工程应用软计算课件第5章混沌理论电子教案

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1、第5章理学院应用数学系立体化教学资源系列工程应用软计算 5.1 混沌模型混沌模型 5.2 混沌的定义混沌的定义 5.3 混沌的特征混沌的特征 5.4 混沌理论的应用混沌理论的应用工程应用软计算遗传算法 混沌（译自英文Chaos）的原意是指无序和混乱的状态。在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。 自1957年，混沌（chaos）作为一个新的科学名词出现在文献中以来，混沌学的研究热悄然兴起，迅速发展成为具有丰富内容的研究领域，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科，并揭开了物理学、

2、数学乃至整个现代科学发展的新篇章。 工程应用软计算混沌理论 在人口学、生态学或经济学中，研究生物群体与环境的之间的相互作用非常重要。5.1.1 逻辑斯蒂模型设 txt是 时刻某种生物的总数量， r率，则可以得到如下的生物增长模型 1(1)ttttxxr xr x .但是，按此公式计算，即当 为生物的增长t 时， tx 这显然是不现实的。 ，5.1 混沌模型修正模型，称作逻辑斯蒂(Logistic)模型： 该模型看来似乎很简单，但它具有极其复杂的动力学行为。下面讨论这一确定系统是如何产生混沌的。工程应用软计算混沌理论21(1)(1)11tttttbxr xbxr xxr上式可以简化地写成( ,)

3、(1)yf xxx),(nxfy 为一抛物线，它的极大值出现在 1 2x 处，此时相应 4y，即 4为抛物线的高度。由于 y不大于1，故 不得大于4，在出生数增长率为正值的前提下， 必须使得 1。因此 41是人们感兴趣的参数的取值范围。 )1 (xxx由此解得的不动点即为图中的11:0:xAxO点点若是稳定的不动点，当给定一个初值 0 x后，则图中箭头所示的迭代过程收敛到该点（如A点）。当 1)( xf时，不动点是稳定的；当 1)( xf时， 不动点是不稳定的；这里 xxf2)(工程应用软计算混沌理论当 10时， 0nx，由于 (0)1f，故 存在稳定的不动点0，这里 0nx，说明初始种群体1

4、时， 最终都要归于零。当(0)1f ，因而发生跨临界分岔。当 131时，有两个不动点O和A，对于O点，由于1)0(f，故它是不稳定的。对于A点，因为1211f故它是稳定的。因此由初值 0 x出发的迭代过程总是离开不动点O而趋近不动点A。例如，当 2时，迭代后得5 . 0nx，这叫周期1解。 工程应用软计算混沌理论当 3时，对于A点，由于 12)(Af因而发生叉型分岔。 ，当 2613时，对于O点， 1)0(f时，它仍是不稳定的。对于A点，当 1211f时，则A点由稳定变为不稳定。考察历次迭代结果，可看到经过不长的过渡阶段后，分岔出一对新的稳定nx的不动点，即在两个值上来回跳动。例如 2 . 3

5、时，系统出现两个值 *1x和 *2x的交替状态： )1 (2 . 3)1 (2 . 3*2*2*1*1*1*2xxxxxx工程应用软计算混沌理论今年群体是 *1x，则明年的群体是 *2x，后年又是 *1x， 如此周而复始，这叫周期2解。 如果进一步继续增加 值，则当 3545. 3449. 3时，周期2的两个值又不稳定，此处自产生一对新的不动点，此时nx在四个值上跳动，这叫周期4解。例如取 5 . 3时， nx趋向于0.1520.08790.3730.8230.152，随着 的逐渐增加，这是不断地一分为二的过程：周期1不稳定时，分岔出周期2；周期2不稳定时， 分岔出周期4；周期4不稳定时，分岔

6、出周期；周期 12n不稳定时，分岔出周期 n2，这种过程称为倍周期分岔。工程应用软计算混沌理论解 x与参数 的依赖关系大致可分为两个区域。 （1）周期区其参数 在 ), 0(区间内为周期区。其内有一个正的周期), 2 , 1 , 0(2nn倍周期分岔序列。从周期 12n到 ) 1(2nn各分岔点 n存在如下关系 ，) 1( ncnn（2）混沌区参数 在 4 ,区间中为混沌区。其内有一个反的周期n2的混沌带序列。混沌带并非乱成一片，其实混沌区中也有不少同期窗口，例如有周期为 , 6 , 5 , 3P的窗 口。同时也看到，当参数 固定时（如上述周期3窗口参数81），由于初值 0 x的不同将可能导致

7、不同的周期，其中一定会出现大量的不稳定周期。工程应用软计算混沌理论第一次分岔应发生在O点的斜率等于1处，由式（5.6）可得如下结果：12)(00 xxxxf即 10第二次分岔应发生在A点的斜率等于-1处，由12112)(11xxf可得 31在 31以后，上面提到分岔出周期的解，下面来求这两个解。工程应用软计算混沌理论当 n很大以后，周期2解满足)()(12nnnnxffxfxx（且nnxx1） 从式（5.17）可见，对原来的映射 )(xfx 来说，周期2就是用复合函数来表示的映射，)()()2(xfxffx的不动点，用 )1 (xx代表 )(xf，则式（5.16）变为 )1 (1)1 (xxx

8、xx这是一个四次方程。由前分析知，其两个因子为 )0( x及 11x，应从式（5.19）中去掉，那么另外两个不动点则由剩下的二次方程0) 1() 1(22xx求出，解方程（5.20）可得两个根工程应用软计算混沌理论) 3)(1(1212 , 1x例如将 2 . 3代入上式可得 799. 0,513. 021xx，也就是前面所说的nx趋向于在0.513和0.799两个值上跳动这一情况。这三次分岔应发生在周期2不稳定处。图5-6绘出 xy 和 )()2(xffxfy的图像。两条线相交于三个不动点CBA,，其中A点是不稳定点， B和C点都是稳定的。因此由稳定变为不稳定必须在 )()2(xf的斜率等于

9、-1处。工程应用软计算混沌理论(2)f图5-6 影射 的图像工程应用软计算混沌理论可见这两个不动点B和C必须具有相同的稳定条件，从而在同一个 2处失稳。为求 2值，先计算 )()2(xf的导数。 )()()()()(2111,21xfxfxffxfxffxxx并令 )()2(xf在 1x或 2x的数值为-1，即得 1)21)(21 (212xx将前面的 1x和 2x代入上式，可得 61不能取负值，取正号可得 612其余分岔点的 n值可用类似方法求出。如周期 4满足 工程应用软计算混沌理论nnxx4，用复合函数表示则为 )()4(xfx 。要求 )()4(xf的不动点，即 )()4(xf和 xy

10、 的交点共有8个， 其中包含映射 )(xfx 的2个不动点和映射 )()2(xfx 的2个不动点。去掉这4个不动点所包含的因子后，那么剩下的4个不动点就是周期4解 321,xxx和 4x。 工程应用软计算混沌理论美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时，提出了著名的洛伦兹（Lorenz）方程组 xxyyrxyxzzxybz 这是一个三阶常微分方程组。 下面讨论耗散系统是如何出现混沌的。先求洛伦兹系统的平衡态。令上式左边 0, 0, 0zyx则得 工程应用软计算混沌理论5.1.2 洛伦兹方程00bzxyxzyrxyx当 0 x时， 0, 0zy；1 rz时， ) 1( rbyx

11、当因此，当 10 r时，仅有一个平衡态 )0 , 0 , 0(),( :zyxO当 1r时，有三个平衡态 工程应用软计算混沌理论) 1, ) 1(, ) 1(),( :) 1, ) 1(, ) 1(),( :)0 , 0 , 0(),( :21rrbrbzyxcrrbrbzyxczyxO系统的雅克比矩阵平衡态bxyxzr10对于平衡态 O，其稳定性由雅克比矩阵 br00010的特征值 决定。其特征值方程为 工程应用软计算混沌理论0)1 () 1()(2rb由此解出三个根)1 (4) 1() 1(2123 , 21rb可见，当 10 r时，这三个根皆为负实数，故 O点是稳定的平衡点。当 1r时，

12、 1仍为负实数，但 2和 3中有一正一负，此时 O点变为不稳定的平衡点。 当 1r时，有一个零根， O点处于临界状态，故有一特征值沿实轴穿过虚轴从而发生一次叉型分岔。 对于平衡点 1c和 2c，其稳定性由雅克比矩阵 工程应用软计算混沌理论brbrbrb) 1() 1() 1(110的特征值 决定。其特征方程为 0) 1(2)() 1(23rbbrb这是一个一般的一元三次方程，其根的解法有专门公式可查。可得出如下结论： 当 10 r时，仅有一个 O点是稳定的平衡点。 当 74.2410rr时， O点是不稳定的平衡点， 1c和 2c为稳定焦点，在 0rr 处发生亚临界霍夫分岔，出现了不稳定的极限环

13、。在 74.240 rr以后，系统经历了一个十分复杂的分岔序列。工程应用软计算混沌理论 实际生活中，我们经常研究和重点探讨的混沌模型还有：立方映射1)0(1, )(3)(4) 1(3xnxnxnx 无限折叠映射:1)0(1,)(2sin) 1(xnxnx工程应用软计算混沌理论5.1.3 其它混沌模型在自然界中，混沌现象是普遍存在的。（一） 小行星带的Kirkwood间隙与地球上的流星起源（二） 地磁场的反向运动（三） Josephson结中的噪声（四） 鸡胚心肌细胞的强迫跳动 工程应用软计算混沌理论5.2混沌的定义5.2.1 混沌的普遍性 混沌现象在自然界中普遍存在，可以观察到混沌现象的系统举

14、不胜举。例如受迫阻尼摆、湍流形成时的流体、非线性光学器件、电荷密度波、约瑟夫森结、三体问题、波与粒子的相互作用的等离子体、高能粒子加速器、生态学竞争模型、受刺激的心脏、地球磁场的反向运动、广义相对论中的宇宙学模型、化学反应系统、人的脑电图、模拟人脑工作的神经网络系统、股票价格的波动。可以说，混沌无处不在。没有混沌，就没有复杂性，没有进化和发展。工程应用软计算混沌理论定义5.1 设在连续自映射 ,:RIIfI是 R中的一个子区间。如果存在不可数集合IS 满足 S不包含周期点。 任何 2121,xxSxx，有 0)()(suplim21xfxfttt0)()(inflim21xfxfttt这里 )

15、()(fffft表示 t重函数的关系。 任给 Sx 1及 f的任意周期点 pxIp1,有 0)()(suplim1pfxfttt则称 f在 S上是混沌的。 工程应用软计算混沌理论5.2.2 混沌的定义一定义5.2 设 是一个紧度量空间，连续映射 VVVf:如果满足下列三个条件： (1) 对初值敏感依赖：存在 0，对于任意的 0和任意 Vx，在 x的 邻域内存在 y和自然数 n，使得 ;)(),(yfxfdnn(2) 拓扑传递性：对于 V上的任意一对开集 YX,存在 0k，使 ;)(YXfk (3) f的周期点集在 V中稠密。 则称 f是在迪万尼(Devaney)意义下 V上的混沌映射或混沌运动

16、。工程应用软计算混沌理论5.2.3 混沌的定义二 从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。结合上面的典型的Logistic映射，我们可以发现混沌运动有着如下的特性（部分特征结合试验仿真给出仿真结果）。（一） 长期不可预测性在此仍然以经典的logistic映射为例。 )1 (),(1nnnnxxxfx工程应用软计算混沌理论5.3 混沌的特征5.3.1 混沌运动的典型特征与仿真对于初值为 501. 00 x，在参数 取值由3.2开始，间隔0.1到4结束，迭代200次的结果实验仿真如图5-9所示，发现随着参数 的增加，迭代序列经历了2周期、4周期、8周期、周期的过

17、程，程序：clear all,x(1)=0.501;y(1)=0.499;n=200;a=;for i=1:9; a(i)=3.1+0.1*i; %a(i)=3.44+0.03*i; subplot(3,3,i) for j=1:n x(j+1)=a(i)*x(j)*(1-x(j); y(j+1)=a(i)*y(j)*(1-y(j); end plot(1:n+1,x,r.,1:n+1,y,b)end工程应用软计算混沌理论图5-9 对于初值为0.501的logistic映射在参数 取值由3.2：0.1：4序列发展情况 工程应用软计算混沌理论图5-9 对于初值为0.501的logistic映射在

18、参数 取值由3.47：0.03：3.71序列发展情况 工程应用软计算混沌理论（二） 对初值的敏感依赖性 随着时间的推移，任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化，即对初始条件的敏感依赖性。及时初始数据又很小的偏差，在迭代几次后其差距会很大，实验仿真的如图5-11所示（以Logistic映射为例）。 工程应用软计算混沌理论程序： x=0:0.001:1;y1=x;y2=4.*x.*(1-x);plot(x,y1,x,y2),hold onxx(1)=0.02;zz(1)=0.022;for i=1:4; yy1(i)=4*xx(i)*(1-xx(i); xx(i+1)=yy1(i); p

19、atch(xx(i),xx(i),xx(i),xx(i+1),b) hold on patch(xx(i),xx(i+1),xx(i+1),xx(i+1),b) hold on yy2(i)=4*zz(i)*(1-zz(i); zz(i+1)=yy2(i); patch(zz(i),zz(i),zz(i),zz(i+1),y) hold on patch(zz(i),zz(i+1),zz(i+1),zz(i+1),y)end 工程应用软计算混沌理论00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91 图5-11 初值为0.015和

20、0.016的logistic映射在参数 时序列发展情况 工程应用软计算混沌理论 遍历性也称为混杂性。随着时间的推移，混沌运动的轨迹决不逗留于某一状态而是遍历区域空间中的每一点，即只要时间充分长，混沌会不重复的能走过每一点。同样以经典的logistic映射为例，当 4时，轨道 , 3 , 2 , 1 , 0, )(nnx 为混沌的，即Logistic映射完全处于混沌状态。随机取一初值，Logistic映射的混沌轨道如图5-12所示，图5-12中的横坐标表示的是迭代的次数，纵坐标表示的是 2000, 3 , 2 , 1 , 0, )(nnx（三） 遍历性工程应用软计算混沌理论程序： clc,cle

21、ar all,%x1=rand(1,3);x1=0.499;y1=0.5001;n=2000;for i=1:n x1(i+1)=4*x1(1,1)*(1-x1(1,1); x1(1,1)=x1(i+1); y1(i+1)=4*y1(1,1)*(1-y1(1,1); y1(1,1)=y1(i+1);endplot(x1,y1,b*)工程应用软计算混沌理论图5-12 初值为0.58时迭代2000次的logistic映射在（0，1）区间上的分布情况工程应用软计算混沌理论图5-13 初值为0.499和0.501时迭代2000次的logistic映射在 ) 1 , 0() 1 , 0(区间上的分布图

22、工程应用软计算混沌理论（一） 内在随机性首先，混沌系统是确定的系统;其次，混沌的表现是貌似随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响是确定出现的。工程应用软计算混沌理论5.3.2 混沌运动的其它特征（二） 普适性不同的混沌映射，其混沌状态从外表上是类似的。（三） 分形性所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质。（四） 有界性 它的运动轨线始终局限于一个确定的区域内，这个区域称为混沌吸引域。因此总体上讲混沌系统是稳定的。（五） 分维性 混沌系统的运行状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。（六） 统

23、计特性 对于混沌系统而一言，正的Lyapunov指数（表达式： 10)(ln1limniinxfnLE ）表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由于吸引子的有界性，轨道只能在一个局限区域内反复折叠，但又永远不相交，形成了混沌吸引子的特殊结构。 工程应用软计算混沌理论 混沌时间序列的预测具有非常广阔的应用前景，如电力系统短期负荷预测、股市行情预测、转子剩余寿命的预测、天气预报等。 应用实例1 在电力系统短期负荷预测中的应用（梁志珊，王丽等） 应用实例2 混沌神经网络的应用-TSP问题（旅行推销员问题） 应用实例3 混沌优化问题及其应用实例工程应用软计算混沌理论5.4 混沌理论的

24、应用5.4.1 混沌时间序列及其应用实例 传统的优化方法在求解多极点的全局最优解问题时容易陷入局部最优，主要的原因是迭代搜索与初始点的选择有关，搜索所得到的最优解一般都是距离初始点最近的局部最优解；而混沌优化算法（即利用混沌的遍历性：任意的初值都能遍历全局）在求解多极点的全局最优解问题时都能达到全局最优解，初始点的选择对算法基本没有影响，并且不同混沌序列对搜索得到全局最优解的时间也不一样。考虑如下数值函数优化问题：33, 33 31)5(10)1 ( 3),( max222222) 1(53) 1(2yxeeyxxexyxfyxyxyx工程应用软计算混沌理论程序： x=-3:0.05:3;y=

25、-3:0.05:3;x,y=meshgrid(x,y);z=3*(1-x).2.*exp(-x.2-(y+1).2)-10*(x./5-x.3-y.5).*exp(- x.2-y.2)-1/3*exp(-(x+1).2-y.2);mesh(x,y,z)工程应用软计算混沌理论图5-14 典型多极值模型的图示工程应用软计算混沌理论 从图5-14就可以看出该函数在定义域中有三个局部最大值，同时该函数仅有一个全局最优解（-0.009，1.581），对应的目标函数值为：8.1062。用传统的优化算法求解时随着初始点选取的不一样，容易陷入局部最优值，而将混沌的遍历特性加入到优化算法中对于任意不同的初值都能

26、得到全局最优解。工程应用软计算混沌理论程序： xa=-3;xb=3;ya=-3;yb=3;xx1(1,1)=rand(1);yy1(1,1)=rand(1);x=xx1(1,1);y=yy1(1,1);m=30000;z1=0;for i=1:m %xx1(i+1,1)=4*xx1(i,1).*(1-xx1(i,1); %yy1(i+1,1)=4*yy1(i,1).*(1-yy1(i,1); %x=6*xx1(i+1,1)-3; %y=6*yy1(i+1,1)-3; xx1(i+1,1)=4*xx1(i,1).3-3*xx1(i,1); yy1(i+1,1)=4*yy1(i,1).3-3*yy

27、1(i,1); x=3*xx1(i+1,1);工程应用软计算混沌理论y=3*yy1(i+1,1);%xx1(i+1,1)=1-2*xx1(i,1).2;%yy1(i+1,1)=1-2*yy1(i,1).2;%x=3*xx1(i+1,1);%y=3*yy1(i+1,1); z=3*(1-x).2.*exp(-x.2-(y+1).2)-10*(x./5-x.3- y.5).*exp(-x.2-y.2)-1/3*exp(-(x+1).2-y.2); if z8.09 z1=z; xm=x; ym=y; k=i; break endendz1,xm,ym,i工程应用软计算混沌理论程序计算结果见表5-6

28、.表5-6 混沌优化算法与单纯形法的比较初值初值单纯形法单纯形法混沌算法混沌算法最优解最优解目标目标函数函数Logistic映映射射立方映射立方映射无限折叠映无限折叠映射射目目标标函函数数迭代迭代次数次数目标目标函数函数迭代迭代次数次数目标目标函数函数迭迭代代次次数数最优解最优解(.1,1.9)(-.009, 1.581)8.10628.106264388.106223268.10622420(-.009, 1.581)(.1,-.9)(-0.46, -0.629)3.77668.106266738.106225478.10622529(-.009, 1.581)(1.1,-.1)(1.286, -0.005)3.59258.106268768.106226388.10622576(-.009, 1.581)注：迭代次数是对应的映射在区间按 )9 ,2 , 1 , 0(2nn 细分的情况下试验10次所得到的平均迭代次数。工程应用软计算混沌理论 谢谢！谢谢！工程应用软计算混沌理论