最新数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第一章　常用逻辑用语 167;4 4.1~4.2 Word版含答案

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1、最新北师大版数学精品教学资料§4逻辑联结词“且”“或”“非”41逻辑联结词“且”42逻辑联结词“或”学习目标1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假知识点一“且”思考观察三个命题：5是10的约数；5是15的约数；5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答案命题是将命题用“且”联结得到的新命题梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘

2、制为命题“p且q”的真值表如下：pqp且q真真真真假假假真假假假假命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”知识点二“或”思考观察三个命题：3>2；32；32，它们之间有什么关系？答案命题是命题用逻辑联结词“或”联结得到的新命题梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：pqp或q真真真真假真假真真假假假命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”1逻辑联结词“且”

3、“或”只能出现在命题的结论中(×)2“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件(×)3当p，q都为假命题时，p且q才为假命题(×)4若p：sinx2，q：任意xR，x2x10，则p或q为假命题(×)类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)22.考点“且”“或”的概念题点把命题写成“p且q”或“p或q”的形式解(1)是p且q形式命题其中p：向量有大小，q：向量有方向(2)是p或q形式命题其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆(3)

4、是p或q形式命题其中p：2>2，q：22.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题跟踪训练1命题“菱形对角线垂直且平分”为_形式复合命题考点“且”的概念题点把命题写成“p且q”的形式答案p且q命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列

5、命题的“p且q”“p或q”形式的命题(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解考点“且”“或”的概念题点把命题写成“p且q”或“p或q”的形式解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等(2)p或q：1或3是方程x24x30的解p且q：1和3是方程x24x30的解反思与感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并跟踪训练2指出下列命题的形式及构成它的简单命题(1)96是48与16的倍数；(2)不等式x2x20的解

6、集是x|x1或x2考点“且”“或”的概念题点把命题写成“p且q”或“p或q”的形式解(1)p且q：p：96是48的倍数；q：96是16的倍数(2)p或q：p：不等式x2x20的解集是x|x1，q：不等式x2x20的解集是x|x2类型二“p且q”和“p或q”形式命题的真假判断例3分别指出“p或q”“p且q”的真假(1)p：函数ysinx是奇函数；q：函数ysinx在R上单调递增；(2)p：直线x1与圆x2y21相切；q：直线x与圆x2y21相交考点“p且q”和“p或q”形式命题真假性判断题点判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假解(1)p真，q假，“p或q”为真，“p且q”为假(2)p真，q真

7、，“p或q”为真，“p且q”为真反思与感悟形如p或q，p且q命题的真假根据真值表判定跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假(1)p：是无理数，q：不是无理数；(2)p：集合AA，q：AAA；(3)p：函数yx23x4的图像与x轴有公共点，q：方程x23x40没有实数根考点“p且q”和“p或q”形式命题真假性判断题点判断“p且q”和“p或q”形式命题的真假解(1)p真，q假，“p或q”为真，“p且q”为假(2)p真，q真，“p或q”为真，“p且q”为真(3)p假，q假，“p或q”为假，“p且q”为假类型三已知复合命题的真假求参数范围例4已知p：方程x2mx10

8、有两个不相等的负根，q：方程4x24(m2)x10无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围考点“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断题点由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围解因为p：方程x2mx10有两个不相等的负根，所以所以m2.因为q：方程4x24(m2)x10无实数根，所以0，即16(m2)2160，所以16(m24m3)0，所以1m3.因为p或q为真，p且q为假，所以p为真，q为假或者p为假，q为真即或解得m3或1m2.所以m的取值范围为m|m3或1m2引申探究本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围解同例得当p为真命题时，m2，当q为

9、真命题时，1m3.因为p或q为真，p且q为真，所以p，q均为真命题，即解得2m3，所以m的取值范围为(2,3)反思与感悟应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；(2)讨论p，q的真假；(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围跟踪训练4已知p：(x2)(x3)0，q：|x1|2，若“p且q”为真，则实数x的取值范围是_考点“p且q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围答案1,3解析由(x2)(x3)0，解得2x3.由|x1|2，解得x1或x3.“p且q”为真，解得1x3，则

10、实数x的取值范围是1,31已知p：235，q：54，则下列判断正确的是()Ap为假命题Bq为真命题Cp或q为真命题Dp且q为真命题考点“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”“p或q”形式命题的真假答案C解析由题意，知p为真命题，q为假命题2由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是()Ap：449，q：74Bp：aa，b，c，q：aa，b，cCp：15是质数，q：8是12的约数Dp：2是偶数，q：2不是质数考点“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”“p或q”形式命题的真假答案B3已知命题p，q，若p为真命题，则()Ap且q必为真Bp且q

11、必为假Cp或q必为真Dp或q必为假考点“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”“p或q”形式命题的真假答案C解析p或q，一真则真，故必有p或q为真4已知p：函数ysinx的最小正周期为，q：函数ysin2x的图像关于直线x对称，则p且q是_命题(填“真”或“假”)考点“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”形式命题的真假答案假解析由题意，知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p且q是假命题5已知命题p：函数f(x)(xm)(x4)为偶函数；命题q：方程x2(2m1)x42m0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围考点“p且q”“p或

12、q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围解若命题p为真，则由f(x)x2(m4)x4m，得m40，解得m4.设g(x)x2(2m1)x42m，其图像开口向上，若命题q为真，则g(2)<0，即22(2m1)×242m<0，解得m<3.由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假若p假q真，则m<3且m4；若p真q假，则m无解所以实数m的取值范围为(，4)(4，3)1判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论2对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命

13、题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假一、选择题1“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案A解析p且q是真命题p是真命题，且q是真命题p或q是真命题；p或q是真命题p且q是真命题2命题p：函数yloga(ax2a)(a0且a1)的图像必过定点(1,1)，命题q：如果函数yf(x)的图像关于(3,0)对称，那么函数yf(x3)的图像关于原点对称，则有()A“p且q”为真B“p或q”为假Cp真q假Dp假q真考点“p或q”“

14、p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案C解析由命题p知，ax2aa，解得x1，故过定点(1,1)，而命题q为假命题3设命题p：函数ysin2x的最小正周期为；命题q：函数ycosx的图像关于直线x对称，则下列判断正确的是()Ap为真Bq为真Cp且q为假Dp或q为真考点“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”形式命题的真假答案C解析函数ysin2x的最小正周期为，故p为假命题；x不是ycosx的对称轴，命题q为假命题，故p且q为假故选C.4p：方程x22xa0有实数根，q：函数f(x)(a2a)x是增函数，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实

15、数a的取值范围是()Aa>0Ba0Ca>1Da1考点“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围答案B解析方程x22xa0有实数根，44a0，解得a1.函数f(x)(a2a)x是增函数，a2a>0，解得a<0或a>1.p且q为假命题，p或q为真命题，p，q中一真一假当p真q假时，得0a1；当p假q真时，得a>1.由，得所求实数a的取值范围是a0.5命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，则()Ap真q假Bp且q

16、为真Cp或q为假Dp假q真考点“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案D解析命题p假，命题q真6命题p：点P在直线y2x3上；q：点P在曲线yx2上，则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是()A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)考点“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”形式命题的真假答案C解析点P(x，y)满足解得P(1，1)或P(3，9)，故选C.7已知p：x22x30；q：1，若p且q为真，则x的取值范围是()A(1,2) B(1,3)C(3，) D(，2)考点“p且q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”形式命题的

17、真假求参数的值答案A解析由命题p，得1x3，当q为真命题时，得x2或x3，因为p且q为真命题，所以即1x2.二、填空题8设p：2xy3，q：xy6，若p且q为真命题，则x_，y_.考点“p且q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”形式命题的真假求参数的值答案33解析若p且q为真命题，则p，q均为真命题，所以有解得9若“x2,5或xx|x1或x4”是假命题，则x的取值范围是_考点“p或q”形式命题真假性的判断题点由“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围答案1,2)解析x2,5或x(，1)(4，)，即x(，1)2，)，由于命题是假命题，所以1x2，即x1,2)10设p：关于x的不等式ax>

18、1的解集是x|x<0，q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为_考点“p或q”形式命题真假性的判断题点由“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围答案解析若p真，则0<a<1，若p假，则a1或a0.若q真，有即a>.若q假，则a，又p和q有且仅有一个为真，所以当p真q假时，0<a，当p假q真时，a1.综上所述，a.三、解答题11判断下列复合命题的真假(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x22x1>0的解集为R且不等式x22x21的解集为.考点“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q

19、”形式命题的真假解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x22x1>0的解集为R，q：不等式x22x21的解集为.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题12已知p：c2c和q：对任意xR，x24cx10，若p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围考点“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围解由不等式c2c，得0c1.由对任意xR，x2

20、4cx10，得(4c)240，得c.由已知，得p和q必有一个为真、一个为假当p真q假时，c1；当q真p假时，c0.故实数c的取值范围是13设p：函数f(x)lg(ax24xa)的定义域为R；q：设a(2x2x，1)，b(1，ax2)，不等式a·b>0对任意x(，1)恒成立如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围考点“p或q”“p且q”形式命题真假性的判断题点由“p或q”“p且q”形式命题的真假求参数的取值范围解若p为真命题，则ax24xa>0对xR都成立，当a0时，f(x)lg(4x)的定义域不为R，不合题意，当a0时则(4)24a2<0且a>0

21、，即解得a>2.若q为真命题，则由a·b>0对任意x(，1)恒成立，知2x2x(ax2)>0，即a>2x1对任意x(，1)恒成立，则a>max.令g(x)2x1，可知g(x)在(，1)上是增函数，当x1时取得最大值，g(x)max1.故a1.又p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q中一个为真命题，另一个为假命题若p真q假，则无解；若p假q真，则则1a2.综上，实数a的取值范围为1,2四、探究与拓展14命题p：1是集合x|x2a中的元素；命题q：2是集合x|x2a中的元素若“p且q”是真命题，则a的取值范围为_考点“p且q”形式命题真假性的判断题点“p且

22、q”形式命题的真假求参数的取值范围答案(4，)解析由p为真命题，得a1，由q为真命题，得a4.因为p且q为真命题，所以解得a4.15已知p：(x1)(x5)0，q：1mx1m(m0)(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m5，p或q为真命题，p且q为假命题，求实数x的取值范围考点“p且q”“p或q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”“p或q”形式命题的真假求参数的取值范围解(1)由(x1)(x5)0，得1x5，p是q的充分条件，解得m4.(2)当m5时，q：4x6.根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，解得4x1或5x6.综上，实数x的取值范围是4，1)(5,6