高中数学北师大版必修5同步精练：2.3解三角形的实际应用举例 Word版含答案

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1、2019版数学精品资料（北师大版）第一课时基础巩固1有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A5 m B10 mC10 m D10 m2在ABC中，a5，sinA，sinB，则b_.3在ABC中，a3，b4，C60°，则c_.4如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_小时到达B处5如图，A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的

2、仰角为45°，BAD120°，又在B点测得ABD45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.6如图A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC0.1 km，试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)综合过关7甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍

3、，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？8某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间能力提升9如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O，起初，甲在OE上距O点3 km的点A处；乙在OM上距O点1 km的点B处现在他们同时以4 km/h 的速度行走，甲沿EF的方向，乙沿NM的方向(1)求起初两人的距离(

4、2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离(3)什么时候他们两人的距离最短？参考答案1解析：如下图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30°，在ABB中，B30°，BAB75°30°45°，AB10 m在BAB中，由正弦定理，得BB10.坡底要延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C2答案：3答案：4解析：在OBC中，由余弦定理得CB2CO2OB22|CO|OB|cos120°100400200700，所以|CB|10，因此甲船需要的时间为小时答案：5解：在ABD中，BDA180°45°120°

5、;15°，由，得AD800(1) (m)CD平面ABD，CAD45°，CDAD800(1)(m)山高CD为800(1)(m)6分析：由题图可直观感知BDBA，且BCAD，这可以通过证明CB是CAD底边AD的中垂线来验证；通过解ABC可求得AB，从而求得B，D间的距离解：在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1.又BCD180°60°60°60°，所以CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.即图中B，D间距离与A，B间的距离相等在ABC中，由正弦定理得，所以AB.所以BD0

6、.33 km.故B，D的距离约为0.33 km.7分析：如图，甲、乙两船到达相遇点C时，所用时间相等，通过解ABC来解决解：设甲船取北偏东角去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到C点的时间相等，都设为t，则BCvt，ACvt，ABC120°.由余弦定理可知AC2AB2BC22AB·BCcos120°，即3v2t2a2v2t2vat，2v2t2vata20.t1，t2(舍去)BCa.CAB30°.甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇8分析：首先根据题意画出图形，如图，由题意可知

7、AC10，ACB为120°，再利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，若设相遇点为B，这样解ABC即可解：设所需时间为t小时，则AB21t，CB9t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22AC·BCcos120°，可得212t210281t22·10·9t·，整理得360t290t1000，36t29t100，(12t5)(3t2)0，t或t(舍去)舰艇需小时靠近渔轮此时AB14，BC6.由正弦定理：，sinCAB，CAB21.8°.舰艇航行的方位角约为66.8°.9分析：设t小时后两人距离最短，

8、在构造三角形时，要分两种情况讨论，即甲过O点前后，因为这两种情况所得的三角形不同解：(1)由题意，知OA3，OB1，AOB60°，在AOB中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OA·OBcos60°，则AB(km)起初两人的距离是 km.(2)设t小时后他们两人的距离最短，此时的位置分别是P，Q，则AP4t，BQ4t.当0t时，PQ2(34t)2(14t)22(34t)(14t)cos60°； 当t时，PQ2(4t3)2(14t)22(4t3)(14t)cos120°. 由，得PQ248t224t7，即PQ.(3)由(2)，知PQ.当t，即在第

9、15分钟时，他们两人的距离最短第二课时基础巩固1在ABC中，a4，b5，c7，则cosC等于()AB.C.D.2从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得建筑物顶部仰角为，则山顶的仰角为 ()A B C D3已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10° B北偏西10°C南偏东10° D南偏西10°4在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A. m B. m

10、C. m D. m5如下图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点已知ACD为正三角形，且DC km，当目标出现在B点时，测得CDB45°，BCD75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(精确到0.01 km)62003年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距a的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30°，BDC30°，DCA60°，ACB45°，如图所示，求伊军这两支精锐部队间的距离7某渔船在A处测得在北偏东45°的C处有一鱼群，离该渔船9 n

11、mile，并发现该鱼群正沿南偏东75°的方向以10 n mile/h的速度前进，渔船立即以14 n mile/h的速度沿直线追捕，问：渔船应以什么方向，需多长时间才能追上该鱼群？综合过关8如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(1)海里的B处有一走私船，在A处北偏西75°方向距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间9如图所示，沿一条小路前进，从A到B，方位角是50°，距离是470 m，从B到C，方位角是

12、80°，距离是860 m，从C到D，方位角是150°，距离是640 m，试计算从A到D的方位角和距离能力提升10平面内三个力F1、F2、F3作用于同一个点且处于平衡状态，已知F1、F2的大小分别为1 N、 N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及与F1的夹角参考答案1答案：A2答案：C3答案：B4解析：如图，设塔高AB为h，在RtCDB中，CD200，BCD90°60°30°，BC.在ABC中， ABCBCD30°，ACB60°30°30°，BAC120°.在ABC中，由正弦定理，

13、得.AB(m)答案：A5分析：要求AB的长，可转化为解ABD，AB边所对的角ADB是确定的，且ACADCD，在BCD中，求出BD，结合余弦定理求解解：CBD180°BCDCDB60°.在BCD中，由正弦定理，得BD()在ABD中，ADB45°60°105°，由余弦定理，得AB2AD2BD22AD·BDcos105°3()22××()×()52.AB2.91(km)炮兵阵地与目标的距离是2.91 km.6解：在ADC中，ADC30°30°60°，ACD60°

14、，故ADC为等边三角形，ACa.在BCD中，DBC180°30°60°45°45°，由正弦定理，得，BCa，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB(a)2(a)22·a·a·a2，ABa.7分析：画出图形，利用追及所用时间与鱼群前进的时间相等这一等量关系，并结合余弦定理，求解本题解：如图，ACB120°，AC9，设在B处追上鱼群，所用时间为t，则BC10t，AB14t.在ABC中，由余弦定理得(14t)292(10t)22×9×10t

15、·cos120°，即32t230t270，解得t或t(舍去)，故追上鱼群需 h，此时BC15，AB21，在ABC中，cosCAB0.785 7，CAB38.21°.渔船应按北偏东83.21°的航向追捕，并需1.5 h后才能追上鱼群8分析：设经过t小时后，缉私船能最快追上走私船，即在图中的D处恰好两船相遇，CD方向即是缉私船的追截方向，利用正、余弦定理根据条件解三角形解：设缉私船追上走私船所需的时间为t小时，则CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC45°75°120°，由余弦定理，得BC(海里)由正弦定理，

16、得sinABC.ABC45°.易知CB方向与正北方向垂直，则CBD90°30°120°.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD.BCD30°，BDC30°.BDBC(海里)10t，即t.缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，需要小时才能追上9分析：从A到D的方位角，需构造三角形，连接AC，在ABC中，用余弦定理求出AC，进而求出BAC，再在ACD中，求出AD和CAD.解：连接AC，在ABC中，ABC50°(180°80°)150°，由余弦定理得AC1 289，由正弦定理得sinBA

17、C0.333 6，BAC19.5°，ACB10.5°.在ACD中，ACD80°10.5°30°99.5°，由余弦定理得AD 1 531.cosCAD0.911 1，CAD24.3°.从A到D的方位角为50°19.5°24.3°93.8°，即A到D的方位角为93.9°，距离为1 531 m.10分析：根据物理知识并结合向量加法的三角形法则及解三角形的知识求解解：如图，设三力作用于点O，F1与F2的合力为F，由共点力平衡，得|F|F3|，令F1，F2，F，F3.AOB45°，CAO135°，在OCA中，由余弦定理得OC2OA2AC22OA·AC·cos135°42，OC1，即|F3|1.又由正弦定理，得sinAOC，AOC30°.AOD150°.F3的大小为(1) N，与F1的夹角为150°.