新教材北师大版数学必修四：探索函数y=asin(ωxφ)的图像及性质导学案含解析

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1、（新教材）北师大版精品数学资料第9课时探索函数y=Asin(x+)的图像及性质1.熟练掌握五点作图法的实质.2.理解表达式y=Asin(x+),掌握A、x+的含义.3.理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数y=sin x进行振幅和周期的变换.4.会利用平移、伸缩变换方法,作函数y=Asin(x+)的图像.5.结合函数y=Asin(x+)的图像分析函数的性质.在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如y=Asin(x+)的函数,例如:在简谐振动中位移与时间表示的函数关系就是形如y=Asin(x+)的函数.正因为如此,我们要研究它的图像、性质及其应用,今天先来学习它的图像和性质.问题1:利用“五

2、点法”画函数y=Asin x,y=sin(x+),y=sin x(>0)简图的五个关键点列表如下:y=Asin x(0,0)(2,A) (32,-A) y=sin(x+)(-,0)(2-,1)(,0) (32-,) (2-,0)y=sin x(0,0)(,1) (,0) (32,-1)(,0) 问题2:如何由函数y=sin x的图像变换得到y=Asin x,y=,y=sin x(A,>0)的图像? y=sin xy=, y=sin xy=, y=sin xy=. 问题3:在

3、y=Asin(x+)中,A,这三个系数分别有什么意义和作用?通常称A为,A决定了函数的;称为,x+叫,决定了时的函数值;决定了函数的,周期T=. 问题4:如何由函数y=sin x的图像变换得到y=Asin(x+)的图像?路径1:y=sin xy= y= y=Asin(x+).路径2:y=sin xy= y= y=Asin(x+).1.用“五点法”作y=2sin 2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是().A.0,2,32,2B.0,4,2,34,C.0,2,3,4D.0,6,3,2,232.要得到函数y=sin(2x-4)的图像,需将函数y=

4、sin 2x的图像().A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位3.函数y=|sin x|的一个单调增区间是. (-4,4);( 4,34);(,32);(32,2).4.若函数y=a-bsin x的最大值为32,最小值为-12,试求函数y=-4asin bx的最值及周期.函数y=Asin(x+)的图像及变换用五点法画出函数y=2sin(2x+3)(xR)的图像,并指出它是由y=sin x图像如何变换得到的.函数y=Asin(x+)的性质及应用右图为y=Asin(x+)的图像的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(x+)的图像向左平移

5、6个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.求函数y=Asin(x+)的解析式或参数A、等如图,给出的是函数y=2sin(x+)(>0,|<)的一段图像,求和的值.函数y=kx+1,x<0,2sin(x+)(>0,|<2),x0的图像如图所示,则().A.k=12,=12,=6B.k=12,=12,=3C.k=12,=2,=6D.k=-2,=12,=3已知函数f (x)=sin(2x+6)+32(>0),xR在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.(1)求的值;(2)若将函数f(x)的图像向右平移6个单位后,再将得到的图像上各点横坐标伸长到原来的4倍

6、,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)的最大值及单调递减区间.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<2,xR)的图像的一部分如图所示.求函数f(x)的解析式.1.下列函数中,周期为且在0,2上是减函数的是().A.y=sin(x+4)B.y=cos(x+4)C.y=sin 2xD.y=cos 2x2.已知函数f(x)=sin(x+3)(>0)的最小正周期为,则该函数的图像().A.关于点(3,0)对称B.关于直线x=4对称C.关于点(4,0)对称D.关于直线x=3对称3.已知函数f(x)=sin(x+)(>0,-22)的图像上的两

7、个相邻的最高点和最低点的距离为22,则=. 4.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<2且0)是R上的偶函数,其图像过点M(0,2).又f(x)的图像关于点N(34,0)对称且在区间0,上是减函数,求f(x)的解析式.(2012年·陕西卷)函数f(x)=Asin(x-6)+1(A>0,>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设(0,2),f(2)=2,求的值.考题变式(我来改编):    答案第9课时探索函数y=Asin(x+)的图像及性质知识体系梳

8、理问题1:(,0)(2,0)-122问题2:sin(x+)Asin xsin(x+)sin x问题3:振幅最值初相相位x=0周期2问题4:sin xsin(x+)sin(x+)sin(x+)基础学习交流1.B令2x=0,2,32,2得x=0,4,2,34,.故选B.2.Dy=sin(2x-4)=sin2(x-8),把函数y=sin 2x的图像向右平移8个单位,就能得到函数y=sin(2x-4)的图像,即选D.3.作出函数y=|sin x|的图像.观察可知,函数y=|sin x|在(,32)上递增.4.解:设t=sin x-1,1,当b>0时,a-ba-bta+b,a+b=32,a-b=-

9、12,a=12,b=1.所求函数为y=-2sin x.当b<0时,同理可得a-b=32,a+b=-12,a=12,b=-1.所求函数为y=-2sin(-x)=2sin x.综合得,所求函数为y=±2sin x,其最小值为-2,最大值为2,周期为2.重点难点探究探究一:【解析】(1)列表:x-6123712562x+302322y020-20(2)描点.(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像,如图所示:利用函数的周期性,我们要把上面所得到的图像向左、右扩展,得到y=2sin(2x+3)(xR)的简图(图略).(法一)y=sin xy=sin 2xy=sin2(x+6)=sin(2

10、x+3)y=2sin(2x+3).(法二)y=sin xy=sin(x+3)y=sin(2x+3)y=2sin(2x+3).【小结】五点法作y=Asin(x+)+b的图像,是将x+看成一个整体,x+分别取0,2,32,2,求出的x才是要取的五个关键点的x值.探究二:【解析】(1)由图像知A=3,以M(3,0)为第一个零点,N(56,0)为第二个零点.列方程组·3+=0,·56+=,解之得=2,=-23.所求解析式为y=3sin(2x-23).(2)f(x)=3sin2(x+6)-23=3sin(2x-3),令2x-3=2+k(kZ),则x=512+k2(kZ),f(x)的对

11、称轴方程为x=512+k2(kZ).【小结】(1)求函数解析式要找准图像中的“五点”,利用方程求解,;(2)讨论性质时将x+视为一个整体.探究三:【解析】T=4×8-(-8)=,=2=2.又(-8,0)在函数图像上,2sin(-8×2+)=0,-4=k,kZ.又|<,=4或=-34.问题的两解都正确吗?结论不正确.点(-8,0)只可能是“五点法”中的第三点,所以应是-4=2k+,kZ.于是,正确解答如下:T=4×8-(-8)=,=2=2.又(-8,0)在函数图像上,2sin(-8×2+)=0,-4=2k+(kZ),即=2k+54.又|<,=-

12、34.【小结】根据图像确定参数A,的关键是要利用好图像确定,还要注意规定的的取值范围.思维拓展应用应用一:A本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图像是一条直线,由图像可判断该直线的斜率k=12.另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定,由图像可知函数的周期为T=4×(83-53)=4,故=12.将点(53,0)代入解析式y=2sin(12x+),得12×53+=k(kZ),所以=k-56(kZ).结合各选项可知,选项A正确.应用二:(1)f(x)=sin(2x+6)+32,令2x+6=2,将x=6代入可得=1.(2)由(1)得f(x)=s

13、in(2x+6)+32,经过题设的变化得到函数g(x)=sin(12x-6)+32,当x=4k+43(kZ)时,函数g(x)取得最大值52.令2k+212x-62k+32,即4k+43,4k+103(kZ)为函数g(x)的单调递减区间.应用三:由图像可知A=2,T=8.=2T=28=4.(法一)由图像过点(1,2),得2sin(4×1+)=2,sin(4+)=1.|<2,=4,f(x)=2sin(4x+4).(法二)点(1,2)对应“五点”中的第二个点,4×1+=2,=4,f(x)=2sin(4x+4).基础智能检测1.D正确表达三角函数的周期性和单调性.2.A由已知

14、,=2,所以f(x)=sin(2x+3),因为f(3)=0,所以函数图像关于点(3,0)中心对称,故选A.3.2由已知两相邻最高点和最低点的距离为22,而f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得T2=(22)2-22=2,T=4,=2T=2.4.解:f(x)是R上的偶函数,f(x)关于y轴对称,即当x=0时,=k+2(kZ),又0,=2.又f(x)过点M(0,2),Asin2=A=2,f(x)=2sin(x+2)=2cos x.又f(x)的图像关于点N(34,0)对称,f(34)=2cos(34)=0,34=k+2(kZ),=43(k+12)(kZ).又0<2,=23或=2.最后根据f(x)在区间0,上是减函数,可知只有=23满足条件.所以f(x)=2cos 23x.全新视角拓展(1)函数f(x)的最大值为3,A+1=3,即A=2.函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2,最小正周期T=,=2,故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-6)+1.(2)f(2)=2sin(-6)+1=2,即sin(-6)=12,0<<2,-6<-6<3,-6=6,故=3.思维导图构建振幅频率x+初相