新编北师大版数学【选修22】复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案含答案

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1、新编数学北师大版精品资料第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)=,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2: 复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2=,(z1+z2)+z3=.问题3:利用向量加法

2、讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2-2i)+(3+i)+(4+2i)+(5+12i)-32i(其中i为虚数单位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2

3、i3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2=.4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(13+12i)+(2-i)-(43-32i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2012+2013i)+(2013-2014i).复数代数形式加减运算的几何意义在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及A

4、D的长.复数加减运算的综合应用已知实数a0,b0,复数z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)AO表示的复数;(2)CA表示的复数;(3)OB表示的复数.已知实数aR,复数z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9

5、-3i2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是().A.m23B.m1C.23m13.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2=.4.已知aR,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2为实数,求z1-z2.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量AB,AC,BC对应的复数;(2)判断ABC的形状.考题变式(我来改编):答案第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义知识体系梳理问题1:(a+c)+(b+d)i问题2:z2+z1z1+(z2+z3)基础学习交流1.D(3-4i)-(-2+3

6、i)=5-7i.2.C(2-2i)+(3+i)+(4+2i)+(5+12i)-32i=2+3+4+5+(-2+1+2+12-32)i=14.3.14+iz1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.4.解:(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.重点难点探究探究一:【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)13+12i+(2-i)-(43-32i)=(13+2-43)+(12-1+32)i

7、=1+i.(3)(法一)原式=(1-2)+(3-4)+(2011-2012)+2013+(-2+3)+(-4+5)+(-2012+2013)-2014i=(-1006+2013)+(1006-2014)i=1007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2011-2012i)+(-2012+2013i)=-1+i,将以上各式(共1006个)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2013-2014i)=1007-1008i.【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.第(3)小题的解法一是从整体上把

8、握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.探究二:【解析】如图所示:AC对应复数z3-z1,AB对应复数z2-z1,AD对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义得AD=AB+AC,z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,AD的长为|AD|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=210.【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解

9、决复数问题提供了可能.探究三:【解析】由题意得a2+25=13,9+b2=5,a0,b0,a=12,b=4,z1=12+5i,z2=3-4i,z1+z2=15+i.【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.思维拓展应用应用一:z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.应用二:(1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i.(2)因为CA=OA-OC,所以CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为OB=OA+AB,所以OB表示的复数为(3+2i)+(-2+

10、4i)=1+6i.应用三:z1+z2=(a+2-3ai)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,z1+z2为纯虚数,a+8=0,3a+70,a=-8.基础智能检测1.A2.A(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,点(3m-2,m-1)在第三象限,3m-20,m-10,即m23.3.-6z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.4.解:z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,aR,z1+z2为实数,a+5=0,a=-5,z1=2-3i,z2=14+3i,z1-z2=-12-6i.全新视角拓展解:(1)AB=OB-OA=(2+i)-1=1+i,AC=OC-OA=(-1+2i)-1=-2+2i,BC=OC-OB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以AB,AC,BC对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为|BC|2=10,|AC|2=8,|AB|2=2,所以有|BC|2=|AC|2+|AB|2,所以ABC为直角三角形.