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1、绝密启用前 姓 名 准考证号 益阳市2016届高三4月调研考试理科数学（试题卷）注意事项：1.本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至3页，第卷3至6页2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数z1对应的点与复数（为虚数单位）对应的点关于虚轴对称，则z1等于ABCD 2若集合，则“”是“AB=”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充
2、分也不必要条件3计算：ABCD4抛物线的准线被圆所截得的线段长为4，则P=A1 B2 C4 D8 5某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时到10时的销售额为5万元，则11时到13时的销售额为A20万元B32.5万元C35万元D40万元O13yx5-36函数 的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为A BCD7已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80，则OA与平面所成的角的余弦值为ABCD 8若实数满足约束条件 则z=的取值范围是A0,6B1,6C1,5D0,5 9若非零向量满足，则夹角的余弦值为ABC
3、D10若数列满足，且对于任意的N都有，则等于ABCD 11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A48 B32 C16 D12设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为ABCD 第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.结束x =yy= z是否z 40?输出zx = 1 ,y = 2开始z = xy 13的展开式中含项的系数为 14
4、执行如图所示的程序框图，则输出的z值是 15已知数列的前项和为，且，其中N则数列的通项公式是 16已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知的内角A、B、C的对边分别为、，且满足，()求；() 求的值18（本小题满分12分）某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂。现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：得分60,70) 70,80) 80,90) 90,100
5、甲5103411乙812319（）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；（）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（）的前提下：（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率.19（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,PA=3，AB=2，ABC=60，点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD.（）证明：BE / 平面AFC；（）求二面角的余弦值.20（本小题满分12分）
6、设椭圆：经过点（），且其左焦点坐标为（1,0）（）求椭圆的方程；（）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，其中交椭圆于,交椭圆于，求的最小值21（本小题满分12分）已知函数.（）若曲线在点（4，f ( 4 )）处的切线的斜率小于0，求的单调区间；（）对任意的，恒有，求k的取值范围。请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AEOP交圆O于E点，PA交圆O于点F，连接PE.OPEBAF
7、()求证：PE是圆O的切线；()设AO=3,PB=4,求PF的长.23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（为参数），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是.()求曲线C2的直角坐标方程；()设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点，求|PQ|的最小值.24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设不等式的解集为M, a,bM（）证明：；（）比较与的大小益阳市2016届高三4月调研考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1A 2A 3A 4B 5B 6A 7B 8C 9D 10
8、C 11D 12D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 1340 14256 15 166三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.解：()由正弦定理得而，且B是三角形的内角，所以6分 ()，且A、B是三角形的内角，AB, ， 由正弦定理得： 12分18. 解：（）甲为合格品的概率约为：,乙为合格品的概率约为：; 2分（）（1）随机变量的所有取值为190，85，70，-35，而且, , ;所以随机变量的分布列为：1908570356分所以： 8分（2）设生产的件乙中正品有件，则次品有件，依题意，解得：，取或，设“生产件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件，则： 12分19
9、解：（）以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，平面ABCD内过A点垂直AD的直线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系.由题意知相关各点的坐标分别为2分由点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD得：xDPBACFEyz所以 设=（x,y,z)是平面AFC的法向量，则,所以，令y=1取得平面AFC的一个法向量为=.5分由，又BE平面AFC，所以BE/平面AFC. 8分（）由PA平面ABCD知平面ACD的一个法向量为=,因为cos=，由题中条件可知二面角为锐角，所以它的余弦值为. 12分注：第一问用几何方法证明记6分。其他解法相应记分。20解（），椭圆的方程为： 4分() 当直线中有一
10、条直线的斜率不存在时，=7 5分当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程，设M，,由，得，|MN|= 设直线的方程为，同理得：所以 9分设，则，所以因为，所以时，有最小值综上，的最小值是 12分21解：()若曲线在点（4，f(4)）处的切线的斜率小于0，则则由 得0x3a；由f(x)0得1x3af(x)的单调递增区间为(0,1)，（3a, ），单调递减区间为(1,3a) 4分()对任意的，,由()知f(x)在1,3上为减函数。不妨设1x1f(x2)，原不等式可化为：，即，对任意的，1x1x23恒成立。6分令，对任意的，1x1x23有g(x1)g(x2)恒成立，在闭区间1，3上为增函数，对任意的恒
11、成立(等号成立的x值不连续）而，化简得，即，其中 ，只需，即对任意恒成立 9分令，则，恒成立，在闭区间1,3上为减函数，则由，解得 12分22.解：()连接OE，OA=OE,OAE=OEA,AEOP, OPEBAFOAE=BOP, OEA=EOP,BOP=EOP,又OB=OE,OP=OP,BOPEOP,OEP=OBP,PB是圆O的切线,OBP=90,OEP=90，PE是圆O的切线. 5分()由()知ABP 是直角三角形，AB=2AO=6,PB=4,PA=,PB是圆O的切线,PB2=PFPA,PF=. 10分23. 解：()将代入得：曲线C2的直角坐标方程为. 4分 ()由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线的距离的最小值，= 所以|PQ|的最小值为. 10分24.解：当时，原不等式可化为，显然不成立；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为显然不成立。综上所述，原不等式的解集为。3分（）证明：， 所以， 两式相加得，即。6分（） ， ， 10分
湖南省益阳市高三下学期4月调研考试理科数学试题及答案
