湖南省师大附中高三月考试卷六数学理试卷含答案

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1、湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)数学(理科) 命题人：吴锦坤张汝波审题人：黄祖军本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页时量120分钟满分150分第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知集合Ax|x2x20，xZ，Ba，1，ABB，则实数a等于(D)(A)2 (B)1 (C)1或0 (D)2或1或0(2)设p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是(A)(A) (B)(C)(，0 (D)(，0)【解析】由p得： <x1 ，由q得：axa1，又q是

2、p的必要而不充分条件，所以a且a11，0a.(3)某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩(N)服从正态分布N(100，102)，已知P(90100)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为(A)(A)20 (B)10 (C)14 (D)21【解析】由题意知，P(110)0.2，该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×10020.(4)某几何体的三视图如图所示，则其体积为(C)(A)(B)2 (C)(D)【解析】该几何体是：在棱长为2的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的一个正八面体可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为，高为正方体边长的

3、一半，V2×()2×1.(5)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S2.5 (单位：升)，则输入k的值为(D)(A)4.5 (B)6(C)7.5 (D)10【解析】模拟程序的运行，可得n1，Sk，满足条件n<4，执行循环体，n2，Sk， 满足条件n<4，执行循环体， n3，S， 满足条件n<4，执行循环体， n4，S， 此时，不满足条件n<4，退出循环，输出S的值为， 根据题意可得：2.5，计算得出：k10.所以

4、D选项是正确的(6)将函数fcos，的图像向左平移个单位，得到函数yg的图像，若yg在上为增函数，则的最大值为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】由题意，f2sin，先利用图像变换求出g的解析式：gf2sin，即g2sin x，其图像可视为ysin x仅仅通过放缩而得到的图像若最大，则要求周期T取最小，由为增函数可得：x应恰好为g的第一个正的最大值点，2.(7)已知x，y满足约束条件若axy取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为(C)(A)或1 (B)2或 (C)2或1 (D)2或1【解析】由题中约束条件作可行域如右图所示：令zaxy，化为yaxz，即直线yaxz的纵截距取

5、得最大值时的最优解不唯一当a>2时，直线yaxz经过点A(2，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当a2时，直线yaxz与y2x2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当1<a<2时，直线yaxz经过点B(0，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当a1时，直线yaxz与yx2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当a<1时，直线yaxz经过点C(2，0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意综上，当a2或a1时最优解不唯一，符合题意故本题正确答案为C.(8)若直线axby20(a>0，b>0)始终平

6、分圆x2y22x2y2的周长，则的最小值为(D)(A) (B)(C) (D)【解析】直线平分圆周，则直线过圆心f(1，1)，所以有ab2，(ab)(当且仅当ba时取“”)，故选D.(9)把7个字符a，a，a，b，b，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有(B)(A)144种 (B)96种 (C)30种 (D)12种【解析】先排列b，b，若，不相邻，有AC种，若，相邻，有A种，共有6612种，从所形成的5个空中选3个插入a，a，a，共有12C120种，若b，b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a，a，a，共有6C24，故三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不

7、相邻，这样的排法共有1202496种(10)设椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足·0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是(A)(A) (B) (C) (D)1，1)【解析】作出椭圆左焦点F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又·0，即FAFB，故平行四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c.设AFn，AFm，则在直角三角形ABF中mn2a，m2n24c2，得mn2b2，÷得，令t，得t.又由|FB|FA|2|FB|得t1，2，t，故离心率的取值范围是.(11)在ABC中，

8、AB2，AC2，BC2，ABAC8，E，F，G分别为AB，BC，AC三边中点，将BEF，AEG，GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥SEFG的外接球面积最小为(D)(A) (B)2 (C)14 (D)9【解析】根据题意，三棱锥SEFG的对棱分别相等，将三棱锥SEFG补充成长方体， 则对角线长分别为， 设长方体的长宽高分别为x，y，z, 则x2y2m，y2z210，x2z2n，x2y2z25， 三棱锥SEFG的外接球直径的平方为5， 而4，4，59，三棱锥SEFG的外接球面积最小为4·9，所以D选项是正确的(12)已知函数f(x)若x1<x2且

9、f(x1)f(x2)，则x2x1的取值范围是(B)(A) (B)(C) (D)【解答】作出函数f(x)的图像如右，由x1<x2，且f(x1)f(x2)，可得0x2<，x21ex11，即为x1ln，可得x2x1x2ln，令g(x2)x2ln，0x2<，g(x2)1.当0x2<时，g(x2)>0，g(x2)递增；当<x2<时，g(x2)<0，g(x2)递减则g(x2)在x2处取得极大值，也为最大值ln，g(0)ln 2，g，由ln 2，可得x2x1的范围是.故选B.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第

10、(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分(13)将八进制数705(8)化为三进制的数是_121210(3)_【解析】705(8)7×820×85×80453, 根据除k取余法可得453121210(3)(14)计算：_2_(15)已知P是双曲线1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，·0.若|3，则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为_49_【解析】由知PN是MPF2的角平分线，又·0，故延长F2N交PM于K，则PN是PF2K的角平分线又是高线，故PF2K是

11、等腰三角形，|PK|PF2|3，因为|3，故|11，故|14，注意到N还是F2K的中点，所以ON是F1F2K的中位线，|7，所以以O为圆心，ON为半径的圆的面积为49.(16)如图，在ABC 中，BE平分ABC，sinABE，AB2，点D在线段AC上，且2，BD，则BE_【解析】由条件得cosABC，sinABC.在ABC中，设BCa，AC3b，则9b2a24a.因为ADB与CDB互补，所以cosADBcosCDB，所以3b2a26，联立解得a3，b1，所以AC3，BC3.SABC·AC·ABsin A×3×2×2，SABE·BE&#

12、183;BAsinEBA×2×BE×BE. SBCE·BE·BCsinEBC×3×BE×BE.由SABCSABESBCE，得2BEBE，BE. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)设数列an满足aan1an1(a2a1)2，其中n2，且nN，为常数()若an是等差数列，且公差d0，求的值；()若a11，a22，a34，且数列bn满足an·bnn7对任意的nN*都成立求数列的前n项之和Sn；若m·ann7对任意的nN*都成立，求m的最小值【解析】

13、()由题意，可得a(and)(and)d2，(2分)化简得(1)d20，又d0，所以1.(3分)()将a11，a22，a34代入条件，可得41×4，解得0，(4分)所以aan1an1，则数列是首项为1，公比q2的等比数列，所以an2n1，从而bn，(6分)所以Sn，Sn，两式相减得：Sn5；所以Sn10.(8分)m·2n1n7，所以m对任意nN*都成立由bn，则bn1bn，所以当n>8时，bn1<bn；当n8时，b9b8；当n<8时，bn1>bn.所以bn的最大值为b9b8，所以m的最小值为.(12分)(18)(本小题满分12分)阿尔法狗(Alpha

14、Go)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序，由谷歌(Google)公司的团队开发其主要工作原理是“深度学习”.2017年5月，在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以3比0的总比分获胜围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩(分)54321人数(名)461073()根据上面的统计数据，试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取

15、一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；()根据()的结论，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；()从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率【解析】()根据统计数据可知，从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A或B”的概率为：，(2分)即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为.(3分)()由题意知随机变量X可取0，1，2，3，则XB.P(xk)C(k0，1，2，3)，(5分)所以X的分布列为：X0123P(6分)则E(x)3

16、×1，所求期望值为1.(7分)()设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于1分设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n，则基本事件的总数为C，不妨设m>n，当m5时，n3，2，1，基本事件的个数为C(CCC)；当m4时，n2，1，基本事件的个数为C(CC)；当m3时，m1，基本事件的个数为CC；P(M).(12分)(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60°，O为EF的中点()求二面角FAEB的余弦值；()若点M为线段AC上

17、异于点A的一点，BEOM，求a的值【解析】()因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF，又因为平面AEF平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO平面AEF，所以AO平面EFCB，取BC的中点G，连结OG，由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OGEF，由AO平面EFCB，又GO平面EFCB，所以AOGO，建立如图所示空间直角坐标系，则E，A，B，设平面AEB的法向量为n，则即令z1，则x，y1，于是n，又平面AEF的一个法向量为p，设二面角FAEB为，所以cos cosn，p.(6分)()由()知AO平面EFCB，又BE平面EFCB，所以AOBE，又OMBE，AOOMO，所以

18、BE平面AOC，所以BEOC，即·0，因为，所以·23，由·0及0<a<2，解得a.(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C：1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线yx相交于P，Q两点，且·0，3.()求椭圆C的标准方程和圆A的方程；()不过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列求k的值；是否存在直线l使得满足(221，·0)的点D在椭圆C上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【解

19、析】()如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则ATPQ，·0，即APAQ，则|AT|PQ|，又3，则|OT|PQ|，即，由已知c，则a24，b21，故椭圆C的方程为y21；(2分)又|AT|2|OT|24，则|AT|24|AT|24|AT|，r|AP|，故圆A的方程为(x2)2y2.(4分)()设直线l的方程为ykxm(m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由(14k2)x28kmx4(m21)0，(5分)则x1x2，x1x2，(6分)由已知k2k1k2k2，(7分)则km(x1x2)m20，即m20k2k±.(8分)假设存在直线l满足题设条件，且设D(x0，y0)

20、，由，得x0x1x2，y0y1y2，代入椭圆方程得：(y1y2)21，即：222y1y21，则x1x24y1y20，即x1x24(kx1m)(kx2m)0，则(14k2)x1x24km(x1x2)4m20，所以(14k2)·4m20，化简得：2m214k2，而k2，则m±1，(11分)此时，点M，N中有一点在椭圆的上顶点(或下顶点)，与k1，k，k2成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在(12分)(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)axx2xln a(a>0，a1)()讨论函数f(x)的单调性；()若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e为自

21、然对数的底数)，求a的取值范围【解析】()f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a，(1分)当a>1时，ln a>0，x(0，)，f(x)>0，f(x)单调递增，x(，0)，f(x)<0，f(x)单调递减；(2分)当0<a<1时，ln a<0，x(0，)，f(x)>0，f(x)单调递增，x(，0)，f(x)<0，f(x)单调递减(3分)综上：x(0，)时，f(x)单调递增，x(，0)时，f(x)单调递减(4分)()不等式等价于：|f(x1)f(x2)|maxe1，即f(x)maxf(x)mine1，(5分)由()知，函数的最小

22、值为f(0)1，f(x)maxmax，而f(1)f(1)(a1ln a)a2ln a，设g(a)a2ln a，则g(a)1>0，所以g(a)a2ln a在(0，)单调递增，而g(1)0，故a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(1)；(7分)0<a<1时，g(a)<0，即f(1)<f(1)(8分)所以当a>1时，原不等式即为：f(1)f(0)e1aln ae1，设h(a)aln a(a>1)，h(a)1>0，故函数h(a)单调递增，又h(e)e1，则ae；(10分)当0<a<1时，原不等式即为：f(1)f(0)e1l

23、n ae1，设m(a)ln a(0<a<1)，m(a)<0，故函数m(a)单调递减，又me1，则0<a.(11分)综上，所求a的取值范围是e，)(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分(22)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4cos.()求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；()设曲线C与直线l的交点为A，B, Q是曲线上的动点，求ABQ面积的最大值【解析】()由消去t得xy50，所以直线l的普通方程为xy50.由4co

24、s4cos 4sin ，得24cos 4sin .将2x2y2，cos x，sin y代入上式，得x2y24x4y，即(x2)2(y2)28.所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(5分)()由()知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过定点P(3，2)，P在圆内，将直线的参数方程代入圆的普通方程，得2t22t70，t1t21，t1·t2.所以|AB|t1t2|，又因为圆心到直线的距离d，故ABQ面积的最大值为SABQ××.(10分)(23)(本小题满分10分)已知函数f(x)|2x1|2x1|.()求f(x)的值域；()若对任意实数a和

25、b，|2ab|a|ab|·f(x)0，求实数x的取值范围【解析】()f(x)f(x)2.f(x)的值域为2，)(5分)()当ab0，即ab时，|2ab|a|ab|f(x)0可化为2|b|0·f(x)0，即2|b|0恒成立，xR.当ab0时，|2ab|a|2ab|a|(2ab)a|ab|，当且仅当(2ab)(a)0，即(2ab)a0时，等号成立，即当(2ab)a0时，1.的最小值等于1.|2ab|a|ab|·f(x)0f(x)，f(x)1，即f(x)2.由()知f(x)2，f(x)2.当且仅当x时，f(x)2.综上所述，实数x的取值范围是.(10分)欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org