2020高中数学北师大版必修三应用案巩固提升案：第3章 6 章末综合检测三 Word版含解析

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1、北师大版 2019-2020 学年数学精品资料 章末综合检测(三) (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1给出下列四个命题： “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； “当 x 为某一实数时，可使 x20”是不可能事件； “明天天津市要下雨”是必然事件； “从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个，5 个全是次品”是随机事件 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 C.正确 2从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2

2、 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有 1 个黑球与都是红球 B至少有 1 个黑球与都是黑球 C至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 解析：选 D.A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件故选 D. 3某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表： 时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内 新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191 男婴数 2 716

3、4 899 6 812 8 590 这一地区男婴出生的概率约是( ) A0.4 B0.5 C0.6 D0.7 解析：选 B.由表格可知，男婴出生的频率依次约为 0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为 0.5.故选 B. 4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310 解析：选 B.记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)254058. 5为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种

4、在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 解析：选 C.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为4623.故选 C. 6有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 解析：选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9

5、个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有 3 个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为3913. 7任取一个三位正整数 N，则对数 log2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.1450 解析：选 C.三位正整数有 100999，共 900 个，而满足 log2N 为正整数的 N 有 27，28，29，共 3 个，故所求事件的概率为39001300. 8在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45 解析：选 C.

6、设|AC|x cm，0 x12，则|CB|(12x) cm，要使矩形面积大于 20 cm2，只要 x(12x)20，则 x212x200，2x10，所以所求概率为 P1021223，故选 C. 9小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于12，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于14，则去踢足球；否则，在家看书则小明周末不在家看书的概率为( ) A.12 B.16 C.1316 D.512 解析：选 C.由题意画出示意图，如图所示表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为（12）2（14）2316，因此他不在家看

7、书的概率为 13161316，故选 C. 10小莉与小明一起用 A，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的 A 立方体朝上的数字为 x，小明掷的 B 立方体朝上的数字为 y，来确定点 P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点 P(x，y)落在已知抛物线 yx24x 上的概率为( ) A.16 B.19 C.112 D.118 解析：选 C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有 6 种可能性，则(x，y)的情况有36 种，即 P 点有 36 种可能，而 yx24x(x2)24，即(x2)2y4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)

8、，(3，3)共 3 个，因此满足条件的概率为336112. 11如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件 A)的概率为14，取到方片牌(事件 B)的概率是13，则取到红色牌(事件 C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( ) A.712，512 B.512，712 C.12，12 D.34，23 解析：选 A.因为 CAB，且 A，B 不会同时发生，即 A，B 是互斥事件，所以 P(C)P(A)P(B)1413712. 又 C，D 是互斥事件，且 CD 是必然事件， 所以 C，D 互为对立事件， 则 P(D)1P(C)1712512. 12从装有 3 个红球、

9、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 解析：选 D.记 3 个红球分别为 a1，a2，a3，2 个白球分别为 b1，b2.从 3 个红球、2 个白球中任取 3 个，则所包含的基本事件有a1，a2，a3，a1，a2，b1，a1，a2，b2，a1，a3，b1，a1，a3，b2，a2，a3，b1，a2，a3，b2，a1，b1，b2，a2，b1，b2，a3，b1，b2，共 10 个由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的 用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”，则其对立事

10、件A表示“所取的 3 个球中没有白球”，则事件A包含的基本事件有 1 个：a1，a2，a3 所以 P(A)110. 故 P(A)1P(A)1110910. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高分别为：(单位：cm) 162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm170.5 cm 之间的概率为_(用分数表示) 解析：样本中

11、有 8 人身高在 155.5 cm170.5 cm 之间， 所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5 cm170.5 cm 之间的概率为82025. 答案：25 14 在等腰直角三角形ABC中， 在斜边AB上任取一点M， 则AMAC的概率是_ 解析：设 CACBm(m0)，则 AB 2m，P(AMAC)ABACAB2mm2m122. 答案：122 15若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_ 解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共 6 种 甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，

12、甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共 4 种 所以甲，乙两人相邻而站的概率为4623. 答案：23 16袋中含有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是910，则从中任意摸出 2 个球，得到的都是白球的概率为_ 解析：因为袋中装有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中任意摸出 2 个球，共有 10 种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为 x，则黑球个数为 5x，那么，可知白球有 3 个， 黑球有 2 个， 因此可知从中任意摸出 2 个球， 得到的都是白球的概率为310. 答案：310 三、解答题：本大题共 6 小题

13、，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)随机地排列数字 1，5，6 得到一个三位数，计算下列事件的概率 (1)所得的三位数大于 400； (2)所得的三位数是偶数 解：1，5，6 三个数字可以排成 156，165，516，561，615，651，共 6 个不同的三位数 (1)大于 400 的三位数的个数为 4，所以 P4623. (2)三位数为偶数的有 156，516，共 2 个， 所以相应的概率为 P2613. 18(本小题满分 12 分)现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2道题解答试求： (1)所取的 2 道题

14、都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率 解：将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4；2 道乙类题依次编号为 5，6.任取 2 道题，基本事件为：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的 (1)用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共 6 个，所以 P(A)61525. (2)用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1，5，1，6，2，5，2，6，3，5，

15、3，6，4，5，4，6，共 8 个，所以 P(B)815. 19(本小题满分 12 分)某河流上的一座水力发电站，每年 6 月份的发电量 y(单位：万千瓦时)与该河上游在 6 月份的降雨量 x(单位：mm)有关据统计，当 x70 时，y460；x每增加 10，y 增加 5.已知近 20 年 x 的值为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 年 6 月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 0.0

16、5 0.2 0.1 (2)将频率视为概率，试估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率 解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 mm 的有 3 个，为 160 mm 的有 7 个，为 200 mm的有 3 个故近 20 年 6 月份降雨量频率分布表为： 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 0.05 0.15 0.2 0.35 0.15 0.1 (2)由已知可得 y0.5x425， 记“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”为事件 A， 则 P(A)P(y530) P(x210) P(x70)P(x110)

17、P(x220) 0.050.150.1 0.3. 因此估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为 0.3. 20(本小题满分 12 分)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人

18、，求 A1被选中且 B1未被选中的概率 解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人， 故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)， 所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P154513. (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共 15 个 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 事件“A1被选中且

19、B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个 因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P215. 21(本小题满分 12 分)求解下列各题： (1)在区间0，4上随机取两个整数 m，n，求关于 x 的一元二次方程 x2 nxm0 有实数根的概率 P(A)； (2)在区间0，4上随机取两个数 m，n，求关于 x 的一元二次方程 x2 nxm0 有实数根的概率 P(B) 解：方程 x2 nxm0 有实数根， 则 n4m0， (1)由于 m，n0，4，且 m，n 是整数， 因此列举可得 m，n 可能的取值共有 25 组 又满足 n4m0 的 m，n 的取值有m0n0，m0n

20、1，m0n2，m0n3，m0n4，m1n4，共 6 组 因此，原方程有实数根的概率为 P(A)625. (2)由于0m40n4对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为 16， 而 n4m0(m， n0， 4)表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为12142. 因此，原方程有实数根的概率为 P(B)S阴影S正方形18. 22(本小题满分 12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成 5 组，如下表所示(单位：min)： 组别 候车时间 人数 一 0，5) 2 二 5，10

21、) 6 三 10，15) 4 四 15，20) 2 五 20，25 1 (1)求这 15 名乘客的平均候车时间； (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数； (3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人做进一步调查，求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率 解：(1)115(2.527.5612.5417.5222.51)115157.510.5， 故这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 min. (2)由频率估计概率，可知侯车时间少于 10 min 的概率为2615815， 故这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数约为 6081532. (3)记第三组的 4 名乘客为 a1，a2，a3，a4，第四组的 2 名乘客为 b1，b2.从 6 人中选 2 人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共 15 种，其中 2人恰好来自不同组的情况为(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共 8 种， 故所求概率为815.