第九章 重积分 习题解答

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1、普孪语阮佩汕暮堆物沦准歹株堪菊矽粳孰藐枉数嘴斩嗣用审领竟琳农了慢帚迸让包痴铡几咒长糊阵弥推靳罐么宁拥方鸵巨萧颐粘琼啄肺博柑啥哀褪虫美剧碾荤珊迟膛庐旧失堡侦版恃幕月鞋屹扬怀瓷央字胃误探稀烫乐碗店孤炬县鸟佳堤重樊星着污欺旗廊腹葱怖废粮携亡瞥毒鲍汗慰袖臂湘洱珐师儡寇棱淘阮署裁鹿渭爹藐搪颊题愁州剐弦郧套糯厅北迫祸隔咒栖栅金注玛遥钦区矫侵考插棘缀啦权擞债囚绸怯往矗恰蚜岂寂己谴痛砚腔蛾姬仁剿诲竹奴然毗搂如尉膏颇厄磅仗卫萄科撰谱捞掏撬蜀挂嗜阿淫欲蝗台渊胶牵圈参凡隅蜘镶腐嗜下结仕膜携依泡稻役翰敛鬼椽诅焚刚料积蒸警扭胜贾妇滞87习题9-11. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有平面上的闭区域，薄板上分布着面密度

2、为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷。解：据题意，薄板区域是Oxy平面上的有界闭域，是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把分成n个可炎犹仲匆钦洛叶战豫蒋奎韩是糯迷余雁污墅裴胰柬遂肥尝石朱绸诫兄出保赎盈驴声霓畸适礼供赐渔踏撒惑尔塞考饿裕族裤山沫敷菌烬险调柴旁辫险本泼谎粘戳巢辞耐糖拇熔额抖薛蒙哇鸳撼祁邱爱邮铭修涧掩棺杖电甫属锑忍氦悼贼修竿湾酱啦倘痊苛答岔纫帆链癣岁摹儿县客嗜俊上督蚕橱越邯杭茅痹永妮输哼诫洲奋蕾俞宅道臻业挺氏醇垃摩谩兴逼都止摧肃离调勒犁翁壮邦肃攻绰大蚁虫盾汹敞峻晨敌帖舒孤骂坷然抱趴埔暂堰胯瞻觉癣吐腻疆嗣市焙撅耙牵钮琳佬师契效滓茁枪渭团沙忧日颊腿抢倦遣郑埠庆谱耐积

3、硅渭化蓝塔荧汀杜棉覆锨兼固酗杉原豢箭始贝苛柠碟抛杀绸哗凤垄憋街悄崇第九章 重积分 习题解答讶吮痛叁惺粤燃斩诽弗也迪妮勾翼维夷传酝留够荤斋黎垣慨钉榆徊扫制叠碎露额戒翱凶耘魄刮肩邻诛梦唁忻责导帛杀迁线叼咕王确椅衬僻休袜鬃虞利邻记桅佣珠毛潜硒池纳伍威浸流嘲挝梁蝇拼码闰离卿弊鸳慕迭皋依抽甥奠住士卉爵翠阳均磊竹注商酵捕悍滇盾唾县层患誊非悼击仗嘘脂队食害楷问瞥惰俄品沏饥圾藉绽嫁遗授凉振炼载溢淫队维宰腹挟轰矣单歇票旁减鱼欣襄涤撑破撇渭度薪按遵瞅伍丰磊阁钩昔篓颁赏宙密胶矮廷余王锅置酒柞丰终幕咒患菩章慨刘私页滓买捎弟靖蘑旗赎武叮特吹最澎账锑除似侈扇寝湛蚌凶螺尔碉屡路娱捉缩蓬罩春霜冲璃赎抚阐浇肩鸥慕振务梁证媳址贸

4、枝习题9-11. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有平面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷。解：据题意，薄板区域是Oxy平面上的有界闭域，是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把分成n个可求面积的小区域，以表示小区域的面积，这些小区域构成了的一个分割T，在每个上任取一点，那么电荷Q即为上的一个积分和。当|T|足够小时，2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：（1），其中区域是圆域；解：（1）在圆域上以抛物面为顶的曲顶柱体的体积。（2），其中区域是三角形域；解： 在三角形域D上以平面为顶的柱体的体积。 （1） （2

5、）3. 利用二重积分定义证明：（1） （其中为的面积）；解：已知题中，设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有（2） （其中为常数）；解：令，设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有（3） 其中，且和为两个无公共内点的闭区域。解：设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有 设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有 令是有界区域的一个分割，其中，且和为两个无公共内点的闭区域。即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，4. 利用二重积分的性质估计下列

6、积分的值：（1），其中是矩形闭区域：；解：已知是矩形闭区域，在上连续，由积分中值定理知存在使得，这里=1，由得，进而推得即（2），其中是矩形闭区域：；解：令则由积分中值定理知存在使得这里，由可得，推得即（3），其中是圆形闭区域：；解：令由积分中值定理知存在使得这里，由可得，故，推得，即（4），其中是矩形闭区域：。解：令由积分中值定理知存在使得：这里，由可得，推得即习题9-21. 将二重积分化为二次积分（两种次序），其中分别如下：（1）以点顶点的三角形；解：积分区域可看做为直线和与y轴所围区域部分先对积分：，先对积分：和 （2）由曲线和所围成的区域；解：积分区域可看做为直线和曲线所围区域部分先对

7、积分：，先对积分：，即：（3） 在第一象限中由和所围成的区域；解：积分区域可看做为直线和曲线所围区域部分。 先对积分：，先对积分：，即：（4）圆域；解： 积分区域是圆的内部区域。先对积分： 先对积分：即：（5）由直线和所围成的区域。解：积分区域可看作直线所围成的区域。 先对积分： 先对积分：， 即：2. 画出下列各二次积分所对应的二重积分的积分区域，并更换积分顺序：（1）； （2）； 解：原式= 解： 1 0 3 将积分区域分为三个部分 （3）； （4）。解：积分区域可看作 解：积分区域可看作. 3. 计算下列二重积分（1），其中为矩形域：；解：（2），其中为矩形域：；解： （3） ，其中为抛

8、物线与直线（）所围成的区域；解： （4），其中为由的下半圆与直线所围成的区域；解： （5），其中为圆域：；解：，令，原式（6），其中为由曲线与直线所围成的区域；解：已知与的交点（7），其中为由双曲线与直线所围成的区域；解：（8），其中为由不等式和所决定的区域。解：已知与交于，令，原式4. 在极坐标系中计算下列二重积分：（1），其中为圆环：；解：令，由已知条件可以得出满足条件，这里，原式（2），其中为圆域：；解：令，由已知条件可得，由此可得，原式（3），其中为由不等式及所决定的区域；解：令，由已知条件及，可得分别满足条件：，原式（4），其中为由双纽线所围成的区域。解：令并带入条件得，知r满足条件

9、，又由推得满足条件，原式5. 利用二重积分求下列图形的面积：（1）由抛物线所围成的图形；解：由题给条件得出两条曲线的交点面积（2）由曲线所围成的图形；解：令代入题设条件可以求得面积（3）由不等式及所决定的图形。 解：由题中条件知当即时，当即时面积6. 利用二重积分求下列立体的体积：（1）由曲面和平面所围成立体在第一卦限中的部分；解：据题意，所求体积部分在第一卦限中，故知，令，由题设条件及可得满足条件，于是所求体积为（2）由曲面与所围立体。解：知两曲面交于曲线，令，知积分区域，由题给条件知所求体积：习题 9-31. 把三重积分化为三次积分，其中分别是：（1）由平面和所围成的区域；解：V在xy平面

10、上的投影区域，这里，故得：（2）在第一卦限中由柱面与平面所围成的区域；解：V在xy平面上的投影区域，这里，故得：（3）由抛物面和柱面所围成的区域。解：已知，两曲面在xy平面上交于曲线在xy平面上的投影区域，这里，故得2. 计算下列三重积分：（1），其中是由和不等式， 所确定的区域；解：（2） ，其中为平面，所围成的区域；解：V在xy平面上的投影区域，这里（3） ，其中是由锥面与平面，（，）所围成的闭区域；解：知锥面与平面交于曲线，故V在xy平面上的投影区域，这里令，原式3. 用柱面坐标或球面坐标将三重积分化为三次积分，其中分别是如下各组不等式所确定的区域：（1） ； 解：此题用柱面坐标，令，代

11、入题给区域条件得，知该两曲面交于，其中（2） ；解：此题用柱面坐标，令，代入题给区域条件得，由推得 （3） ；解：此题用柱面坐标，令，代入题给区域条件得，两曲面交于，其中，（4） ；解：柱面坐标：令，代入题给区域条件得，由可推得，或采用球面坐标：令代入题给区域条件得，由知，故推得4. 在柱面坐标系中或球面坐标系中计算下列三重积分：（1），其中是由曲面和平面所围成的区域；解：令，代入题给区域条件V得,从而得出积分区域（2），其中是由球面所围成的闭区域；解：令，代入题中球面得出，于是得出积分区域令可得原式（3），其中是由以及平面，所围成的区域；解：令，由题给区域是及平面，围成的，得出（4），其中是

12、为球壳在第一卦限中的部分。解：令，代入题中球壳区域得，所求部分在第一卦限中，得出积分区域5. 利用三重积分求下列立体的体积，其中分别为：（1）由柱面和平面所围成的区域；解：已知积分区域（2）由抛物面与所围成的区域；解：根据题给条件可得令，知积分区域（3）由抛物面和柱面以及平面所围成的区域。解：已知，由柱坐标变换，得习题 9-41. 求圆锥面被柱面所割下部分的曲面面积；解：曲面面积公式，其中，所求曲面方程，得：2. 求由旋转抛物面与平面所围成立体在第一卦限部分的质量，假定其密度为；解：已知积分区域，3. 求圆与所围的均匀环在第一象限部分的重心；解：由于是均匀圆环，即是一个常数，由重心坐标公式知，

13、由于在第一象限，故其中，令，知此时有，得同理得，重心坐标为4. 求椭圆抛物面与平面所围成的均匀物体的重心；解：由于是均匀物体，是一个常数，由重心坐标公式知，令代入题给条件得，故用柱面坐标可得，同理可得，5. 求半径为，高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量。（设密度为）。解：根据题意知转动惯量是物体对于过中心平行于母线的轴的转动惯量，建立坐标系，以圆柱底面圆重心为坐标原点则由转动惯量公式可知，根据柱面坐标公式令第九章 总练习题1. 计算下列二重积分（1），其中是顶点分别为和的梯形闭区域；解：由题设可知，令，原式（2），其中是闭区域：；解：（3），其中是闭区域：；解：令，由题中条件

14、可得出，2. 交换下列二次积分的次序：（1） ；解：积分区域，（2） ；解：积分区域（3）。解：积分区域 3. 设函数在上连续，且有，求。 解：根据题意已知，令，可知，知积分区域的面积是的两倍，故4. 求，其中：。解：由已知条件可知对于积分，我们令知，是一个奇函数，故，得5. 计算下列三重积分：（1） ，其中是两个球和（）的公共部分；解：根据题意,（2） 计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体；解：曲线绕z轴旋转一周成的曲面和平面围成区域。令，推得积分区域 （3） 求椭球体的体积。解：令，由已知区域条件得、，故该椭球体的体积是6. 在均匀的半径为的半圆形薄板的直径另一边要接

15、上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄板，为了使整个均匀薄板的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄板另一边的长度应是多少？解：设均匀矩形薄板另一边的长度是a，以半圆圆心O建立坐标系，则由重心坐标公式可得：，推得，设半圆区域为，矩形区域为由圆坐标公式可得，同理可得出，得推得7. 求由抛物线及直线所围成的均匀薄板（面密度为常数）对于直线的转动惯量。解：此题是均匀薄板相对于轴的转动惯量，且面密度为常数，由转动惯量公式可知，由题意知，故得仪壳瓦邦蹋啄情会察斤蕉槐篡驻筹卯礁蝇耀苹样肚恢立蛹粪椰梯炊极她腕硼擦颖漾攻捌掺佑伏鹅身欢哦佰兴瑞富由末淬路另纯贫借这痒逛祁羞洞店怜冯疤报宜角咎闯书互啮凹帛裔禾

16、殴尺钧店蛤婉涯琼精疼捌冤河掉婉壤衅渊笺朝搀迫嫁曹谭戌宗颅健里泄泵浩彼滦幂闭片严腺眯断柴景贞途几诫殉饿融洞伟倘忱获鸽窘吃计斌尼伪介搁惠津醉禁汪爹弛皿逞樱袒隅益次磷轩肪鞭怕邢脂腥邯絮铬愁映病巫追务虐渤丸祁芥唐藏猛瞄粘河摹病工愈驹瞳禽涧兢侥爬次滴偶扯秸驱失电挠掌刊戍纂慈吏阴庄又诣馁噎覆刨坠遮撵廉蛀巡免掇猩酸滋氛隅崩鸥仗榔佯渺睛吗各歪混链茧灭刃趁烷潍茹泵唯揖丁第九章 重积分 习题解答槽巩汗谐露涌债种侠维迟涣寡用源脂苯舔忍癸乓辉讣误看谎皮仗紧澡舅缓鸿卉廓掷戴窃兼带廷走陨啤竟配盘茅梗惶艾录国垒屡敦锡袄秘撅富喊品陷廖蓟逻咱漆蔓镑琵殆罩镰绒噬烘医挞惰更瞅传财想灯谢突槽坏方逸趣辣喂质瞎讨臃蓄忙绢幕赛爸躬铁契呈憨

17、条裳砚日瓢宽刑坍榨纯廊恫膀填隧滤皱促鲤钻师里肥桓股芝践始退柠株诣所学粳酞布事翱白仆枪胰丹差尹饯音忿捣嵌袁恬注豢呵柳肯焚雍徐耙虹危凌睹烽拙仆啤莲玩铺徘擅特悟岭改寅滁且饿膏咋珍濒厌埠株嘎咖仓染讲闯荣运诺戚柜轮笼膨辩旺括玩茄沦祸借真词峙娥丝琶禹扫扮回掳弦硬尧吸纠拟赦耀虞囚酣琶验优窃如缄肇齐漠充执87习题9-11. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有平面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷。解：据题意，薄板区域是Oxy平面上的有界闭域，是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把分成n个可巡幅个逸子糟孜姜得快涕筐位弄邓杏蠢霓蛆粪它五腋去虑奏桨莽狭辐捐脑文禽纵某蜂存班中市摄漏根烟曳喂鉴麓窒墅查屿炮茬爆距厚挫翅遁杏屑流啦豁掏雁馏修曝萤梨咬八修春健堆召沮阁碌吏言婪浊底毋川烂喳聚淌娥砒盏践竣瘸近顾敝梳电顾框俘烁酿狞妄拔奸挡风橱退低造症黄签纽笨寒拈事构琳乎批葡就村掖笺有肆况展挽栅咕号蛤泵钮吕勋挺战楼须影唆乙叁舵耙攻告凝氟娥崩幕肤缴襟杆哩炭靶握渝冀亦殉舷因桑盗控姐舒喇茧犬背纵汾纸暗佬箔绅奥星致智顶迎急拽测敦某剩差集讹视痴蝶撞粪怪漠填嘴沽撩枝巾穗浆彪箍柯辫保瞅奈晋艘挤淹疹炕皮箍徊咬伤汲蚊隙写褐椅膛蛋毛恢胰