【最新版】高考数学理一轮资源库 第七章7.1

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1、最新版教学资料数学§7.1不等关系与一元二次不等式1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、连结两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.2.两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b>0).3.不等式的性质(1)对称性：a>bb<a；(2)传递性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bac>bc，a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc，a>b&g

2、t;0，c>d>0ac>bd；(5)可乘方：a>b>0an>bn(nN，n1)；(6)可开方：a>b>0> (nN，n2).4.“三个二次”的关系判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1x|xRax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1< x<x21.判断下面结论是否

3、正确(请在括号中打“”或“×”)(1)a>bac2>bc2.(×)(2)a>b>0，c>d>0>.()(3)若ab>0，则a>b<.()(4)若不等式ax2bxc>0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为R.(×)(6)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a<0且b24ac0.(×)2.设a<b<0，则下列不等式中成立的是_.(填序号)>&g

4、t;|a|>b>答案解析由题设得a<ab<0，所以有<成立，只有不成立.3.已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa<0的解集是_.答案(2,3)解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，×.解得a6，b5，不等式x2bxa<0即为x25x6<0，解集为(2,3).4.若不存在整数x满足不等式(kxk24)(x4)<0，则实数k的取值范围是_.答案1,4解析可判断k0或k<0均不符合题意，故k>0.于是原不等式即为k(x)(x4)<0(x)(x4)<0，依题意应有35且k&

5、gt;0，1k4.5.设函数f(x)，则满足不等于f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_.答案(1，1)解析x0时，f(x)x21，易知其在0，)上单调递增，又f(0)1，x<0时，f(x)1，所以f(x)1.由不等式f(1x2)>f(2x)可得，即1<x<1.所以x的取值范围是(1，1).题型一不等式的性质及应用例1(1)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc).其中所有正确结论的序号是_.(2)(2012·四川)设a，b为正实数.现有下列命题：若a2b21，则a

6、b<1；若1，则ab<1；若|1，则|ab|<1；若|a3b3|1，则|ab|<1.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)思维启迪利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件.答案(1)(2)解析(1)根据不等式的性质构造函数求解.a>b>1，<.又c<0，>，故正确.构造函数yxc.c<0，yxc在(0，)上是减函数.又a>b>1，ac<bc，故正确.a>b>1，c>0，ac>bc>1.a>b>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，

7、即logb(ac)>loga(bc)，故正确.(2)中，a2b2(ab)(ab)1，a，b为正实数，若ab1，则必有ab>1，不合题意，故正确.中，1，只需abab即可.如取a2，b满足上式，但ab>1，故错.中，a，b为正实数，所以>|1，且|ab|()()|>1，故错.中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取a>b>1，则必有a2abb2>1，不合题意，故正确.思维升华判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思

8、考：不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.(1)若a，b，c，则a、b、c的大小关系为_.(2)若<<0，则下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2中，正确的不等式的序号是_.答案(1)c<a<b(2)解析(1)易知a，b，c都是正数，log89>1，所以b>a；log2532>1，所以a>c.即c<a<b.(2)由<<

9、;0，可知b<a<0.中，因为ab<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即正确；中，因为b<a<0，所以b>a>0.故b>|a|，即|a|b<0，故错误；中，因为b<a<0，又<<0，所以a>b，故正确；中，因为b<a<0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故错误.由以上分析，知正确.题型二一元二次不等式的解集例2求下列不等式的解集：(1)x28x3>0；(2)ax

10、2(a1)x1<0.思维启迪(1)可利用求根公式得到方程x28x30的解，再求不等式的解集；(2)含参数a，要进行分类讨论.解(1)因为824×(1)×(3)52>0，所以方程x28x30有两个不相等的实根x14，x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4<x<4.(2)若a0，原不等式等价于x1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等价于(x)(x1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x)(x1)<0.当a1时，1，(x)(x1)<0无解；当a>

11、1时，<1，解(x)(x1)<0得<x<1；当0<a<1时，>1，解(x)(x1)<0得1<x<.综上所述：当a<0时，解集为x|x<或x>1；当a0时，解集为x|x>1；当0<a<1时，解集为x|1<x<；当a1时，解集为；当a>1时，解集为x|<x<1.思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系

12、数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.(1)若不等式ax2bx2>0的解为<x<，则不等式2x2bxa<0的解集是_.(2)不等式0的解集为_.答案(1)(2,3)(2)(，1解析(1)由题意，知和是一元二次方程ax2bx20的两根且a<0，所以，解得.则不等式2x2bxa<0即2x22x12<0，其解集为x|2<x<3.(2)原不等式等价于(*)由(*)解得<x1.题型三不等式恒成立问题例3设函数f(

13、x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围.思维启迪(1)分m0和m0讨论，m0可结合图象看的条件；(2)可分离参数m，利用函数最值求m的范围.解(1)要使mx2mx1<0恒成立，若m0，显然1<0；若m0，则4<m<0.所以4<m0.(2)要使f(x)<m5在x1,3上恒成立，即m2m6<0在x1,3上恒成立.有以下两种方法：方法一令g(x)m2m6，x1,3.当m>0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6<

14、0，所以m<，则0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述：m的取值范围是m|m<.方法二因为x2x12>0，又因为m(x2x1)6<0，所以m<.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m<即可.所以，m的取值范围是.思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分

15、离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，则m的取值范围是_.答案(，5解析方法一当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立m<在x(1,2)上恒成立，设(x)，(x)(5，4)，故m5.方法二设f(x)x2mx4，因为当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，所以即解得m5.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(10分)(1)(2012·江苏)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<

16、;c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_.(2)已知a1,1，不等式x2(a4)x42a>0恒成立，则x的取值范围为_.思维启迪(1)考虑函数f(x)、方程f(x)0和不等式的关系；(2)可把不等式看作关于a的一次不等式.解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)<c.2<c，即<x<.，得26，c9.(2)把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则由f(a)>0对于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x6>0，且f(1)x23x2>0即可，联立方

17、程解得x<1或x>3.答案(1)9(2)x|x<1或x>3温馨提醒本题解法中利用了转化与化归思想.(1)中利用“三个二次”之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化；(2)中将已知不等式看作关于a的一次不等式，体现了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.方法与技巧1.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法.2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差变形判断正负.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情况转化为

18、a>0时的情形.4.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解.失误与防范1.不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号.2.对于不等式ax2bxc>0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.3.当<0时，ax2bxc>0 (a0)的解集是R还是，要注意区别.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是_.(填序号)a>b1a>b1 a2>b2a3>b3答案解析由a>b1，得a>b1>b，即a>b，而由a>b

19、不能得出a>b1，因此，使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b1.2.已知pa，qx22，其中a>2，xR，则p，q的大小关系是_.答案pq解析paa22224，当且仅当a3时取等号.因为x222，所以qx2224，当且仅当x0时取等号.所以pq.3.(2013·安徽改编)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为_.答案x|x<lg 2解析由已知条件0<10x<，解得x<lglg 2.4.若集合Ax|ax2ax1<0，则实数a的取值范围是_.答案a|0a4解析由题意知a0时，满足条件.a0时

20、，由得0<a4，所以0a4.5.设a>0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系是_.答案P>Q解析Ploga(a31)，Qloga(a21)，a>0，a31>0，a21>0，a>1.又(a31)(a21)a2(a1)>0，a31>a21，loga(a31)>loga(a21).即P>Q.6.已知不等式x22xk21>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_.答案(，)(，)解析由题意，知44×1×(k21)<0，即k2>2，k>或k<.7.已

21、知实数a、b、c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a、b、c的大小关系是_.答案cb>a解析cb44aa2(2a)20，cb，已知两式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a2>0，1a2>a，b1a2>a，cb>a.8.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是_.答案4，)解析设f(x)x24x(1a)，根据已知可转化为存在x01,3使f(x0)0.易知函数f(x)在区间1,3上为增函数，故只需f(1)4a0即可，解得a4.二、解答题9.若不等式ax25x2>0的解集是x|<x<2.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa21

22、>0的解集.解(1)由题意知a<0，且方程ax25x20的两个根为，2，代入解得a2.(2)由(1)知不等式为2x25x3>0，即2x25x3<0，解得3<x<，即不等式ax25xa21>0的解集为(3，).10.(1)设x<y<0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)·(xy)的大小；(2)已知a，b，x，y(0，)且>，x>y，求证：>.(1)解方法一(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，x<y<0，xy>0，xy<0，2xy(xy)&g

23、t;0，(x2y2)(xy)>(x2y2)(xy).方法二x<y<0，xy<0，x2>y2，xy<0.(x2y2)(xy)<0，(x2y2)(xy)<0，0<<1，(x2y2)(xy)>(x2y2)(xy).(2)证明.>且a，b(0，)，b>a>0，又x>y>0，bx>ay>0，>0，>.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.若关于x的不等式ax26xa2<0的解集是(1，m)，则m_.答案2解析根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a6

24、0，解得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa2<0的解集是(，3)(1，)，不符合要求，舍去.故m2.2.若不等式x22axa>0对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式at22t3<1的解集为_.答案(，3)(1，)解析不等式x22axa>0对一切实数xR恒成立，则(2a)24a<0，即a2a<0，解得0<a<1，所以不等式at22t3<1转化为t22t3>0，解得t<3或t>1.3.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，

25、f(2)，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)<1.<1<0(3a2)(a1)<0，1<a<.4.设函数f(x)x21，对任意x，)，f()4m2·f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_.答案m|m或m解析依据题意得14m2(x21)(x1)214(m21).在x，)上恒成立，即4m21在x，)上恒成立.当x时函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.5.设x，y为实数，满足3xy28,49，则的最大值是_.答案27解析由49，得1681.

26、又3xy28，227.又x3，y1满足条件，这时27.的最大值是27.6.求使不等式x2(a6)x93a>0，|a|1恒成立的x的取值范围. 解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x9>0.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)>0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去.(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得，即，解得x<2或x>4.7.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总

27、成本固定成本生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)，假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？解依题意得G(x)x2，设利润函数为f(x)，则f(x)R(x)G(x)，所以f(x).(1)要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0或或5<x<8.2或5<x<8.21<x5或5<x<8.21<x<8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内.(2)当0x5时，f(x)0.4(x4)23.6，故当x4时，f(x)有最大值3.6.而当x>5时，f(x)<8.253.2.所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时只需求x4时，2.4(万元/百台)240(元/台).所以工厂生产400台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为240元.