八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形第2课时教学课件新版北师大版

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1、第2课时1 等腰三角形1.1.掌握证明的基本步骤和书写格式掌握证明的基本步骤和书写格式. .2.2.经历经历“探索、猜想、证明探索、猜想、证明”的过程，能够用综合的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理. .3.3.结合实例体会反证法的含义结合实例体会反证法的含义等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合的中线、底边上的高线互相重合等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等简称简称: :等边对等角等边对等角. .顶角顶角A AB BC C底边底边腰腰腰腰底角底角 底角底角【定义定义】【

2、性质定理性质定理】【性质定理的推论性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形. .( (简称简称:“:“三线合一三线合一”) )等腰三角形等腰三角形 知识回顾知识回顾A AC CB B你能证明你的结论吗？你能证明你的结论吗？画一画画一画: : 先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形, ,然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段 ( (如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线) )，你能发现其中一些相等的线段吗？你能发现其中一些相等的线段吗？等腰三角形还具有哪些重要的性质等腰三角形还具有哪些重要的性质? ?除了用定义来判定三角形是等腰三

3、角形外除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, , 还有哪些还有哪些简单的方法来判定三角形是等腰三角形简单的方法来判定三角形是等腰三角形? ?结结论论1.1.三线合一三线合一2.2.底角的两条底角的两条平分线相等平分线相等3.3.两条腰上两条腰上的中线相等的中线相等4.4.两条腰上两条腰上的高线相等的高线相等图图例例A AD DC CB BA AC CB BD DE EA AC CB BM MN NA AC CB BQ QP P【结论结论】【例例1 1】证明证明: :等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等A AC CB BD DE E已知已知: :求证求证: :BD=CE.BD

4、=CE.如图如图, , 在在ABCABC中中, AB=AC, BD, AB=AC, BD和和CECE是是ABCABC的的角平分线角平分线1 12 2【例题例题】AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).【证明证明】212= ACB(2= ACB(已知已知),),又又1= ABC1= ABC，211=2(1=2(等式性质等式性质) )在在BDCBDC与与CEBCEB中，中， DCB= EBCDCB= EBC（已知），（已知），BC=CBBC=CB（公共边），（公共边），1=21=2（已证），（已证）， BDCBDCCEBCEB（ASAAS

5、A） BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )A AC CB BD DE E1 12 2又又CM= CM= ，BN=BN= ( (已知），已知），1AB2证明证明: : 等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等BM=CNBM=CN求证求证: :已知已知: : 如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC,BM,CN,AB=AC,BM,CN是是ABCABC两腰上的中线两腰上的中线AC21【证明证明】AB=AC(AB=AC(已知已知) )，ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角) )( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).

6、).CM=BN(CM=BN(等式的基本性质等式的基本性质) )在在BMCBMC与与CNBCNB中，中， BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）, , MCB=NBC MCB=NBC（已知）（已知）, CM=BN, CM=BN（已证）（已证）, ,BMCBMCCNBCNB（SASSAS）BM=CNBM=CNA AC CB BM MN N【跟踪训练跟踪训练】A AC CB BD DE E1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.（1 1）如果）如果ABD= ABC ABD= ABC ， ACE= ACBACE= ACB， 那么那么BD=CEBD=CE吗

7、吗? ? 为什么？为什么？（2）如果）如果ABD= ABC ，ACE= ACB 呢呢? 由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ?【议一议议一议】12121313 如果如果ABD= ABC ， ACE= ACB ， 那么那么BD=CE吗吗?1n1n2.2.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.如果如果AD= AC,AE= AB,AD= AC,AE= AB,那么那么BD=CEBD=CE吗吗? ? 为什么？为什么？A AC CB BD DE E由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ?数学方法：数学方法：特特殊到一般的思殊到一般的思想方

8、法想方法1212 如果如果AD= AC ， AE= AB ，那么，那么BD=CE吗？吗？1n1n3. 3. 前面已经证明了前面已经证明了“等边对等角等边对等角”，反过来，反过来，“等等角对等边角对等边”吗吗? ?即即有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形吗吗? ?A AC CB B已知已知: 如图如图, 在在ABC中中, BC求证求证: AB=AC要证明要证明AB=AC,只要能构造出只要能构造出AB，AC所在的两个所在的两个三角形全等就可以了三角形全等就可以了.请与小组内同学交流请与小组内同学交流.分析分析: : 作作A的平分线或作的平分线或作BC边上边上的高的高 作

9、作BC边上的中线可以吗？边上的中线可以吗？有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）这又是判定两条线段相等的依据之一这又是判定两条线段相等的依据之一. .请同学们注请同学们注意运用哦！意运用哦！等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理在在ABCABC中，中，B BC C（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）A AC CB B【结论结论】 两个角相等的三角形是等腰两个角相等的三角形是等腰三角形三角形, ,那么在一个三角形中，如那么在一个三角形中，如果两个角不相等果两个角不相等, ,那么这两个角所那么这两个角所对的边有

10、什么关系呢？对的边有什么关系呢？C CA AB Bw 你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗? ?w 如果成立如果成立, ,你能证明它吗你能证明它吗? ?请与小组内同学交流请与小组内同学交流在在ABCABC中中, , 如果如果BC,BC,那么那么ACAC AB AB不相等不相等.【猜猜想想】C CA AB B分析：分析：如图如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知BC,BC,此时此时, AC, AC与与ABAB要么要么相等相等, ,要么不相等要么不相等. .证明：证明：假设假设AB=ACAB=AC，那么根据，那么根据“等边对等角等边对等角”定定理可得理可得B=CB=C，但已知条件是，但已

11、知条件是BCBC“B=CB=C”与与“BCBC”相矛盾，相矛盾，因此，因此， ABACABAC论证命题的新思维与新方法论证命题的新思维与新方法 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方这种证明方法称为法称为反证法反证法反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用些问题时常常会有出人意料的作用. .论证的新方法论证的新方法反证法反证法【证明证

12、明】假设这五个数中没有一个大于或等于假设这五个数中没有一个大于或等于 , ,即都即都小于小于 , ,那么这五个数的和那么这五个数的和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5就小于就小于1.1.这与这与已知这五个数的和已知这五个数的和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1=1相矛盾相矛盾. .因此因此, ,这五个这五个数中至少有一个大于或等于数中至少有一个大于或等于 . .【例例2 2】求证求证: : 如果如果a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4，a a5 5都是正数，且都是正数，且a a1 1+a+a2 2+a+a

13、3 3+a+a4 4+a+a5 5=1=1，那么，这五个数中至少有一个大于，那么，这五个数中至少有一个大于或等于或等于 【例题例题】151515151.1.假设假设: : 先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立. .2.2.归谬归谬: : 从这个假设出发从这个假设出发, ,应用正确的推论方法应用正确的推论方法, ,得得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果的结果; ;3.3.结论结论: : 由矛盾判定假设不正确由矛盾判定假设不正确, ,从而肯定命题的结从而肯定命题的结论正确论正确【规律方法规律方法】用反证法证题的一般步骤用反证法证题

14、的一般步骤1.1. （宁波（宁波中考）中考）如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，BDBD，CECE分别是分别是ABCABC，BCDBCD的角平分线，则图中的的角平分线，则图中的等腰三角形有等腰三角形有( )( )A A5 5个个 B B4 4个个 C C3 3个个 D D2 2个个EDCBA【解析解析】选选A. A. ABABAC,AC,ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .又又A A3636,ABC,ABCACBACB(180(1803636) )2 27272. .BDBD，CECE分别是分别是ABCABC，BCDBCD的角平分线的角平分线, ,

15、ABDABDCBDCBD ABCABC3636, ,BCEBCEDCEDCE ACBACB3636. .AAABD,CBDABD,CBDBCE,BCE,ABDABD，BCEBCE是等腰三角形是等腰三角形. .CDECDEA AABDABD7272,DEC,DECCBDCBDBCEBCE7272, ,CDECDEDECDECACB.ACB.CDECDE、BCDBCD是等腰三角形是等腰三角形. .一共有一共有5 5个等腰三角形个等腰三角形. .12122. 2. （通化（通化中考）用反证法证明命题中考）用反证法证明命题“三角形中必有三角形中必有一个内角小于或等于一个内角小于或等于6060”时，首先

16、应假设这个三角形时，首先应假设这个三角形中（中（ ） A A有一个内角大于有一个内角大于6060 B B有一个内角小于有一个内角小于6060C C每一个内角都大于每一个内角都大于6060 D D每一个内角都小于每一个内角都小于6060【解析解析】选选C.C.因为因为“必有一个内角小于或等于必有一个内角小于或等于6060”的反面的反面是是“没有一个内角小于或等于没有一个内角小于或等于6060”，即，即“每一个内角都大每一个内角都大于于6060”. .3.3.（日照（日照中考）一次函数中考）一次函数y=x+4y=x+4分别交分别交x x轴、轴、y y轴于轴于A A，B B两点，在两点，在x x轴上

17、取一点轴上取一点C C，使，使ABCABC为等腰三角形，则这样为等腰三角形，则这样的点的点C C最多有最多有_个个 【解析解析】当当C C点的坐标为（点的坐标为（ ，0 0）或（）或（ ，0 0）时，时，AB=AC,AB=AC,当当C C点的坐标为（点的坐标为（4,0)4,0)时，时，AB=BCAB=BC；当；当C C点的坐标点的坐标为（为（0 0，0 0）时，）时，AC=BC.AC=BC.所以所以C C点共有点共有4 4个个. .答案：答案：4 4 4 244 244.4.（衡阳（衡阳中考）已知：如图，在等边三角形中考）已知：如图，在等边三角形ABCABC的的ACAC边边上取中点上取中点D

18、D，BCBC的延长线上取一点的延长线上取一点E E，使，使 CECECDCD求证：求证：BDBDDEDE【解析解析】 ABCABC是等边三角形，是等边三角形， ABCABCACBACB6060， D D为为ACAC的中点，的中点， DBC DBC ABCABC3030, , CECECD,CD, E ECDE,CDE, 又又ACBACBE ECDE,CDE, E E ACBACB3030, , DBCDBCE,E, BD BDDE.DE.12121. 1. 观察、探索、发现并证明等腰三角形中相等的线观察、探索、发现并证明等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论段，并由特殊结论归纳出一般结论. .2. 2. 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 “ “等角对等边等角对等边”. .3. 3. 了解反证法了解反证法 真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在我的眼前，任我去探寻。牛顿