2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程学案苏教版选修1-1

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1、2. 4.1 抛物线的标准方程 【学习目标】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念 .2.掌握抛物线的标准方程及其推导过 程 3 明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题. IT问题导学 - 知识点抛物线的标准方程 思考 i 在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定? 思考 2 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向? 2 题型探究 类型一求抛物线的标准方程 例 i 分别根据下列条件求抛物线的标准方程： 已知抛物线的焦点坐标是 F(0，- 2); 2 (2) 准线方程为y= 3； 焦点在 x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是 5; 过

2、点 A(2,3). 反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛 物线的标准方程，求出 p值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在 x 轴上的抛物线方程可设为 y2= ax(a 0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为 x2= ay(a 0). 跟踪训练 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1) 过点(3 , - 4)； (2) 焦点在直线x + 3y+ 15 = 0 上，且焦点在坐标轴上； (3) 焦点到准线的距离为.2. 类型二求抛物线的焦点坐标及准线方程 例 2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程: (1) y2=- 6x;

3、 (2)3 x2 + 5y = 0; 2 2 2 (3) y= 4x ； (4) y = ax(a 0). 引申探究 3 若将本例(4)中条件改为y = ax2(az 0)，结果又如何? 反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物 线的对称轴和开口方向. 一次项的变量若为 x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴， 次项系数的符号决定开口方向. 跟踪训练 2 若抛物线 y2 = 2px的焦点坐标为 （1,0），则p = _ ，准线方程为 类型三抛物线定义的应用 命题角度 1 与抛物线有关的轨迹方程 1 1 例 3 若位于y轴右侧的动点 M到F（2, 0

4、）的距离比它到y轴的距离大 2.求点M的轨迹方程. 反思与感悟 满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简. 跟踪训练 3 平面上动点P到定点F（1,0）的距离比点P到y轴的距离大 1，求动点P的轨迹 方程. 命题角度 2 利用抛物线定义求最值 2 例 4 设P是抛物线y= 4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. （1）求点P到点A 1,1）的距离与点P到直线x =- 1 的距离之和的最小值; 若点B的坐标为（3,2）.求PB+ PF的最小值.4 反思与感悟 解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往 用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值

5、问题. 跟踪训练 4 已知直线11： 4x 3y + 6 = 0 和直线丨2： x =- 1，抛物线y2 = 4x上一动点P到直 线I 1和直线1 2的距离之和的最小值是 _ 甌当堂训练 1 2 1 抛物线y =Tx2的准线方程是 2 .设抛物线y2 = 8x上一点P到y轴的距离是 4, 3 .根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为x= 1. _ . 焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是 4 .若椭圆X3 + 4y = 1( p0)的左焦点在抛物线 y2 = 2px的准线上，则p为 _ . 3 p 5 .若抛物线y2= 2px ( p0)上有一点 M其横坐标为9,它到焦点的距

6、离为 10,求抛物 线方程和M点的坐标. -规律与方法- 1. 焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2 = 口乂仃0),此时焦点坐标为 F( 0), m 2 准线方程为x = 4;焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x = mym0)，此时焦 一 m m 点坐标为F(0 , 4)，准线方程为y= 4. 2. 设M是抛物线上一点，焦点为 F,则线段MF叫做抛物线的焦半径.若 Mx。，y。)在抛物线 y2= 2px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相 互转化，所以焦半径 MF= xo+1. 3. 对于抛物线上则点P到该抛物线焦点的距离是 _

7、 2. _ 5 的点， 利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离， 也可以把其到 准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题. 提醒：完成作业 第 2 章 2.4 2.4.16 合案精析 问题导学 知识点 思考 1 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向. 思考 2 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正，则焦点在正半轴上; 若系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定. 梳理弓， )( -, o) p p p x = - y =- - y=- 题型探究 例 1 解(1)因为抛物线的焦点在 y轴的负半轴上， 且-p

8、=- 2，贝U p= 4. 所以，所求抛物线的标准方程为 x2=- 8y. (2) 因为抛物线的准线平行于 x轴，且在x轴上面， p 2 4 且-=3,则 p=3. 一 2 8 所以，所求抛物线的标准方程为 x =- 3y. 由焦点到准线的距离为 5 知，p= 5. 又焦点在x轴负半轴上， 所以，所求抛物线的标准方程为 y-=-iox. (4) 由题意知，抛物线方程可设为 y-= mXm 0)或x-= ny( n 0).将点A(2,3)的坐标代入, 得 3-= m2 或 2-= n 3, 2 9 2 4 所以，所求抛物线方程为 y= -x或x = y. 跟踪训练 1 解(1)方法一 点(3 ,

9、 - 4)在第四象限，.设抛物线的标准方程为 y2 = 2px ( p0)或x2=- 2p1y ( p0). 把点(3 , - 4)分别代入y2= 2px和x2=- 2py 得(4) = 2p - 3,3 =- 2pi - ( 4), P P- - 2 2 7 9 4 m=-或n=二 2 38 16 9 即 3 4P=3， 2p1=4. 一 2 16 2 9 所求抛物线的标准方程为 y=3X或X= -4y. 方法二 点(3 , 4)在第四象限， 设抛物线的方程为 y2 = ax ( 0)或x2= by ( 0). 把点(3 , 4)分别代入， 16 可得a=m, b= 一 2 16 2 9 所

10、求抛物线的标准方程为 y =丁乂或x = 4y. 令 x = 0,得 y = 5;令 y = 0, 得 x = 15. 抛物线的焦点坐标为(0， 5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为 x2= 20y或y2= 60 x. (3) 由焦点到准线的距离为 2，得 P= 2, 故所求抛物线的标准方程为 y2= 2 2x或y2= 2 2x或x2= 2 2y或x2= 2 , 2y. 例 2 解(1)由方程y2= 6x知，抛物线开口向左， p 3 2p= 6, p= 3,厂 2， 3 3 所以焦点坐标为(一, 0)，准线方程为x= - 2 2 5 (2)将 3x + 5y = 0 变形为 x = y

11、, 5 5 知抛物线开口向下，2p = ;, p = ；, 3 6 p=A 2 12， 所以焦点坐标为(0， 12)，准线方程为y 12. 2 2 1 3 1 p 1 知抛物线开口向上，2p=4, p8，2= 16， 9 将y 4x变形为x =才丫， 由方程y2= a2x(a*0)知，抛物线开口向右,所以焦(0, 1 16)，准线方程为 1 10 2 2 a p_a 2p= a , p= , 2 = 4, 2 所以焦点坐标为（看,0）, 2 准线方程为x = -a. 4 引申探究 一 i 所以焦点坐标为(0 ,), 准线方程为y = -4a 跟踪训练 2 2 x =- 1 1 1 例 3 解

12、由于位于y轴右侧的动点 M到F(2, 0)的距离比它到y轴的距离大所以动点 M 1 到F( 0)的距离与它到直线 1 I : x=-2 的距离相等.由抛物线的定义知， 动点M的轨迹是以 F为焦点，I为准线的抛物线，其方程应为 y2= 2px(p0)的形式，而号=2，所以p= 1,2 p= 2, 2 故点M的轨迹方程为y= 2x( x丰0). 跟踪训练 3 解 由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大 1.由于点F(1,0) 到y轴的距离为1,故当x0时，原命题等价于点 P 到点F(1,0)与到直线x =- 1的距离相等，故点 P的轨迹是以F为焦点，x =- 1 为准线的抛 物线

13、，方程为y2= 4x. 2 4x, x0, 故所求动点P的轨迹方程为y = 0, x2，所以点B在抛物线内部.过点 B 作BQ垂直于准线，垂足为点 Q交抛物线于点 P,连结PF此时，由抛物线定义知， PiQ= PiF.所以 PB+ PF PiB+ PiQ= BQ= 3+ 1 = 4, 即PB+ PF的最小值为 4. 跟踪训练 4 2 当堂训练 1 . y= 1 2.6 3. (1) y2= 4x (2) y2= 4x 4. 6 5.解 由抛物线定义，设焦点为 F 2, 0 . 则该抛物线的准线方程为 x =号.由题意设点M到准线的距离为MN p 则 MN= MF= 10,即 $ ( 9) = 10, -p = 2. 故抛物线方程为y2= 4x. 将M 9, yo)代入抛物线方程， 得 yo= 6. M 点的坐标为(一 9,6)或(一 9, 6).