《新编北师大版数学必修五：通项公式an的求法导学案含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编北师大版数学必修五：通项公式an的求法导学案含答案（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、新编数学北师大版精品资料第9课时通项公式an的求法1.理解并掌握叠加法、累乘法求通项公式.2.掌握等比差数列等几类特殊数列的解法.3.初步掌握求通项公式an的方法.在推导等差数列的通项公式的时候我们用了累差法,在推导等比数列的通项公式的时候我们用了累积法,今天,我们一起来看看数列的通项公式有哪些求法?问题1:已知a1的值,且an-an-1=f(n)(n2),可以用累加法,即an-an-1=,an-1-an-2=,a3-a2=,a2-a1=.所有等式左右两边分别相加得an=.问题2:已知a10且anan-1=f(n)(n2),可以用累乘法,即anan-1=,an-1an-2=,a3a2=,a2a
2、1=,所有等式左右两边分别相乘,得anan-1an-1an-2a3a2a2a1=,即an=.问题3:由an与Sn的关系求an由Sn求an时,要分n=1和n2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为an=.问题4:几种递推数列的转化方法(1)an+1=can+d(c0,1),可以通过待定系数法设an+1+=c(),求出后,化为等比数列求通项;还可以用下列方法求解:an+1=pan+q,an=pan-1+q, -得:an+1-an=p(an-an-1),数列an-an-1是以为首项,为公比的等比数列,由等比数列的通项公式求出an-an-1=,再用累加法
3、求出an.(2)an+1=banb+an(b为常数且b0),可化为1an+1=,利用等差数列的通项公式求出1an,进而求出an.1.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+1,nN+,则a6等于().A.32B.48C.64D.962.已知数列an满足a1=4,an+1=2an+2n+1,那么数列an的通项公式是().A.an=2nB.an=(n+1)2nC.an=(n-1)2nD.an=3n-13.数列an满足a1=1,11+an+1=11+an+1,则a10=.4.已知数列an满足a1=1,an=an-1+3n-2(n2).(1)求a2,a3;(2)求数列an的通项公式.待
4、定系数法求通项公式在数列an中,a1=1,当n2时,有an=3an-1+2,求数列an的通项公式.累加法求通项公式在数列an中,已知a1=1,当n2时,有an=an-1+2n-1(n2),求数列的通项公式.构造法求通项公式已知定义在R上的函数f(x)和数列an满足下列条件:a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a为常数,k为非零常数.(1)构造bn=an+1-an(nN+),证明数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.已知数列an的第1项是1,以后的各项由公式an+1=2anan+2给出,
5、求出这个数列的通项公式.在数列an中,已知a1=1,有nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式.在数列an中,a1=2,a2=4,且an+1=3an-2an-1(n2).(1)求证:数列an+1-an是等比数列;(2)求数列an的通项公式.1.已知数列an的前n项和Sn=3n-1,则其通项公式an等于().A.32n-1B.23n-1C.3n-1D.3n2.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),则an等于().A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n3.若数列an中,a1=13,且对任意的正整数p、q都有ap+q=ap
6、aq,则an=.4.在数列an中,a1=2,an+1=2an-n+1,nN+.(1)求证:数列an-n是等比数列;(2)求数列an的通项公式an.(2013年安徽卷)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2.则数列an的通项公式是.考题变式(我来改编):第9课时通项公式an的求法知识体系梳理问题1:f(n)f(n-1)f(3)f(2)a1+f(2)+f(3)+f(n-1)+f(n)问题2:f(n)f(n-1)f(3)f(2)f(2)f(3)f(n-1)
7、f(n)a1f(2)f(3)f(n-1)f(n)问题3:S1(n=1),Sn-Sn-1(n2)问题4:(1)an+a2-a1p(a2-a1)pn-1(2)1an+1b基础学习交流1.B当n2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,则a2=a1+1=3,a6=a224=316=48.2.B由an+1=2an+2n+1得an+12n+1-an2n=1,数列an2n是首项为2,公差为1的等差数列,即an2n=2+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n,故选B.3.-1719依题意知,数列11+an是以11+a1=12为首项
8、,1为公差的等差数列,11+an=12+(n-1)1=2n-12,an=3-2n2n-1,a10=-1719.4.解:(1)由题意可得a2=a1+4=5,a3=a2+7=12.(2)由已知:an=an-1+3n-2(n2)得an-an-1=3n-2,由递推关系,得an-1-an-2=3n-5,a3-a2=7,a2-a1=4,叠加得:an-a1=4+7+3n-2=(n-1)(4+3n-2)2=3n2-n-22,an=3n2-n2(n2).当n=1时,1=a1=312-12=1,适合上式,数列an的通项公式an=3n2-n2.重点难点探究探究一:【解析】设an+t=3(an-1+t),则an=3a
9、n-1+2t,t=1,于是an+1=3(an-1+1).an+1是以a1+1=2为首项,3为公比的等比数列.an=23n-1-1.【小结】递推公式an+1=pan+q(p1,q0)求通项的常用方法主要有两种:1.化成等比数列an+t,然后利用通项公式即可求出;2.由an+1=pan+q,得an=pan-1+q, -得:an+1-an=p(an-an-1),由等比数列的通项公式求an-an-1=(a2-a1)pn-1,再用累加法求出an.探究二:【解析】an-an-1=2n-1(n2),a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,an-an-1=2n-1,上述n-1个等式相加可得:an-a1
10、=n2-1,an=n2.【小结】一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加.探究三:【解析】(1)由b1=a2-a10,可得:b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由题设条件,当n2时,bnbn-1=an+1-anan-an-1=f(an)-f(an-1)an-an-1=k(an-an-1)an-an-1=k,故数列bn是公比为k的等比数列.(2)由(1)知bn=kn-1(a2-a1)(nN+),b1+b2+bn-1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2),而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2),an-a1=(a2-a1)1-
11、kn-11-k(n2),故an=a+f(a)-a1-kn-11-k(nN+).问题上述解法正确吗?结论不正确.(2)中要分k1和k=1进行讨论,以及对n要分n=1和n2进行讨论.于是,正确的解答为:(1)同错解部分.(2)由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN+),当k1时,b1+b2+bn-1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2);当k=1时,b1+b2+bn-1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an-a1(n2),当k1时,an-a1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2),上式对n=
12、1也成立,数列an的通项公式为an=a+f(a)-a1-kn-11-k(nN+);当k=1时,an-a1=(n-1)(a2-a1)(n2),上式对n=1也成立,所以数列an的通项公式为an=a+(n+1)f(a)-a(nN+).【小结】利用等比数列前n项和公式时务必要考虑q=1和q1两种情况.思维拓展应用应用一:由an+1=2anan+2得:1an+1=1an+12,数列1an是以1a1=1为首项,12为公差的等差数列,1an=1+12(n-1)=n+12,an=2n+1.应用二:an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=nn+1n-1nn-2n-134231=2
13、n+1.又a1也满足上式,an=2n+1(nN+).应用三:(1)an+1=3an-2an-1,an+1-an=2(an-an-1)(n2),则数列an+1-an是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1-an=22n-1=2n,a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,an-an-1=2n-1,上述n-1个等式相加可得an-a1=2(1-2n-1)1-2=2n-2,an=2n(nN+).基础智能检测1.B当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1,又a1=S1=31-1=2满足an=23n-1,故选B.2.A(法一)取n=
14、2,则a2=a1+ln 2=2+ln 2,排除C、D;取n=3,则a3=a2+ln(1+12)=2+ln 2+ln32=2+ln 3,排除B,选A.(法二)an+1=an+ln(1+1n),a2-a1=ln(1+11)=ln 2,a3-a2=ln(1+12)=ln32,a4-a3=ln(1+13)=ln43,an-an-1=ln(1+1n-1)=lnnn-1.相加得:an-a1=ln 2+ln32+lnnn-1=ln n,a1=2,an=2+ln n.3.13n式中令p=n,q=1得an+1=ana1=13an,数列an是以a1=13为首项,13为公比的等比数列,an=13n.4.解:(1)由
15、已知得a1-1=10,由an+1=2an-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n),an+1-(n+1)an-n=2,an-n是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知:an-n=2n-1,an=2n-1+n.全新视角拓展an=3n-2(nN+)记OBn=bn,AnOBn=.SAnBnBn+1An+1=SOAn+1Bn+1-SOAnBn=12|OAn+1|OBn+1|sin -12|OAn|OBn|sin =12sin (an+1bn+1-anbn),又SAnBnBn+1An+1=SAn-1Bn-1BnAn,12sin (an+1bn+1-anbn)=12sin (anbn-an-1bn-1),an+1bn+1+an-1bn-1=2anbn.又所有AnBn相互平行,则bn-1bn=an-1an,bnbn+1=anan+1.对两边同除以bn,得an+1bn+1bn+an-1bn-1bn=2an,即an+1an+1an+an-1an-1an=2an,即an+12+an-12=2an2,即an2是等差数列,且公差d=a22-a12=4-1=3.an2=a12+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,故an=3n-2(nN+).
新编北师大版数学必修五：通项公式an的求法导学案含答案
