离散数学课后答案

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1、第1章 习题解答11 除（3），（ 4），（ 5），（ 11）外全是命题，其中，（1），（ 2），（ 8），（ 9），（10），（ 14），（ 15）是简单命题，（6），（ 7），（ 12），（ 13）是复合命题。分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，（ 4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（ 8），（ 9），（ 10），（ 14），（ 15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联

2、结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然，但是 ”、“不仅，而且 ”、“一面，一面 ”、“和 ”、“与”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（ 15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。12 （1）p : 2是无理数，p 为真命题。（2）p : 5能被2 整除，p 为假命题。（6）p q 。其中，p :

3、2是素数，q：三角形有三条边。由于p 与q 都是真命题，因而p q 为假命题。（7）p q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p 为假命题，q 为真命题，因而p q 为假命题。（8）p : 2000年10 月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13 日）我们还不知道p 的真假，但p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。（10）p：小李在宿舍里. p 的真值则具体情况而定，是确定的。（12） p q ，其中，p : 4是偶数，q : 4是奇数。由于q 是假命题，所以，q为假命题，p q为真命题。（13）

4、p q，其中，p : 4是偶数，q : 4是奇数，由于q 是假命题，所以，p q 为假命题。（14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。（15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。13 令p : 2 + 2 = 4,q : 3 + 3 = 6,则以下命题分别符号化为（1）p q（2）p q（3）p q(4）p q（5） p q（6）p q（7）p q(8） p q以上命题中，（ 1），（ 3），（ 4），（ 5），（ 8）为真命题，其余均为假命题。分析本题

5、要求读者记住p q 及p q 的真值情况。p q 为假当且仅当p 为真,q 为假,而p q为真当且仅当p 与q 真值相同.由于p 与q 都是真命题，在4 个蕴含式中，只有（2）p r，其中，p 同（1）， r：明天为3 号。在这里，当p 为真时，r 一定为假，p r为假，当p 为假时，无论r 为真还是为假，p r为真。15 （1）p q，其中，p：2 是偶数，q：2 是素数。此命题为真命题。（2）p q ，其中，p：小王聪明，q：小王用功（3）p q ，其中，p：天气冷，q：老王来了（4）p q，其中，p：他吃饭，q：他看电视（5）p q ，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（6）p q

6、 ，其中，p，q 的含义同（5）（7）p q ，其中，p，q 的含义同（5）（8）p q ，其中，p：经一事，q：长一智分析1在前4 个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭， q：他一边看电视。2 后4 个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。p q 所表达的基本逻辑关系为，p 是q 的充公条件，或者说q 是p 的必要条件，这种

7、逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“ p 仅当q”“ 只有q 才p”“除非q，否则p ”“ 没有q，就没有p”等都表达了q 是p 的必要条件，因而都符号化为p q 或p q 的蕴含式。在（5）中，q 是p 的必要条件，因而符号化为p q，而在（6）（ 7）中，p成了q 的必要条件，因而符号化为q p。在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。16 （1），（ 2）的真值为0，（ 3），（ 4）的真值为1。分析1 （1）中公式含3 个命题变项，因而它应该有23 = 8个赋值：000，001 ， ， 111 题中指派p,

8、q 为0, r 为1 ，于是就是考查001 是该公式p (q r)的成真赋值，还是成假赋值，易知001 是它的成假赋值。2 在公式（2），（ 3），（ 4）中均含4 个命题就项，因而共有24 = 16个赋值：0000，0001，1111。现在考查0011 是它的成假赋值。1.7 （1），（ 2），（ 4），（ 9）均为重言式，（ 3），（ 7）为矛盾式，（5），（ 6），（8），（ 10）为非重言式的可满足式。一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式法等判断公式的类型。（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。真值表法表1.2 给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列

9、全为1，所以,（1）为重言式。等值演算法p ( p q r ) p ( p p r ) （蕴含等值式） (p p ) p r （结合律）p q r p q r p(p q r)0 0 0 0 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 11q r （排中律） 1 （零律）由最后一步可知，（1）为重言式。（2）用等值演算法判（2）为重言式。( p p ) p (p ) p （蕴含等值式） p p （等幂律） p p （蕴含等值式） 1 （排中律）（3）用等值演算法判（3）为矛盾式( p q ) q (pq ) q

10、（蕴含等值式） p q q （德摩根律） p (q q ) （结合律） p 0 （矛盾律） 0 （零律）由最后一步可知，（3）为矛盾式。（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。真值表法由表1.3 可知（5）为非重言式的可满足式。p q p p q q p (p q ) (q p )0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0主析取范式法(p q ) (q p )(p q) (q p) (p q) (q p) (p q ) q p p q(p 1) (1q) (p (q q ) (p p) q ) (p q ) (p q ) (p q ) ( p

11、 q ) (p q ) (p q ) (p q ). 0 1 2 m m m在（3）的主析取范式中不含全部（4 个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。其余各式的类型，请读者自己验证。分析1D 真值表法判断公式的类别是万能。公式A 为重言式当且仅当A 的真值表的最后一旬全为1；A 为矛盾式当且仅当A 的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A 的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。2D 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A 为重言式当且仅当A 与1 等值

12、；A 为矛盾式当且仅当A 与0 等值，当A 为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A 化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A 为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。(p p)q 0q （矛盾律）(p q) (q 0) （等价等值式）(0q) (q 0) （蕴含等值式） (1q ) q （同一律）1q （零律） q （同一律）到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p 取0 或1 值，只要q取0 值，原公式取值为1，即00 或10 都为原公式的成真赋值，而01，11 为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。用主析取范式判断公式的类型也是

13、万能的。A 为重言式当且仅当A 的主析取范式含2n（n为A 中所含命题变项的个数）个极小项；A 为矛盾式当且仅当A 的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A 为非重言式的可满足式当且仅当A 的主析取范式中含极小项，但不是完全的。当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A 为重言式当且仅当A 的主合取范式中不含任何极大项，此时记A 的主合取范式为1；A 为矛盾式当且仅当A 的主合取范式含2n个极大项（n 为A 中含的命题变项的个数）；A 为非重言式的可满足式当且仅当A 的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。1.8 （1）

14、从左边开始演算( p q ) ( p q) p (q q ) （分配律） p 1 （排中律） p. （同一律）（2）从右边开始演算p (q r ) p (q r ) （蕴含等值式）(p q) (p r) （分配律）(p q) (p r). （蕴含等值式）（3）从左边开始演算(p q) ( p q) (q p) (p q) (p q) (p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ).请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q )(p q)(p q) (p q ) ( p q ) (p q) (p q ) (q

15、p) (q q) (1 p q ) (q p) 1 ( p q) (q p)(p q).读者填上每步所用的基本的等值式。1.9 （1）(p q)p) ( p q ) p （蕴含等值式）(p q) p) （德摩根律） (p q ) (p) (q q ) ( p q) p q p （结合律、交换律） ( p p) q （矛盾式） 0. （零律）由最后一步可知该公式为矛盾式。（2）( p q) (q p) ( p q )(p q) p) （蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。（3）(p q)(q p) ( p q) (q p ) （蕴含等值式） (

16、p q) (q p ) （蕴含等值式）(p q)q p （德摩根律） q p （吸收律） p q. （交换律）由最后一步容易观察到，11 为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10 为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。1.10 题中给出的F，G，H，R 都是2 元真值函数。给出的5 个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。首先寻找在各联结词集中与F 等值的公式。（1）设A = ( p q )，易知A 是,中公式且与F 等值，即F A.（2）设B = p q ，易知B 是,中公式且与F 等值，即F B.（3）设C = (p q)，易

17、知C 是,中公式，且F C.（4）设D = ( p (q q) ( p (q q)，易知D 为中公式，且F D.（5）设E = ( p p) q ，易知E 为中公式，且F E.分析1 只要找到一个联结词集中与F 等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F 等值的公式。例如，已知A =(p q)是,公式，且F A。进行以下演算，就可以找到F 等值的其他联结词集中的公式。对A进行等值演算，消去联结词，用，取代，得A = ( p q )(p q) p q记为B.则B 为,中公式，且F B 。再对A 进行等值演算，消去，用，取代，得A =(p q) (p q)记为C.则C 为,中公式，且F

18、C 。再对B 进行演算，消去，用取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有A (A A) A A.B = p q p (q q ) ( p (q q) ( p (q q) ( p (q q) (p (q q )记为D.则D 为中公式，且F D.再对C 进行演算，消去,用取代，在演算中注意，对于任意的公式AA (A A) A A.C = (p q) p q ( p p ) q记为E.则E 为中公式，且F E.2 开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据该真值函数的真值表，求它的主析取范式，而后进行等值演算即可。例如，由G的真值表可知G 的主析取范式为，于是1 3 m m1 3

19、 G m m(p q) (p q) (p p) q q.由于公式q不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。3 在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。例如，取A = q q. (,中公式)B = q q. (,中公式)C = q q. (,中公式)D = (q q ) (q q). (中公式)E = (q q) (q q ). (中公式)则G AB C D E,对于同一个真值函数G，找到与它等值的形式各异的公式。对于H 和R，请读者自己去完成。1.11 （1）对C 是否为矛盾式进行讨论。当C 不是矛盾式时， A C B C，则一定有A B ，这是因为，此时，A C A,

20、B C B ，所以，有A A C B B必有A B而当C 不是矛盾式时，A C B C ，不一定有A B，举反例如下：设A,B,C 均为含命题变项p,q的公式，A，B，C 及A C,B C的真值表如表1.4 所示，从表1.4 可看出，A C B C ，但A B。表1.4(2) 对C 是否为重言式进行讨论:若C 为重言式,则A C A,C B,于是A A C B C B.因而有A B当C 不是重言式时,请读者举反例说明, A C B C 时, 不一定有A B .(3) 若A B,则A B .证明如下:A A (双重否定律) B ( A B ) B (双重否定律)所以A B1.12 (1) 设(1

21、)中公式为A.A(p (q r )(p q r)A ( p (q r ) ( p q r )A p (q r ) ( p q r )A (p q ) (q r ) ( p q r )p q A B C AVC BVC0011010100100011001100110011A (p q (r r ) (p q r ) r ) (p q r ) (p q r ) ( p q r )0 1 7 A m m m于是,公式A 的主析取范式为0 1 2 7 m m m m易知,A 的主合取范式为3 4 5 6 M M M MA 的成真赋值为000, 001, 010, 111A 的成假赋值为011,100

22、,101,110(2)设(2)中公式为BB (p q ) (q p ) (p q) (q p) ( p q ) (q p) ( p q ) (q p)(p q) q p q p (吸收律) (p q) ) p (q p) (p q) p ( p q ) (p q )0 2 3 m m m所以,B 的主析取范式为. 0 2 3 m m mB 的主合取范式为1 MB 的成真赋值为00,10,11.B 的成假赋值为01.(3)设(3)中公式为C.C ( p q) q r(p q)q r p (q q ) r p 0r 0.所以,C 的主析取范式为0.C 的主合取范式为0 1 2 3 M M M MC

23、 的成假赋值为00,01,10,11C 无成真赋值,C 为矛盾式.分析1设公式A 中含n(n 1)个命题变项,且A 的主析取范式中含l (0 l 2n )个极小项,则A的主合邓范式中含2n l 个极大项,而且极大项的角标分别为0 到2n 1这2n个十进制数中未在A 的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.在(1)中,n=3,A 的主析取范式中含4 个极小项,所以,A 的主合取范式中必含23 4 = 4个极大项,它们的角标为0到7 中未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6. 这样,只要知道A 的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在(2),(3)中情况类似.2 A 的主析取

24、范式中极小项角标的二进制表示即为A 的成真赋值.在(1)中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A 的成真赋值为以上各值.类似地,A 的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A 的成假赋值.1.13 (1) 首先求p (q r )的主析取范式.错误！链接无效。 p (q r )p q r) .由于演算过程较长,可以分别先求出由p,q,r派生的极小项.注意,本公式中含3 个命题变项,所以,极小项长度为3.p p (q q) (r r ) (p q r ) (p q r ) (p q r ) (p q r )0 1 2

25、 3 m m m mp (p p)q (r r) (p q r ) (p q r ) (p q r ) ( p q r )0 1 4 5 m m m mr (p p) (q q ) r(p q r) (p q r) ( p q r ) ( p q r )1 31 5 7 m m m m0 1 2 3 4 5 7 p (q r ) m m m m m m m类似地,可求出q (p r )主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,( p (q r ) (q ( p r ).(2) p q (p q) p q课后答案网 16 (p (q q ) (p p) q) (p q) (p q

26、 ) (p p ) ( p q ) (p q) (p q ) (p p). 0 1 2 m m mp q ( p q ) p q. 0 m由于p q与p q 的主析取范式不同.因而它们不等值,即p q p q .1.14 设p:A 输入;设q:B 输入;设r:C 输入;由题的条件,容易写出的真值表,见表1.5 所示.由真值表分别写出A B C F ,F ,F它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的中的公式即可.表1.5F ( p q r ) ( p q r ) (p q r ) ( p q r ) A p q r FA FB C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01

27、0 11 1 01 1 1000011110011000001000000 ( p q ) (r r ) (p q) (r r ) ( p q ) (p q) p ( p q) ( p q ) ( p q ) ( p q) ( p p)FB ( p q r ) ( p q r ) (p q ) (r r ) (p q ) (p q ) ( p q) p q) p (q q) .F ( p p r ) C (p q) r ( p q ) r ( p q ) r ( p q ) r ( p q) r ( p q ) ( p q) (r r ) 分析在将公式化成或中公式时,应分以下几步:(1)先将公

28、式化成全功能集,中的公式.(2) 使用A (A A) A A,或A (A A) A A.使用双重否定律A B (A B ) (A B ) (A B) (A B)或A B (A B ) (A B ) (A B) (A B)使用德摩根律A B (A B ) (A B) A B (A A) (B B )或A B (A B ) (A B) A B (A A) (B B )115 设p：矿样为铁；q：矿样为铜；r：矿样为锡.设F1 (甲全对) (乙对一半) (丙全错)， (p q ) (p r ) (p r ) (p r )(p q p r p r ) (p q p r p r ) 0 0 0 .( )

29、 ( ) ( ) 2 F 甲全对 乙全错 丙对一半(p q) (p r ) (p r ) (p r) (p q p r p r ) (p q p r p r )( ) ( ) ( ) 3 F 甲对一半 乙全对 丙全错 (p q ) ( p q ) (p r ) (p r ) (p q p r p r ( p q p r p r ) (p q r ) 0 p q r.( ) ( ) ( ) 4 F 甲对一半 乙全错 丙全对 (p q) ( p q ) ( p r ) ( p r ) (p q r p r (p q p r p r) 0 ( p q r ) p q r.( ) ( ) ( ) 5

30、F 甲会错 乙对一半 丙全对(p q) (p r ) (p r) (p r) ( p q p r p r ( p q p r p r ) 0 0 0. 0 0 0( ) ( ) ( ) 6 F 甲全错 乙全对 丙对一半 ( p q ) (p r ) ( p r ) (p r ) ( p q p r p r (p q p r p r) 0 0 0.设F (一人全对) (一人对一半) (一人全错)则F 为真命题，并且1 2 3 4 5 6 F F F F F F F (p q r ) (p q r ) 1.但， 矿样不可能既是铜又是锡， 于是q,r 中必有假命题， 所以p q r 0,因而必有p

31、q r 1.于是，必有P 为真，q 与r 为假，即矿样为铁。1.16 令p：今天是1 号；q：明天是5 号.由于本题给出的推理都比较简单，因而可以直接判断推理的形式结构是否为重言式。（1）推理的形式结构为( p q) p q.可以用多种方法判断上公式为重言式，其实，本推理满足假言推理定律，即( p q) p q.所以，推理正确。（2）推理的形式结构为( p q) p q.课后答案网 21可以用多种方法证明上公式不是重言式，其实，当p 为假（即今天不是1号）， q 为真（明天真是5 号），也即01 是上面公式的成假赋值，所以，推理的形式结构不是重方式，故，推理不正确。（3）推理的形式结构为(p

32、q)p q.可以用多种方法证明上面公式为重言式，其实，它满足拒取式推理定律，即( p q) p q.所以，推理正确。（4）推理的形式结构为( p q) p q.可以用多种方法证明上公式不是重言式， 01 为上公式的成假赋值，所以，推理不正确。分析对于前提与结论都比较简单的推理，最好直接判推理的形式结构是否为重言式，来判断推理是否正确，若能观察出一个成假赋值，立刻可知，推理不正确。117 (1)证明q r 前提引入r 前提引入q 析取三段论( p q) 前提引入p q 置换p 析取三段论（2）证明p (q s) 前提引入q (q s ) 置换q 前提引入p s 假言推理p r 前提引入r p 置

33、换r s 假言三段论（3）证明p 附加前提引入p q 前提引入q 假言推理p q 合取(4）证明 前提引入(s t ) (t s ) 置换 化简t r 前提引入ts 假言推理 前提引入(q s) (s q ) 置换s q 化简q 似言推理q p 前提引入p 假言推理r 化简p q s r 合取1.18 设p：他是理科生q：他是文科生r：他学好数学前提p r , q p,r结论q通过对前提和结论的观察，知道推理是正确的，下面用构造证明法给以证明。证明 p r 前提引入r 前提引入p 拒取式q p 前提引入q 拒邓式q 置理119 本题可以用多种方法求解，根据要求回答问题，解本题最好的方法是真值表

34、示或主析取范式法。这里采用主析取范式的主析取范式（过程略）p (q r )2 4 5 6 7 m m m m m所以，成真赋值为010，100，101，110，111，由给也，成假赋值为000，001，011，由给出，公式是非重言式的可满足式，由给出。120 答案A：； B：； C：分析解本题的方法不限于求主析取范式或主合取范式，也可以利用真值表法。方法1： 求主析取范式( p q) r ( p q) r(p q) (r r) (p p) (q q) r1 3 5 6 7 m m m m m从上式可知，(p q)r 的主析取范式中含5 个极小项。极小项角码的二进制表示为成真赋值，因而成真赋值为

35、001，011，101，110，111。由成真赋值立即可知成假赋值为000，010，100，成假赋值的十进制的十进表示为极大项的角码，因而极大项为，故有3 个极大项。0 2 4 M ,M ,M方法2：求主合取范式，分析类似主析取范式法。方法3：真值表法由真值表，求出成真赋值，将成真赋值转化成十进制数做为极小项的角码，这样就求出了全部极小项，也容易求出极大项。121 答案A：； B：； C：分析可用构造证明法解此题。（1） q r 前提引入r 前提引入课后答案网 25q 析取三段论( p q ) 前提引入p q 置换p 析取三段论至此可知p 是（1）的逻辑结论。（2） r s 前提引入s 前提引

36、入r 析取三段论( p q ) r 前提引入(p q) 置换p q 置换至此可知p q 是（2）的国逻辑结论。（3） p q 前提引入p q 置换前提引入q r 前提引入q r 置换p r 假言推理r s 前提引入p s 假言推理至此可知p s是（3）的逻辑结论。122 答案A：分析在本题中，设A，B，C 分别表示3 个开关状态的命题变项，开关的扳键向上时，对应命题变项的真值为1，否则为0，由真值表易知。F (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) A (B C) (B C) A (B C) (B C)(A (B C) (A (B C) (B C) (A (B C) (A

37、 (B C) (B C) (A (B C) (A (B C) A B C第2 章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.(1) 令F (x ) : x是鸟G(x) : x会飞翔.命题符号化为x (F(x) G(x) .(2)令F (x ) : x为人.G(x) : x爱吃糖命题符号化为x(F(x)G(x)或者x(F(x) G(x )(3)令F (x) : x为人.G(x) : x爱看小说.命题符号化为x(F(x) G(x) .(4) F (x) : x为人.G(x) : x爱看电视.命题符号化为x (F (x) G(x ) .分析1如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域

38、，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。2 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为课后答案网 28x (F(x) G(x)即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词而不能使用。若使用，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。3 （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（ 4）中两公式各为等值的。2.2 (1)d (a),(b),(c)中均

39、符号化为xF(x)其中F(x) : (x +1) 2 = x 2 + 2x +1,此命题在(a),(b),(c )中均为真命题。（2） 在(a),(b),(c)中均符号化为xG(x)其中G(x) : x + 2 = 0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。（3）在(a),(b),(c)中均符号化为xH(x)其中H(x) : 5x = 1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。分析1命题的真值与个体域有关。2 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸”。在个体域为人类集合时，应符号化为xF(x)这里，F (x) : x呼吸，没有引入特性谓词

40、。在个体域为全总个体域时，应符号化为x (F(x) G(x )这里，F (x ) : x为人，且F(x)为特性谓词。G(x) : x呼吸。课后答案网 2923 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。（1） 令：F (x) : x是大学生，G(x) : x是文科生，H(x) : x 是理科生，命题符号化为x (F(x) (G(x) H (x )（2）令F (x ) : x是人，G(y ) : y是化，H (x ) : x喜欢，命题符号化为x(F(x) y (G(y ) H (x , y )（3）令F(x ) : x是人，G(x) : x犯错误，命题符号化为x (F (x) G(x),或另一

41、种等值的形式为x (F(x) G(x )（4）令F(x ) : x在北京工作，G(x) : x是北京人，命题符号化为x(F(x) G(x ),或x(F(x) G(x),（5）令F(x ) : x是金属，G(y ) : y是液体，H (x, y) : x溶解在y 中，命题符号化为x (F(x) y(G(y ) H (x, y ).（6）令F(x) : x与y 是对顶角，H(x, y) : x与y 相等，命题符号化为xy(F (x, y)H(x, y).分析（2），（ 5），（ 6）中要使用2 无谓词，用它们来描述事物之间的关系。2.4 （1）对所有的x，存在着y，使得x y = 0，在(a),

42、(b )中为真命题，在(c),(d )中为假命题。（2）存在着x , 对所有的y，都有x y = 0 ，在(a), (b ) 中为真命题，在(c), (d )中为假命题。课后答案网 30（3）对所有x，存在着y，使得x y =1，在(a),(b)(c)中均为假命题，而在(d )中为真命题。（4）存在着x，对所有的y，都有x y =1，在(a),(b)(c)(d )中都是假命题。（5）对所有的x，存在着y，使得x y = x在(a), (b)(c)(d )中都是真命题。（6）存在x，对所有的y，都有x y = x，在(a), (b) 中为真命题，在(c)(d )中为假命题。（7）对于所有的x 和

43、y，存在着z，使得x y = z ，在(a),(b)中为真命题，在(c)(d )中为假命题。2.5 （1）取解释为：个体域（实数集合）， 为有理数， 1 I D = R F (x ) : xG(x) : x能表示成分数，在下， 的含义为1 I x(F(x) G(x)“对于叙何实数x 而言，若x 为有理数，则x 能表示成分数”，简言之为“有理数都能表示成分数。”在此蕴含式中，当前件F(x)为真时，后件G(x)也为真，不会出现前件为真，后件为假的情况，所以在下， 为真命题。1 I x (F(x) G(x)在在下， 的含义为1 I x(F(x) G(x)“对于任何实数x,x 既为有理数，又能表示成分

44、数。”取x = 2 ，则F( 2) g ( 2) 显然为假，所以，在下， 1 I x(F(x) G(x)为假命题.(2) 取解释为:个体域D=N(自然数集合), 为奇数, 为偶2 I F(x) : x G(x) : x数,在下, 的含义为I 2 x(F(x) G(x )“存在自然数x,x 发既为奇数，又为偶数。”取x = 2 ，则F(2)为假，于是F(2) G(2)为真，这表明x(F(x) G(x)为真命题。分析本题说明x (F (x ) G(x) x (F (x ) G(x ),课后答案网 31x(F(x) G(x) x (F(x) G(x ),这里，A B 表示A 与B 不等值，以后遇到，

45、含义相同。在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词（如题中的F(x)之后，全称量词后往往使用联结词而不使用，而存在量词后往往使用，而不使用，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。26 在解释R 下各式分别化为（1）x(x 0);（2）xy (x y x);（3）xyz(x y)(x z y z);（4）xy (x y，在下，A 的含义为1 I课后答案网 32“对于任意的整数x 和y，如果x 为正整数，y 为负整数，则x y 。”这是真命题。设解释：个体域D=R（R 整数集合）， 为有理数， 为无理数， I 2 F (x ) : x G(y ) : yL(x, y ) :

46、 x y，在下，A 的含义为2 I“对于任意的实数x 和y，如果x 为有理数，y 为元理数，则x y 。”这是假命题。分析闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释I, 使得闭式在I下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。而非封闭的公式就没有这个特征。2.9 取( ( , ), ( , ) 和，则和都是非土产的1 A = L f x y g x y ( ( , ), ) 2 A = x f x y x 1A2 A公式，在中，x, y 都是自由出现的，在中，y 是自出现的。1A A2取解释I 为， 个体域D=N （ N 为自然数集合） ，f (x, y, ) = x + y,g (x, y)

47、 = x y L(x, y ) 为x = y 。在I 下， 为为假， 1A x + y = x y所以在I 下， 真值不确定，即在I 下的真值也是命题。1A2 A在I 下， 为当时，它为真； 时为假，在I 下A2 x (x + y = x), y = 0 y 0 A2的真值也不确定。分析非闭式与闭式的显著区别是，前者可能在某些解释下，真值不确定，而后者对于任何解释真值都确定，即不是真就是假。当然非闭式也可以是逻辑有效式（如F(x) F(x)），也可能为矛盾式（如F(x) F (x )，也可能不存在其值不确定的解释。210 （1）xA(x) (A(a ) A(b) A(c) （消去量词等值式）A

48、(a)A(b)A(c) （德摩根律） xA(x ) （消去量词等值式）（2）xA(x ) (A(a ) A(b) A(c) （消去量词等值式）课后答案网 33A(a) A(b)A(c ) （德摩根律） xA(x) （消去量词等值式）211 （1） 令F (x) : x为人。G(x) : x长着绿色头发。本命题直接符号化验为x (F (x ) G(x ) 而x(F (x)G(x) x(F(x) G(x) （量词否定等值式） x (F(x) G(x ) （德摩根律）x(F(x)G(x) （蕴含等值式）最后一步得到的公式满足要求（使用全称量词），将它翻译成自然语言，即为“所有的人都不长绿色头发”。可

49、见得“没有人长着绿色头发。”与“所有人都不长绿色头发。”是同一命题的两种不同的叙述方法。（2）令F (x ) : x是北京人G(x) : x 去过香山。命题直接符号化为x(F(x) G(x)而x (F(x) G(x)x(F (x)G(x) （双重否定律） x(F (x ) G(x) （理词否定等值式） x(F (x ) G(x ) （德摩根律）x(F (x)G(x) （蕴含等值式）课后答案网 34最后得到的公式满足要求（只含全称量词），将它翻译成自然语言，即为“并不是北京人都去过香山。”可见，“有的北京人没过过香山。”与“并不是北京人都去过香山。”是同一命题不同的叙述方法。2.12 （1） x

50、F(x ) yG(y ) (F(a) F(b ) F(c) (G(b) G(c).（2） xF(x) yG(y) xF(x ) yG(y ) （量词辖域收缩扩张等值式） (F (a) F(b) F(c) (G(a ) G(b) (c).（3） xyH (x, y ) x(H(x,a) H (x ,b) H (x,c) (H(a ,a) H (a,b ) H(x,c) (H (b,a ) H (b,b) H(b,c ) (H (c,a) H (c ,b) H (c,c )分析在有穷个体域内消去量词时，应将量词的辖域尽量缩小，例如，在（2）中，首先将量词辖域缩小了（因为yG(y)中不含x，所以，可以缩小）。否则，演算是相当麻烦的。见下面的演算：x(F (x) yG(y) (F(a) yG(y ) (F (b) yG(y ) F(c) yG(y ) (F (a) (G(a ) G(b) G(c) (F (b) (G(a) G(c) (F (c ) (G(a) G(b ) G(c )(F (a)