高考数学 一轮复习：正弦定理和余弦定理的应用教学案含解析

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1、 第八节正弦定理和余弦定理的应用知识能否忆起1实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度：定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)2解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清

2、量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求小题能否全取1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90 D180答案：B2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析：选B如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点

3、C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析：选A由正弦定理得AB50(m)4(20xx上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米解析：如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，AC.答案：5(20xx泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里解析：如图，由题意知在ABC中，ACB756015，B15，ACAB8.在RtAO

4、C中，OCACsin 304.这艘船每小时航行8海里答案：8 解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解测量距离问题典题导入例1郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD

5、.(1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)自主解答(1)在ABC中，由余弦定理得cos C，在ABD中，由余弦定理得cos D，由CD得cos Ccos D.解得AB7，所以AB的长度为7米(2)小李的设计使建造费用最低理由如下：易知SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因为ADBDACBC，且CD，所以SABDSABC.故选择ABC的形状建造环境标志费用较低若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？解：因为ADBDAB7，所以ABD是等边三角形，D60，C60.故SABCACBCsin C10，所以所求

6、的最低造价为5 0001050 000 86 600元由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB105，CBA45，且AB100 m.(1)求sin CAB的值；(2)求该河段的宽度解：(1)sin CABsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45.(2)因为CA

7、B105，CBA45，所以ACB180CABCBA30.由正弦定理，得，则BC50()(m)如图所示，过点C作CDAB，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度在RtBDC中，CDBCsin 4550()50(1)(m)所以该河段的宽度为50(1)m.测量高度问题典题导入例2(20xx九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为，山坡对于地平面的坡角为.(1)求BC的长；(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度自主解答(1)在ABC中，ACB，根据正弦定理得，所以BC.

8、(2)由(1)知BC12()米在BCD中，BDC，sin BDC，根据正弦定理得，所以CD248米由题悟法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用以题试法2(20xx西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由AC

9、B45得BCx.在RtADB中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40米测量角度问题典题导入例3(20xx太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值自主解答如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

10、则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.由题悟法1测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点以题试法3.(20xx无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的

11、大小是_解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD中，由余弦定理得cos CAD，CAD45.答案：451在同一平面内中，在A处测得的B点的仰角是50，且到A的距离为2，C点的俯角为70，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.B.C. D.解析：选DBAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABACcos BAC49223cos 12019.BC.2一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱

12、的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.3(20xx天津高考) 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b5c，C2B，则cos C()A. BC D.解析：选A由C2B得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及8b5c得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2 B1221.4(20xx厦门

13、模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析：选D由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cos A0，0A，0A.因此得角A的取值范围是.5一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：选A如图所示，由已知条件可得，CAB3

14、0，ABC105，BCA45.又AB4020(海里)，由正弦定理可得.BC10(海里)6如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)()A11.4 B6.6C6.5 D5.6解析：选BAB1 0001 000 m，BCsin 30 m.航线离山顶hsin 7511.4 km.山高为1811.46.6 km.7.(20xx南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮

15、，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要_元解析：三角形空地的面积S1225sin 120225，故共需22512027 000元答案：27 0008.(20xx潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，则v32.答案：329江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯

16、角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：1010.如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解：在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测

17、点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解：由题意，设ACx，则BCx340x40，在ABC中，由余弦定理得BC2BA2CA22BACAcos BAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.在ACH中，AC420，CAH30，ACH90，所以CHACtan CAH140.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米12.(20xx兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km的C，D两地测得ACD45，ADC75

18、，BDC15，BCD30(如图，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在ACD中，ACD45，CD6，ADC75，所以CAD60.因为，所以AD2.在BCD中，BCD30，CD6，BDC15，所以CBD135.因为，所以BD3.又因为在ABD中，BDABDCADC90，所以ABD是直角三角形所以AB.所以电线长度至少为l1.2AB(单位：km)答：施工单位至少应该准备长度为 km的电线1.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A

19、，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(CAD)为45，则这座电视发射塔的高度CD为_米解析：AB84，tanCAB.由tan(45CAB)，得CD169.答案：1692.20xx年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.解析：由题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，.x m.答案： m3.(20xx泉州模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里

20、的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的C处的乙船(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成角，求f(x)sin2sin xcos2cos x(xR)的值域解：(1)连接BC，由余弦定理得BC220210222010cos 120700.BC10，即所求距离为10海里(2)，sin .是锐角，cos .f(x)sin2sin xcos2cos xsin xcos xsin，f(x)的值域为.1.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙

21、船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A1B2由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度为6030 (海里/时)2.如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图

22、，其中圆心角AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CDAO.设AOC.(1)用表示CD的长度，并写出的取值范围；(2)当为何值时，观光道路最长？解：(1)在OCD中，由正弦定理，得，所以CDsincos sin ，ODsin ，因为ODOB，即sin 1，所以sin ，所以0，所以CDcos sin ，的取值范围为.(2)设观光道路长度为L()，则L()BDCD弧CA的长1sin cos sin cos sin 1，L()sin cos 1，由L()0，得sin，又，所以，列表：L()0L()增函数极大值减函数所以当时，L()达到最大值，即当时，观光道路最长