人教版 高中数学选修23 教学案2.2.3　独立重复试验与二项分布

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1、2019 人教版精品教学资料高中选修数学223独立重复试验与二项分布预习课本预习课本 P5657，思考并完成以下问题思考并完成以下问题1独立重复试验及二项分布的定义分别是什么？独立重复试验及二项分布的定义分别是什么？2两点分布与二项分布之间有怎样的关系？两点分布与二项分布之间有怎样的关系？新知初探新知初探1独立重复试验独立重复试验在在相同相同条件下重复做的条件下重复做的 n 次试验称为次试验称为 n 次独立重复试验次独立重复试验2二项分布二项分布在在 n 次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为发生的次数为 X，在每次试验中事件，在每次试验中事件 A 发生的概率发生的

2、概率为为 p， 那么在那么在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中， 事件事件 A 恰好发生恰好发生 k 次的概率为次的概率为 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n此时称随机变量此时称随机变量 X 服从二项分布服从二项分布，记作记作 XB(n，p)，并称并称 p 为为成功概率成功概率点睛点睛两点分布与二项分布的区别两点分布与二项分布的区别两点分布两点分布二项分布二项分布区区别别只要两个结果，这两个结果是对立的只要两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生即要么发生，要么不发生在每次试验中只有两个结果在每次试验中只有两个结果，这两个结这两个结果是对立的，即要么发生，要么不

3、发果是对立的，即要么发生，要么不发生生 但在但在 n 次独立重复试验中共有次独立重复试验中共有 n1个结果个结果小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的独立重复试验每次试验之间是相互独立的()(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果()(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的()答案：答案：(1)(2)(3)2已知已知 XB6，13 ，则，则 P(X4)_答案：答案：202433连续掷

4、一枚硬币连续掷一枚硬币 5 次，次， 恰好有恰好有 3 次出现正面向上的概率是次出现正面向上的概率是_答案：答案：5164某人射击一次击中目标的概率为某人射击一次击中目标的概率为 06, 经过经过 3 次射击，次射击， 此人至少有两次击中目标此人至少有两次击中目标的概率为的概率为_答案：答案：0648独立重复试验概率的独立重复试验概率的求法求法典例典例某人射击某人射击 5 次，每次中靶的概率均为次，每次中靶的概率均为 09，求他至少有，求他至少有 2 次中靶的概率次中靶的概率解解法一法一直接法直接法在在 5 次射击中恰好有次射击中恰好有 2 次中靶的概率为次中靶的概率为 C25092013；在

5、在 5 次射击中恰好有次射击中恰好有 3 次中靶的概率为次中靶的概率为 C35093012；在在 5 次射击中恰好有次射击中恰好有 4 次中靶的概率为次中靶的概率为 C4509401；在在 5 次射击中次射击中 5 次均中靶的概率为次均中靶的概率为 C55095所以至少有所以至少有 2 次中靶的概率为次中靶的概率为C25092013C35093012C4509401C550950008 10072 90328 050590 490999 54法二法二间接法间接法至少有至少有 2 次中靶的对立事件是至多有次中靶的对立事件是至多有 1 次中靶，它包括恰好有次中靶，它包括恰好有 1 次中靶与全没有中

6、靶次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件两种情况，显然这是两个互斥事件在在 5 次射击中恰好有次射击中恰好有 1 次中靶的概率为次中靶的概率为 C1509014；在在 5 次射击中全没有中靶的概率为次射击中全没有中靶的概率为 015，所以至少有所以至少有 2 次中靶的概率为次中靶的概率为1C150901401510000 450000 010999 54独立重复试验概率求解的关注点独立重复试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式概率公式(2)运用独

7、立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为 n 次独次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要即要么发生，要么不发生么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率概率活学活用活学活用某射手进行射击训练某射手进行射击训练， 假设每次射击击中目标的概率为假设每次射击击中目标的概率为35， 且每次射击的结果

8、互不影响且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了已知射手射击了 5 次，求：次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有其中恰有 3 次击中目标的概率；次击中目标的概率；(3)其中恰有其中恰有 3 次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率解：解：(1)该射手射击了该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标中目标 3 次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的次，也就是在第

9、二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为结果互不影响，故所求概率为P35135 35135 351083 125(2)该射手射击了该射手射击了 5 次，其中恰有次，其中恰有 3 次击中目标根据排列组合知识，次击中目标根据排列组合知识，5 次当中选次当中选 3 次次，共有共有 C35种情况种情况，因为各次射击的结果互不影响因为各次射击的结果互不影响，所以符合所以符合 n 次独立重复试验概率模型次独立重复试验概率模型故故所求概率为所求概率为PC353531352216625(3)该射手射击了该射手射击了 5 次，其中恰有次，其中恰有 3 次连续击中目标，而

10、其他两次没有击中目标，应用次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把排列组合知识，把 3 次连续击中目标看成一个整体可得共有次连续击中目标看成一个整体可得共有 C13种情况种情况故所求概率为故所求概率为 PC1335313523243 125二项分布问题二项分布问题典例典例已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试

11、验是失败的发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了第一小组做了 3 次试验，记该小组试验成功的次数为次试验，记该小组试验成功的次数为 X，求，求 X 的概率分布列的概率分布列(2)第二小组进行试验第二小组进行试验，到成功了到成功了 4 次为止次为止，求在第求在第 4 次成功之前共有次成功之前共有 3 次失败的概率次失败的概率解解(1)由题意，随机变量由题意，随机变量 X 可能取值为可能取值为 0,1,2,3，则则 XB3，13 即即 P(X0)C031301133827，P(X1)C13131113249，P(X2)C23132113129，P(X3)C33133127所以所以 X 的概率

12、分布列为的概率分布列为X0123P8274929127(2)第二小组第第二小组第 7 次试验成功次试验成功，前面前面 6 次试验中有次试验中有 3 次失败次失败，3 次成功次成功，每次试验又是相每次试验又是相互独立的，互独立的，因此所求概率为因此所求概率为 PC361331133131602 187判断一个随机变量是否服从二项分布的关键判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性，对立性， 即一次试验中，事件发生与否二者必居其一即一次试验中，事件发生与否二者必居其一(2)重复性，重复性， 即试验独立重复地进行了即试验独立重复地进行了 n 次次(3)随机变量是事件发生的次数随机变量是事件发

13、生的次数活学活用活学活用1已知已知 XB10，13 ，则，则 P(X2)_解析：解析：P(X2)C2101322381 2806 561答案：答案：1 2806 5612某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班，某班 3 名同学商定明天分别就同一名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列的分布列解：解：由题意可知：由题意可知：XB3，34 ，所以所以 P(Xk)Ck334k143k，k0,1,2,3即即 P(X0)C03340143164

14、；P(X1)C1334142964；P(X2)C23342142764；P(X3)C333432764分布列为分布列为X0123P16496427642764层级一层级一学业水平达标学业水平达标1任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为()A34B38C13D14解析：解析：选选 B每枚硬币正面朝上的概率为每枚硬币正面朝上的概率为12，正面朝上的次数，正面朝上的次数 XB3，12 ，故所求概，故所求概率为率为 C2312212382在在 4 次独立重复试验中次独立重复试验中，随机事件随机事件 A 恰好发生恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的次

15、的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是的取值范围是()A04,1B(0,04C(0,06D06,1)解析：解析：选选 A由题意，由题意，C14p(1p)3C24p2(1p)2，4(1p)6p，04p13袋中有红袋中有红、黄黄、绿色球各一个绿色球各一个，每次任取一个每次任取一个，有放回地抽取三次有放回地抽取三次，球的颜色全相球的颜色全相同的概率是同的概率是()A227B19C29D127解析：解析：选选 B每种颜色的球被抽取的概率为每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率，从而抽取三次，球

16、的颜色全相同的概率为为 C131333127194某电子管正品率为某电子管正品率为34，次品率为，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正次首次测到正品，则品，则 P(3)()AC2314234BC2334214C14234D34214解析：解析：选选 C3 表示第表示第 3 次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是是14234，故选，故选 C5在在 4 次独立重复试验中次独立重复试验中，事件事件 A 发生的概率相同发生的概率相同，若事件若事件 A 至少发生至少发生 1 次的概率为次的概率为6

17、581，则事件，则事件 A 在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为()A13B25C56D34解析：解析：选选 A设事件设事件 A 在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为 p，由题意得，由题意得 1C04p0(1p)46581，所以所以 1p23，故，故 p136下列事件中随机变量下列事件中随机变量服从二项分布的有服从二项分布的有_(填序号填序号)随机变量随机变量表示重复抛掷一枚骰子表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是次中出现点数是 3 的倍数的次数；的倍数的次数；某射手击中目标的概率为某射手击中目标的概率为 09，从开始射击到击中目标所需的射击次数，从开始射击到击中目

18、标所需的射击次数；有一批产品共有有一批产品共有 N 件，其中件，其中 M 件为次品，采用有放回抽取方法，件为次品，采用有放回抽取方法，表示表示 n 次抽取中次抽取中出现次品的件数出现次品的件数(MN)；有一批产品共有有一批产品共有 N 件，其中件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法，件为次品，采用不放回抽取方法，表示表示 n 次抽取中次抽取中出现次品的件数出现次品的件数(MN)解析解析：对于对于，设事件设事件 A 为为“抛掷一枚骰子出现的点数是抛掷一枚骰子出现的点数是 3 的倍数的倍数”，P(A)13而而在在n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 恰好发生了恰好发生了 k 次次(

19、k0,1,2，n)的概率的概率 P(k)Ckn13k23nk，符合二项分布的定义，即有，符合二项分布的定义，即有Bn，13 对于对于，的取值是的取值是 1,2,3，P(k)0901k1(k1,2,3，n)，显然不符显然不符合二项分布的定义，因此合二项分布的定义，因此不服从二项分布不服从二项分布和和的区别是：的区别是：是是“有放回有放回”抽取，而抽取，而是是“无放回无放回”抽取，显然抽取，显然中中 n 次试验次试验是不独立的，因此是不独立的，因此不服从二项分布，对于不服从二项分布，对于有有Bn，MN 故应填故应填答案：答案：7一个病人服用某种新药后被治愈的概率为一个病人服用某种新药后被治愈的概率

20、为 09，则服用这种新药的则服用这种新药的 4 个病人中至个病人中至少少3 人被治愈的概率为人被治愈的概率为_(用数字作答用数字作答)解析：解析：至少至少 3 人被治愈的概率为人被治愈的概率为 C34(09)301(09)40947 7答案：答案：0947 78设设 XB(4，p)，且，且 P(X2)827，那么一次试验成功的概率，那么一次试验成功的概率 p 等于等于_解析：解析：P(X2)C24p2(1p)2827，即，即 p2(1p)2132232，解得解得 p13或或 p23答案：答案：13或或239某单位某单位 6 个员工借助互联网开展工作个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概

21、率是每天每个员工上网的概率是 05(相互独立相互独立)，求一天内至少求一天内至少 3 人同时上网的概率人同时上网的概率解解： 记记 Ar(r0,1,2， ， 6)为为“r 个人同时上网个人同时上网”这个事件这个事件， 则其概率为则其概率为 P(Ar)Cr60 5r(105)6rCr6056164Cr6，“一天内至少有一天内至少有 3 人同时上网人同时上网”即为事件即为事件 A3A4A5A6，因为因为 A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有一天内至少有 3 人人同时上网同时上网”的概率为的概率为 PP(A3A4A5

22、A6)P(A3)P(A4)P(A5)P(A6)164(C36C46C56C66)164(201561)213210某学生在上学路上要经过某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是，遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟分钟(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列的分布列解：解：(1)设这

23、名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件，因为事件 A 等等于事件于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事，所以事件件 A 的概率为的概率为P(A)113 113 13427(2)由题意，可得由题意，可得可以取的值为可以取的值为 0,2,4,6,8(单位：分钟单位：分钟)，事件事件“2k”等价于事件等价于事件“该学生在路上遇到该学生在路上遇到 k 次红灯次红灯”(k0,1,2,3,4)，P(2k)Ck413k234k(k0,

24、1,2,3,4)，即即 P(0)C041302341681；P(2)C14132333281；P(4)C24132232827；P(6)C3413323881；P(8)C44134230181的分布列是的分布列是02468P16813281827881181层级二层级二应试能力达标应试能力达标1在某次试验中，事件在某次试验中，事件 A 出现的概率为出现的概率为 p，则在，则在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中A出现出现 k 次的次的概率为概率为()A1pkB(1p)kpnkC1(1p)kDCkn(1p)kpnk解析：解析：选选 DA出现出现 1 次的概率为次的概率为 1p，由二项分布概率公

25、式可得，由二项分布概率公式可得A出现出现 k 次的概次的概率为率为 Ckn(1p)kpnk2将一枚硬币连掷将一枚硬币连掷 5 次，如果出现次，如果出现 k 次正面的概率等于出现次正面的概率等于出现 k1 次正面的概率，那次正面的概率，那么么 k 的值等于的值等于()A0B1C2D3解析解析： 选选 C事件事件 A“正面向上正面向上”发生的次数发生的次数B5，12 ， 由题设由题设 Ck5125Ck15125，kk15，k23若随机变量若随机变量B5，13 ，则，则 P(k)最大时，最大时，k 的值为的值为()A1 或或 2B2 或或 3C3 或或 4D5解析：解析：选选 A依题意依题意 P(k

26、)Ck513k235k，k0,1,2,3,4,5可以求得可以求得 P(0)32243，P(1)80243，P(2)80243，P(3)40243，P(4)10243，P(5)1243故当故当 k2 或或 1 时时 P(k)最大最大4位于坐标原点的一个质点位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动按下述规则移动：质点每次移动一个单位质点每次移动一个单位，移动的方向移动的方向为向上或向右为向上或向右，并且向上并且向上、向右移动的概率都是向右移动的概率都是12则质点则质点 P 移动移动 5 次后位于点次后位于点(2,3)的概率的概率为为()A125BC25125CC35123DC25C35125解析

27、：解析：选选 B质点每次只能向上或向右移动，且概率均为质点每次只能向上或向右移动，且概率均为12，所以移动，所以移动 5 次可看成做次可看成做了了5 次独立重复试验质点次独立重复试验质点 P 移动移动 5 次后位于点次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动即质点在移动过程中向右移动 2 次，向次，向上移动上移动 3 次次)的概率为的概率为 C25122123C251255设随机变量设随机变量 XB(2，p)，YB(4，p)，若若 P(X1)59，则则 P(Y2)的值为的值为_解析解析：由条件知由条件知，P(X0)1P(X1)49C02p0(1p)2，p13，P(Y2)1P(Y0)P(Y

28、1)1C04p0(1p)4C14p(1p)31168132811127答案：答案：11276口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球有放回地每次摸取一个球，定义数列定义数列an：an1，第，第 n 次摸取红球，次摸取红球，1，第，第 n 次摸取白球，次摸取白球，如果如果 Sn为数列为数列an的前的前 n 项和项和，那么那么 S53 的概率为的概率为_解析解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为且试验次数为 5，这这 5 次中有次中有 1 次摸得次摸得红球每次摸取红球的概率为红球每次摸取红

29、球的概率为23，所以，所以 S53 时，概率为时，概率为 C1523113410243答案：答案：102437甲甲、乙乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲已知甲、乙乙、丙三台机床加工的丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为零件是一等品的概率分别为 07,06,08，乙乙、丙两台机床加工的零件数相等丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍倍(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一

30、等品的概率；(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；一等品的概率；(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取 4 件检验，其中一件检验，其中一等品的个数记为等品的个数记为 X，求，求 X 的分布列的分布列解解：(1)设从甲设从甲、乙乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件 A，B，C，则则 P(A)07，P(B)06，P(C)08所以从甲

31、、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为P1P(A)P(B)P(C)10304020976(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为等品的概率为P20.70.60.8407(3)依题意抽取的依题意抽取的 4 件样品中一等品的个数件样品中一等品的个数 X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3,4，则，则P(X0)C040340008 1P(X1)C14070330075 6，

32、P(X2)C240720320264 6，P(X3)C34073030411 6，P(X4)C440740240 1，X 的分布列为的分布列为X01234P0008 10075 60264 60411 60240 18某市为某市为“市中学生知识竞赛市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的分的有参赛资格，有参赛资格，90 分以下分以下(不包括不包括 90 分分)的被淘汰，若有的被淘汰，若有 500 人参加测试，学生成绩的频率分人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图布直方图如图(1)求获得参赛资格的人数；求获得参赛资格的人数；(2

33、)根据频率直方图，估算这根据频率直方图，估算这 500 名学生测试的平均成绩；名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累计答对次选题答题的机会，累计答对 3题或答错题或答错 3 题即终止，答对题即终止，答对 3 题者方可参加复赛已知参赛者甲答对每一个问题的概率都题者方可参加复赛已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同相同，并且相互之间没有影响并且相互之间没有影响已知他前两次连续答错的概率为已知他前两次连续答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数求甲在初赛中答题个数的分布列的分布列解：解：(1)由频率分布

34、直方图得，获得参赛资格的人数为由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500(0005 00004 30003 2)20125 人人(2)设设 500 名学生的平均成绩为名学生的平均成绩为x，则则x(400006 5600014 080001701000005 01200004 31400003 2)207848(分分)(3)设学生甲答对每道题的概率为设学生甲答对每道题的概率为 P(A)，则则(1P(A)219，P(A)23学生甲答题个数学生甲答题个数的可能值为的可能值为 3,4,5，则则 P(3)23313313，P(4)C1313233C13231331027，P(5)C24132232827所以所以的分布列为的分布列为345P131027827