

9、抛物线准线的垂线 MN， 垂足为N， 则|MN|AB|的最大值为_解析：由余弦定理，得 AB2AF2BF22|AF|BF|cos 120AF2BF2|AF|BF|，过 A，B 作 AA，BB垂直于准线，则|MN|12(|AA|BB|)12(|FA|FB|)，|MN|AB|FA|FB|2|AB|FA|FB|2 AF2BF2|FA|FB|12AF2BF2|FA|FB|（|AF|BF|）212（AFBF）2|AF|BF|（|AF|BF|）2121|AF|BF|（|AF|BF|）2121（|AF|BF|2）2（|AF|BF|）233.答案：333.已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P

10、(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0)点 P(1，2)在抛物线上，222p1，解得 p2.所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB.则 kPAy12x11，kPBy22x21，PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y214x1，y224x2，

11、y1214y211y2214y221，y12(y22)，y1y24.由得直线 AB 的斜率为1.4抛物线 C 的方程为 yax2(a0)，过抛物线 C 上一点 P(x0，y0)(x00)作斜率为 k1，k2的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(P，A，B 三点互不相同)，且满足 k2k10(0 且1)(1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程；(2)设直线 AB 上一点 M，满足BMMA，证明线段 PM 的中点在 y 轴上；(3)当1 时，若点 P 的坐标为(1，1)，求PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1的取值范围解：(1)由抛物线 C 的方程 yax2(a

12、0)得，焦点坐标为(0,14a)，准线方程为 y14a.(2)证明：设直线 PA 的方程为 yy0k1(xx0)，直线 PB 的方程为 yy0k2(xx0)点 P(x0，y0)和点 A(x1，y1)的坐标是方程组yy0k1（xx0）yax2的解将式代入式得 ax2k1xk1x0y00，于是 x1x0k1a，故 x1k1ax0，又点 P(x0，y0)和点 B(x2，y2)的坐标是方程组yy0k2（xx0）yax2的解将式代入式得 ax2k2xk2x0y00.于是 x2x0k2a，故 x2k2ax0.由已知得，k2k1，则 x2ak1x0.设点 M 的坐标为(xM，yM)，由BMMA，则 xMx2

13、x11.将式和式代入上式得 xMx0 x01x0，即 xMx00.所以线段 PM 的中点在 y轴上(3)因为点 P(1，1)在抛物线 yax2上，所以 a1，抛物线方程为 yx2.由式知 x1k11，代入 yx2得 y1(k11)2.将1 代入式得 x2k11，代入 yx2得 y2(k11)2.因此，直线 PA、PB 分别与抛物线 C 的交点 A、B 的坐标为 A(k11，k212k11)，B(k11，k212k11)于是AP(k12，k212k1)，AB(2k1，4k1)，APAB2k1(k12)4k1(k212k1)2k1(k12)(2k11)因PAB 为钝角且 P、A、B 三点互不相同，故必有APAB0.求得 k1的取值范围是 k12 或12k10.又点 A 的纵坐标 y1满足 y1(k11)2，故当k12 时，y11；当12k10 时，1y114.即 y1(，1)(1，14)