2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：17利用导数证明不等式

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1、利用导数证明不等式建议用时： 45 分钟1(2019 ·福州模拟 )已知函数 f(x)eln x ax(aR)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 ae 时，证明： xf(x)ex 2ex0.e解 (1)f (x) xa(x0)若 a0，则 f(x)0，f(x)在(0， )上单调递增；ee若 a0，则当 0xa时， f (x) 0，当 xa时， f (x) 0，故 f(x)在 0，e上单调递增，在ea， 上单调递减aex(2)证明：法一：因为 x0，所以只需证 f(x) x 2e，当 a e 时，由 (1)知， f(x)在(0,1)上单调递增，在 (1， )上单调递减，所以 f(x

2、)max f(1) e.ex记 g(x) x 2e(x0)，x 1 ex则 g (x) x2 ，所以当 0 x1 时， g(x)0，g(x)单调递减，当x1 时， g(x) 0， g(x)单调递增，所以 g(x)min g(1) e.ex综上，当 x 0 时， f(x)g(x)，即 f(x) x 2e，即 xf(x)ex 2ex0.法二：由题意知，即证exln xex2ex2ex0，xe1设函数 g(x) ln xx2，则 g (x) x1.所以当 x(0,1)时， g(x)0，当 x (1， )时， g (x)0，故 g(x)在(0,1)上单调递增，在 (1， )上单调递减，从而 g(x)在

3、(0， )上的最大值为 g(1) 1.设函数exh(x) ex，则h(x)exx1 ex2.所以当 x(0,1)时， h(x)0，当 x (1， )时， h (x)0，故 h(x)在(0,1)上单调递减，在 (1， )上单调递增，从而 h(x)在(0， )上的最小值为 h(1) 1.综上，当 x 0 时， g(x) h(x)，即 xf(x)ex 2ex0.12(2018 ·全国卷 )已知函数 f(x) xxaln x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在两个极值点1，2，证明： f x1 f x2a2.xx12x x1ax2ax1解 (1)f(x)的定义域为 (0，

4、)，f(x) x21xx2.()若 a2，则 f(x)0，当且仅当 a 2， x 1 时 f(x) 0，所以 f(x)在 (0，)单调递减()若 a2，令 f(x)0，得 xa a24a a242或 x2.a a24a a2 4时， f(x) 0；当 x 0，22， 当 x a24，aa2 4时， f(x) 0.a22所以 f(x)在a2424， 上单调递减，在0， a， aa22a a2 4 a a24上单调递增2，2(2)证明：由(1)知， f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于 f(x)的两个极值点 x1，x2 满足 x2ax10，所以 x1x21，不妨设 x1x2，则x21.f

5、x1 f x2由于x1x2f x1 f x2所以x1x21ln x1 ln x2ln x1 ln x22ln x2 1 a 2 a 2a1，x x21x xx x1212x2 x2a2 等价于122ln x2 0.2 xx1设函数 g(x) xx 2ln x，由 (1)知， g(x)在 (0， )上单调递减，又g(1)0，从而当 x(1， )时， g(x)0.所以1 x22ln x2 ，即 f x1 f x2 a 2.x02x x123已知函数 f(x) ex，g(x) ln(xa)b.(1)当 b0 时， f(x)g(x)0 恒成立，求整数a 的最大值；(2)求证： ln 2(ln 3 ln

6、 2)2 (ln 4 ln 3)3 ln(n1) ln nne e1(nN )解 (1)现证明 ex x 1，设 F(x) exx 1，则 F(x)ex 1，当 x(0， )时， F(x) 0，当 x( ，0)时，F (x)0，所以 F(x) 在(0， )上单调递增，在( ，0)上单调递减，所以F(x)min F(0)0，即 F(x) 0 恒成立，即 exx1.同理可得 ln(x2)x 1，因为两个等号不能同时成立，所以ex ln(x2)，当 a 2 时， ln(x a)ln(x2)ex，所以当 a2 时， f(x)g(x) 0 恒成立当 a 3 时， e0 ln a，即 exln(xa) 0 不恒成立故整数 a 的最大值为 2.n1(2)证明：由(1)知 exln(x 2)，令 x，n n 1n1则 en lnn2 ，即 e n1 ln n 1 2 nln( n1)ln n n， n所以 e0e1 e2 en1 ln 2(ln 3 ln 2)2(ln 4 ln 3)3 ln(n1) ln nn，11en1e又因为 e0 e1e2 en1，所以 ln 2(ln 3 ln 2)2(ln 4 ln 3)3 ln(n 1)ln n n e . e1