统计学综合指标

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1、 综合指标 综综合指标从它的作用和方法特点的角度可概合指标从它的作用和方法特点的角度可概括为四类括为四类： 总量指标总量指标相对指标相对指标平均指标平均指标变异指标变异指标概念：概念： 一、总量指标的概念和作用一、总量指标的概念和作用 总总量指标是反映社会经济现象一定时间、地点、条件量指标是反映社会经济现象一定时间、地点、条件下总的规模、水平的统计指标下总的规模、水平的统计指标。 总总量指标表现形式是绝对数，也可表现为绝对差数量指标表现形式是绝对数，也可表现为绝对差数。 第一节第一节 总量指标总量指标( (绝对指标绝对指标) )作用作用 : :总总量指标能反映一个国家的基本国情和量指标能反映一

2、个国家的基本国情和国力，反映某部门、单位等人、财、国力，反映某部门、单位等人、财、物的基本数据物的基本数据 。 总总量指标是进行决策和科学管理的依据量指标是进行决策和科学管理的依据之一之一 。 总总量指标是计算相对指标和平均指标的量指标是计算相对指标和平均指标的基础。基础。 工工资资总总额额平平均均工工资资工工人人人人数数工工人人人人数数每每个个企企业业平平均均工工人人数数企企业业数数例例-总总体单位总量体单位总量 说明总体的单位数数量。说明总体的单位数数量。-标标志总量志总量 说明总体中某个标志值总和的量。说明总体中某个标志值总和的量。二、二、 总量指标的分类总量指标的分类 单击此处编辑母版

3、标题样式出生人数出生人数人口总数人口总数死亡人数死亡人数t1时段时段t2时段时段t3时段时段t关于一个人口总体的总量指标关于一个人口总体的总量指标时时期期指指标标时时点点指指标标统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理按其反映的时间状况不同可分为：按其反映的时间状况不同可分为：时时期指标期指标 反映现象在某一时期发展过程的总反映现象在某一时期发展过程的总数量。数量。( (可连续计数，与时间长短有关，是累计可连续计数，与时间长短有关，是累计结果结果) )时时点指标点指标 反映现象在某一时刻的状况。反映现象在某一时刻的状况。 ( (间断计数，与时间间隔无关，不能累计间断计数，与时间间隔无关，不能

4、累计) )单击此处编辑母版标题样式统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理计算原则：计算原则： 3.3.计计量单位必须一致。量单位必须一致。 2.2.明明确的统计含义。确的统计含义。 1.1.现现象的同类性。象的同类性。 三、三、 总量指标的计算总量指标的计算 根据总量指标所反映的社会经济现象根据总量指标所反映的社会经济现象性质不同，计量单位分三种形式：性质不同，计量单位分三种形式： (1)(1) 实实物单位物单位a.a.自然单位：辆、双、头、根、个自然单位：辆、双、头、根、个 b. b. 度量衡单位：吨、米、克、立方米度量衡单位：吨、米、克、立方米 c. c. 双重单位：公里双重单位：公里

5、/ /小时、人小时、人/ /平方公里平方公里d. d. 复合单位：吨公里、公斤米、千瓦小时复合单位：吨公里、公斤米、千瓦小时 对有些性质相同但规格或含量不同的产品总对有些性质相同但规格或含量不同的产品总量的计算，要按折合标准实物量的方法计算。量的计算，要按折合标准实物量的方法计算。例如例如，能源统计以标准燃料每千克发热量，能源统计以标准燃料每千克发热量7000Kcal7000Kcal为标准单位。为标准单位。(2) (2) 价价值单位值单位( (货币单位货币单位) ) 货币单位有现行价格和不变价格之分货币单位有现行价格和不变价格之分。 价值单位使不能直接相加的产品产量过渡价值单位使不能直接相加的

6、产品产量过渡到能够加总，用于综合说明具有不同使用到能够加总，用于综合说明具有不同使用价值的产品生产总量或商品销售量等的总价值的产品生产总量或商品销售量等的总规模、总水平规模、总水平。(3) (3) 劳劳动单位动单位 工时工时 工人数和劳动时数的乘积；工人数和劳动时数的乘积； 台时台时 设备台数和开动时数的乘积。设备台数和开动时数的乘积。 例例 由于具体条件不同，不同企业的劳动量指标不由于具体条件不同，不同企业的劳动量指标不具有可比性，因此，劳动量指标只限于企业内具有可比性，因此，劳动量指标只限于企业内部使用。部使用。单击此处编辑母版标题样式甲企业甲企业乙企业乙企业利润利润总额总额资金资金占用占

7、用资金利资金利润率润率500万元万元 5000万元万元 3000万元万元40000万元万元16.7%12.5%可比可比统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理第二节第二节 相对指标相对指标 是两个有联系的绝对指标之比。是两个有联系的绝对指标之比。 20052005年我国对外贸易进口总额增长率为年我国对外贸易进口总额增长率为16.1%16.1%，出口总额增长率为，出口总额增长率为25.7%25.7%。例例一、相对指标的概念一、相对指标的概念 企业甲乙8月份劳动生产率(万元)20.567月份劳动生产率(万元)1.940.528月比7月发展速度（%）103.09107.69+ 600元+ 400元

8、 从上表中看来，好象甲厂比乙厂劳动生从上表中看来，好象甲厂比乙厂劳动生产率高产率高 （ 600400 600400）；而将其换算成相）；而将其换算成相对指标，实际发展速度是乙厂大于甲厂。由对指标，实际发展速度是乙厂大于甲厂。由此可看出相对指标可以弥补总量指标的不足。此可看出相对指标可以弥补总量指标的不足。例例单击此处编辑母版标题样式统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式 统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式 总人数总人数30人人男生人数男生人数20人人女生人数女生人数10人人男生比重为男生比重为2/3女生比重为女生比重为1/3男女比例为

9、男女比例为2:1总总量量指指标标非非总总量量指指标标相相对对指指标标统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式二、二、统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理100%实实际际完完成成数数计计划划完完成成相相对对数数计计划划数数( (一一) ) 计划完成相对指标计划完成相对指标 二、相对指标的种类及其计算二、相对指标的种类及其计算1.1.计计算公式算公式(1) (1) 根根据绝对数来计算计划完成相对数据绝对数来计算计划完成相对数 220100%110%200总产值计划完成相对数计算结果表明该厂超额10%完成总产值计划。 设某工厂某年计划工业总产值为200万元，实际完成2

10、20万元，则： (2) (2) 根根据平均数来计算计划完成相对数据平均数来计算计划完成相对数 100%实实际际平平均均指指标标计计算算公公式式为为：计计划划平平均均指指标标 某化肥厂某年每吨化肥计划成本为某化肥厂某年每吨化肥计划成本为200200元，实元，实际成本为际成本为180180元，则：元，则： %90%100200180成本计划完成相对数实际单位成本实际单位成本- -计划单位成本计划单位成本=180-200=-20(=180-200=-20(元元) )计算结果表明该厂化肥单位成本实际比计划降计算结果表明该厂化肥单位成本实际比计划降低了低了10%10%，平均每吨化肥节约生产费用，平均每吨

11、化肥节约生产费用2020元。元。例例(3)(3)根根据相对数来计算计划完成相对数据相对数来计算计划完成相对数 某企业生产某产品，上年度实际成本为某企业生产某产品，上年度实际成本为420元元/吨，吨，本年度计划单位成本降低本年度计划单位成本降低6%，实际降低，实际降低7.6%，则：，则： 比计划多完成比计划多完成1.71%；%29.98%100%61%6 . 71对数成本降低率计划完成相例例本题也可换算成绝对数计算本题也可换算成绝对数计算： %29.98%1008 .39408.388计划 -6% 394.8元/吨 (1-6%) 420实际 7.6% 388.08元/吨 (1-7.6%) 420

12、 某企业计划规定劳动生产率比上年提高10%，实际比上年提高15%，则： 劳动生产率超额4.5%完成计划任务。 %5 .104%100%101%151对数劳动生产率计划完成相例例以五年计划来说明这个问题。以五年计划来说明这个问题。 2.2.长长期计划的检查期计划的检查(1) (1) 水水平法平法 计算公式为计算公式为： 100%五五年年计计划划末末年年实实际际达达到到的的水水平平五五年年计计划划完完成成程程度度五五年年计计划划中中规规定定的的末末年年水水平平 某产品计划规定第五年产量某产品计划规定第五年产量5656万吨，实际第五年万吨，实际第五年产量产量6363万吨，则万吨，则： 那么，提前多少

13、时间完成计划？%5 .112%1005663计划完成程度例例月份月份第四年第四年第五年第五年一一3.54二二3.54三三44四四3.85五五45六六3.85七七45)八八(46)九九(56十十56十十一一56十十二二47合计合计49.663第四年9月 第五年8月 产量合计57万吨第四年8月 第五年7月 产量合计55万吨 现假定第四年、第五年各月完成情况如下现假定第四年、第五年各月完成情况如下： (单位：万吨)正好生产正好生产5656万吨的时间应是第四年八月第万吨的时间应是第四年八月第X X天到天到第五年八月第第五年八月第(31-X)(31-X)天。图示如下：天。图示如下： 5631316513

14、14 )(XX X = 15.5 (天)即提前四个月又15天半完成五年计划。 51(31-x)56(31-x)xx第四年9月第五年7月第四年8月第五年8月（2 2） 累累计法计法 计算公式为：计算公式为： 100%五五年年计计划划期期间间实实际际累累计计完完成成数数五五年年计计划划完完成成程程度度五五年年计计划划规规定定的的累累计计数数 某五年计划的基建投资总额为2200亿元，五年内实际累计计划完成2240亿元，则： 假定计划提前完成，如果2001-2005年间基建投资总额计划为2200亿元，实际至2005年6月底止累计实际投资额已达2200亿元，则提前半年完成计划。 %8 .101%1002

15、2002240计划完成程度例例( (二二) ) 结结构相对指标构相对指标 计算公式为：计算公式为： 100%总总体体某某部部分分数数值值结结构构相相对对数数总总体体全全部部数数值值 上海上海“十五十五”期间期间GDPGDP构成（构成（% %） 第一产业第一产业第二产业第二产业第三产业第三产业2001年1.7347.5850.692002年1.6347.4250.952003年1.4950.0948.422004年1.3050.8547.852005年0.8748.9550.18例例( (三三) ) 比比例相对指标例相对指标 计算公式为：计算公式为： 总总体体中中某某部部分分数数值值比比例例相相

16、对对数数总总体体中中另另一一部部分分数数值值常常用的比例形式有两种：用的比例形式有两种： 1. 1. 将作为比较基础的数值抽象化为将作为比较基础的数值抽象化为1 1、1010、100100或或10001000，看被比较的数值是多少。，看被比较的数值是多少。 我国2000年第五次人口普查结果，男女性别比例为106.74 : 100，这说明以女性为100，男性人口是女性人口数的106.74倍。简称性比例106.74。目前已上升到116.86：100。 例例2. 2. 首先将总体全部数值抽象化为首先将总体全部数值抽象化为100100，求得，求得各部分数值在总体中所占百分数，然后将各各部分数值在总体中

17、所占百分数，然后将各部分的百分数连比得比例相对数。部分的百分数连比得比例相对数。 2005年上海GDP抽象化为100，第一产业、第二产业、第三产业的比例为：0.8748.9550.18。 例例( (四四) ) 比比较相对指标较相对指标( (类类比相对指标比相对指标) ) 计算公式为：计算公式为： 100%某某条条件件下下的的某某类类指指标标数数值值比比较较相相对对数数另另一一条条件件下下的的同同类类指指标标数数值值 计计算比较相对数时，作为比较算比较相对数时，作为比较基数的分母可取不同的对象，一般基数的分母可取不同的对象，一般有两种情况：有两种情况： 比比较标准是一般对象较标准是一般对象，如：

18、这时，分子与分母的位置可以互换。分子与分母的位置可以互换。 %100)()(同类现象的水平单位乙地区某一现象的水平单位甲地区比较相对数 比比较标准较标准( (基数基数) )典型化典型化，如： 把企业的各项技术经济指标都和国家规定的质量水平比较，和同类企业的先进水平比较，和国外先进水平比较等，这时，分子与分母的位置不能互分子与分母的位置不能互换。换。 某年有甲、乙两企业同时生产一种性能相同的产品，甲企业工人劳动生产率为19,307元，乙企业为27,994元。%69%1002799419307相对数两企业劳动生产率比较说明甲企业劳动生产率比乙企业低31% 。例例( (五五) ) 强强度相对指标度相

19、对指标 计算公式为：计算公式为： 某某一一总总量量指指标标数数值值强强度度相相对对数数另另一一性性质质不不同同但但有有一一定定联联系系的的总总量量指指标标数数值值 一般用复名数表示；一般用复名数表示； 也有少数用百分数或千分数表示也有少数用百分数或千分数表示。 1.1.强强度相对数的数值表示有两种方法：度相对数的数值表示有两种方法：用百分数表示说明平均每百元销售额负担多少流通费。产值利润率、资金利润率一般用千分数表示。 纯销售额流通费用额商品流通费用率 例例某城市人口100万人，有零售商业机构5000个，则：)/(20050001000000)/(510000005000个人个人商业网密度的逆

20、指标千人个人个商业网密度的正指标例例2.2.有有些强度相对数有正、逆两种计算方法：些强度相对数有正、逆两种计算方法：( (六六) ) 动动态相对指标态相对指标 计算公式为：计算公式为： 100%报报告告期期水水平平动动态态相相对对数数基基期期水水平平基基期期 作为对比标准的时间作为对比标准的时间报报告期告期 同基期比较的时期，也称计算期同基期比较的时期，也称计算期 单击此处编辑母版标题样式使用相对指标应注意的问题使用相对指标应注意的问题统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式正确选择对比基础正确选择对比基础经济效益指数经济效益指数某经济效益指标实际值某经济效益指标实际

21、值该经济效益指标标准值该经济效益指标标准值价格定基指数价格定基指数某期价格水平某期价格水平某固定基期的价格水平某固定基期的价格水平统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式注意指标间的可比性注意指标间的可比性2000年的工业总产值（当年价格）年的工业总产值（当年价格）1980年的工业总产值（当年价格）年的工业总产值（当年价格）1980年中国的国民收入（人民币元）年中国的国民收入（人民币元）1980年美国的国民收入（美元）年美国的国民收入（美元）统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式相对指标应当结合总量指标使用相对指标应当结合总量指标使用统计学

22、统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式结构相对数结构相对数比例相对数比例相对数比较相对数比较相对数动态相对数动态相对数计划完成相对数计划完成相对数强度相对数强度相对数多种相对指标应当结合运用多种相对指标应当结合运用统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式人口性别比人口性别比为为1.03：1男性人口的男性人口的比重为比重为50.8比比1980年末的年末的9.9亿人增加亿人增加了了28人口密度是人口密度是美国的美国的4.5倍倍人口密度为人口密度为130人人/平方公里平方公里人口出生率人口出生率为为15.23女性人口的女性人口的比重为比重为49.2统计

23、学统计学第三章第三章 统计整理统计整理2.2.相相对指标要和总量指标结合起来运用。对指标要和总量指标结合起来运用。 1.1.注注意二个对比指标的可比性。意二个对比指标的可比性。三、正确运用相对指标的原则三、正确运用相对指标的原则年份钢产量(万吨)发展速度(%)增长量(万吨)增长1%绝对值(万吨)1949 1950 15.8 61100.0 386 - 45.2 - 0.161978 19793178 3448 100 108.5 - 270 - 31.8 1986 1987 5220 5628 100 107.8 - 408 - 52.2我国历年钢产量发展情况 1001基期水平增长百分比增长量

24、绝对值增长 %例例4.4.在在比较二个相对数时，是否适宜相除再求一个比较二个相对数时，是否适宜相除再求一个相对数，应视情况而定。若除出来有实际意义，相对数，应视情况而定。若除出来有实际意义，则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用百分点则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用百分点表示之。表示之。( (百分点百分点 即百分比中相当于百分之一的单位即百分比中相当于百分之一的单位) ) 3.3.多多种相对数结合运用种相对数结合运用第三节第三节 平均指标平均指标 2.2.特特点点 - - 数量抽象性数量抽象性 - - 集中趋势代表性集中趋势代表性1.1.概概念念 平均指标是指在同质总体内将各单位某平均指标是

25、指在同质总体内将各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平。体条件下的一般水平。 一、平均指标的意义和作用一、平均指标的意义和作用 - 比比较作用较作用 a. a. 同类现象在不同空间的对比。同类现象在不同空间的对比。 b. b. 同一总体在不同时间上的比较。同一总体在不同时间上的比较。 - 利利用平均指标可以分析现象之间的依存关系用平均指标可以分析现象之间的依存关系 - 利利用平均指标可以进行数量上的推算，还可以用平均指标可以进行数量上的推算，还可以作为论断事物的一种数量标准或参考作为论断事物的一种数量标准或参考3.3.作作用用

26、 4.4.种种类类 算术平均数算术平均数数值平均数数值平均数调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 众数众数位置平均数位置平均数中位数中位数hXoMeMGXX总总体体标标志志总总量量算算术术平平均均数数总总体体单单位位总总数数1.1.算算术平均数的基本公式术平均数的基本公式二、算术平均数二、算术平均数 XXn式中式中： 算术平均数 X 各单位的标志值 n 总体单位数 总和符号X2.2.简简单算术平均数单算术平均数X fXf式中式中： 算术平均数 X 各组数值 f 各组数值出现的次数(即权数)X3.3.加加权算术平均数权算术平均数设某厂职工按日产量分组后所得组距数列如下，据此求平均日产量。按

27、日产量分组(千克) 60 以下60 7070 8080 90 90 100100 110 110 以上合 计组中值X(千克) 55 65 75 85 95105115-工人数f(人) 10 19 50 36 27 14 8 164Xf 550 1235 3750 3060 2565 1470 920 13550)(62.8216413550千克平均日产量ffXX例例fXfXXff在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数系数来求加权算术平均数，其公式为：系数来求加权算术平均数，其公式为：按日产量分组(千克) 60 以下60 7070 8080 90 90

28、100 100 110 110 以上合 计组中值X(千克) 55 65 75 85 95105115-工人数f (人)f 10 19 50 36 27 14 8164f / f 0.060.120.300.220.160.090.051.00 3.3 7.8 22.5 18.7 15.2 9.45 5.75 82.7ffX加加权算术平均数受两因素的影响：权算术平均数受两因素的影响： -变量值大小的影响。变量值大小的影响。-次数多少的影响次数多少的影响。X 而简单算术平均数只反映变量值大小这一而简单算术平均数只反映变量值大小这一因素的影响。因素的影响。加加权算术平均数与简单算术平均数不同在于：权

29、算术平均数与简单算术平均数不同在于： 各各个变量值与算术平均数离差之和等于零个变量值与算术平均数离差之和等于零4.4.算算术平均数的数学性质术平均数的数学性质 0)(XX简单平均数：加权平均数：0 fXX)( 各各个变量值与算术平均数离差平方之和个变量值与算术平均数离差平方之和 等于最小值等于最小值22()() XXfXX简简单单平平均均数数：最最小小值值加加权权平平均均数数：最最小小值值 算算术平均数的特点术平均数的特点算术平均数适合用代数方法运算，因此运用算术平均数适合用代数方法运算，因此运用比较广泛；比较广泛；易受极端变量值的影响，使易受极端变量值的影响，使 的代表性变小；的代表性变小；

30、受极大值的影响大于受极小值的影响；受极大值的影响大于受极小值的影响；当组距数列为开口组时，由于组中点不易确当组距数列为开口组时，由于组中点不易确定，使定，使 的代表性也不很可靠。的代表性也不很可靠。XX 调和平均数是各个变量值倒数的调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数算术平均数的倒数。三、调和平均数三、调和平均数( (又称又称“倒数平均数倒数平均数”) ) 其其计算方法如下计算方法如下：1hnXX 1(1).先先计计算算各各个个变变量量值值的的倒倒数数，即即X1(2).计计算算上上述述各各个个变变量量值值倒倒数数的的算算术术平平均均数数，即即Xn (3).,1再再计计算算这这种种算算术

31、术平平均均数数的的的的倒倒数数，就就是是调调和和平平均均数数 即即nX 1在在 加加 权权 的的 情情 况况 下下 ：hfXfX 在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权数的加权调和平均数。数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：即有以下数学关系式成立：m m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量。数，而是各组标志值总量。1式式 中中 ：，hXfXfmXXmfXfXXmmXffX 已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下：市场甲乙丙合计平均价格(元)X1.001.50

32、1.40-销售额(元)m=Xf30 00030 00035 00095 000销售额(元) 平均价格(元) (即销售量) 30 00020 00025 00075 000fXm)(27.1000,75000,951元总平均价格mXmXh1.1.由由平均数计算平均数时调和平均数法的应用：平均数计算平均数时调和平均数法的应用：例例某公司有四个工厂，已知其计划完成程度(%)及实际产值资料如下：工厂甲乙丙丁合计计划完成程度(%)X 90100110120-实际产值(万元)m=Xf 90 200 330 4801,100实际产值计划完成程度(%) (即计划产值) (万元) 100 200 300 400

33、1,000fXm%110000, 1100, 11mXm平均完成计划程度2.2.由由相对数计算平均数时调和平均数法的应用：相对数计算平均数时调和平均数法的应用：例例 调调和平均数的特点和平均数的特点如果数列中有一标志值等于零，则无法如果数列中有一标志值等于零，则无法计算计算 ；较之算术平均数，较之算术平均数， 受极端值的影响要小受极端值的影响要小。hXhX1.1.简简单几何平均数单几何平均数四、几何平均数四、几何平均数( (又称又称“对数平均数对数平均数”) )nnnGXXXXX 21nXXG lglg)(lgGGXarcX 计算时要进行对数变换，即：例例 某机械厂有铸造车间、机加工车间、装配

34、车间三个连续流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别为95%、92%、90%，求平均车间产品合格率。3321XXXXG 解： %.%31929092953 这说明该厂车间产品平均合格率为92.31%式式中中： 为为各各变变量量值值的的次次数数或或权权数数将将公公式式两两边边取取对对数数，则则为为：121212112212lglglglglg(lg)LLLLnnGGGGffffffffnnnnXXXXXffXfXfXfXXffffXarcX 2.2.加加权几何平均数权几何平均数 投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，25年的年利率分配是：有1年为3%，有4年为5%，有8年为8%，有10年为

35、10%，有2年为15%，求平均年利率。本利率(%)X103105108110115合计年数f 1 4 810 225本利率的对数lgX2.01282.02122.03342.04142.0607-f lgX 2.0128 8.084816.267220.4140 4.121450.9002例例%6 .108)0360. 2()(lg0360. 2259002.50lglgarcXarcXfXfXGGG这就是说，25年的平均本利率为108.6%，年平均利率即为8.6%。 几几何平均数的特点何平均数的特点如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算计算

36、；受极端值的影响较受极端值的影响较 和和 小；小；它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值是各单位标志值的连乘积。标志值是各单位标志值的连乘积。GXXhX 由由未分组资料确定中位数未分组资料确定中位数1()2中中位位数数的的位位置置为为总总体体单单位位数数nn 2.2.中中位数的计算方法位数的计算方法1.1.概概念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列，念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列， 居于中间位置的那个标志值就是中位数。居于中间位置的那个标志值就是中位数。五、中位数五、中位数 M Me e n n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值为奇

37、数时，则居于中间位置的那个标志值 就是中位数。就是中位数。)(262633215213029262320件件产品为中位数：位工人日产即，第中位数位置，件数，按序排列如下：有五个工人生产某产品eMn例例 n n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术 平均数为中位数。平均数为中位数。)(5 .27229265 . 321621323029262320件至第四人的平均数：这表明中位数是第三、中位数位置，序排列如下：人生产某产品件数，按上例中，假如有六个工eMn 由由单项数列确定中位数单项数列确定中位数某企业按日产零件分组如下：按日产零件分组（件）26313234

38、3641合计工人数（人） 310142718 880较小制累计 31327547280-较大制累计8077675326 8-)(34402802件即中位数位置eMf例例 由由组距数列确定中位数组距数列确定中位数 按日产量分组(千克) 50 60 60 70 70 80 80 90 90100 100-110 110以上合计工人数(人) 10 19 50 36 27 14 8164较小制累计 10 29 79115142156164-较大制累计164154135 85 49 22 8-组距内。即中位数在中位数位置90808221642fi21mmLefSfXM下限公式下限公式（较小制累计时用）：

39、)(.千克8380103679216480 上限公式上限公式（较大制累计时用）：)(.千克8380103649216490 i21mmUefSfXM 中中位数不受极端值及开口组的影响，位数不受极端值及开口组的影响， 具有稳健性具有稳健性。 各各单位标志值与中位数离差的绝对值之和单位标志值与中位数离差的绝对值之和 是个最小值。是个最小值。 对对某些不具有数学特点或不能用数字测定的某些不具有数学特点或不能用数字测定的 现象，可用中位数求其一般水平。现象，可用中位数求其一般水平。minmin即即：或或eeXMXM f 3.3.中中位数的特点位数的特点单击此处编辑母版标题样式由定义可看出众数存在的条件

40、由定义可看出众数存在的条件：1.1.概概念念：众数是在总体中出现次数最多的那个标志值众数是在总体中出现次数最多的那个标志值 六、众数六、众数 M M0 0单击此处编辑母版标题样式M0M0M0M0M0若有两个次数相等的众数，则称复众数。若有两个次数相等的众数，则称复众数。 只只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才存在众数。存在众数。单击此处编辑母版标题样式下三图无众数：下三图无众数： 在在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时，单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时， 计算众数是没有意义的。计算众数是没有意义的。单击此处编辑母版标题

41、样式 根根据单项数列确定众数据单项数列确定众数；价格 (元)2.002.403.004.00合计销售数量 (千克) 20 60140 80300某种商品的价格情况众数M0=3.00(元)2.2.众众数的计算方法数的计算方法例例单击此处编辑母版标题样式 根根据组距数列确定众数据组距数列确定众数 利利用比例插值法推算众数的近似值。用比例插值法推算众数的近似值。 由由最多次数来确定众数所在组；最多次数来确定众数所在组；单击此处编辑母版标题样式按日产量分组(千克) 60以下 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90-100100-110110以上工人人数 (人)101950362714 8

42、表中70-80，即众数所在组。例例单击此处编辑母版标题样式i2110LXM下限公式：上限公式：i2120UXM由下限公式，日产量众数)(.)()(千克89761036501950195070 由上限公式，日产量众数)(.)()(千克89761036501950365080 计计算众数的近似值算众数的近似值：单击此处编辑母版标题样式 众众数的特点数的特点 众众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表

43、性。不受极端值和开口组数列的影响。不受极端值和开口组数列的影响。 众众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。位置也不好确定。hGXXX、（一）（一）三者的关系三者的关系hGXXX 表示为：表示为：七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系87.716.75.8121084GhXXX，变量值例例f如图：0MMXe0eXMM、( (二）二）三者的关系三者的关系0即即eX

44、MM 1.1.当当总体分布呈对称状态时，三者合而为一总体分布呈对称状态时，三者合而为一, ,0(1). 如如果果分分布布右右偏偏，则则eXMM 如图：fXX0MeM2.2. 当当总体分布呈非对称状态时总体分布呈非对称状态时0(2). 如如果果分分布布左左偏偏，则则eXMM 如图： fXX0MeM所以所以0 )(oMX如果，则说明分布右偏（或上偏）0 )(oMX如果，则说明分布左偏（或下偏）0 )(oMX如果，则说明分布对称所以分布右偏。，元 )(900)10002700(31)2(3100MMXXMMee一组工人的月收入众数为700元，月收入的算术平均数为1000元，则月收入的中位数近似值是：

45、例例根据卡尔皮尔逊经验公式，还可以推算出：XMMe230 )(XMMoe231 )(oeMMX 3211.1.平平均指标只能适用于同质总体。均指标只能适用于同质总体。2.2.用用组平均数补充说明总平均数。组平均数补充说明总平均数。八、平均指标的运用原则八、平均指标的运用原则 某生产小组基期有工人15人，报告期人数增加到30人，两时期各技术等级的工人数和工资总额如下：级别二级工四级工七级工合计基 期工人数(人) 2 8 515比重(%) 13.3 53.3 33.4100.0工资总额(元) 1000 7200 750015700平均工资(元) 500 90015001047报 告 期工人数(人)

46、1610 430比重(%) 53.3 33.3 13.4100.0工资总额(元) 960010000 680026400平均工资(元) 60010001700 880例例某工业部门100个企业年度利润计划完成程度资料如下：按计划完成程度分组(%) 85- 89.9 90- 94.9 95- 99.9100-104.9105-109.9110-114.9合 计企业数 2 8 10 40 30 10100经计算，100个企业年度平均利润计划完成程度为103.35。3.3.用用分配数列补充说明平均数分配数列补充说明平均数例例 标标志变动度是评价平均数代表性的依据志变动度是评价平均数代表性的依据。第四

47、节第四节 标志变动度（变异指标）标志变动度（变异指标）2.2.作作用用：1.1.概概念：念： 标志变动度是指总体中各单位标志值差标志变动度是指总体中各单位标志值差别大小的程度，又称离散程度或离中程度。别大小的程度，又称离散程度或离中程度。一、标志变动度的意义、作用和种类一、标志变动度的意义、作用和种类 甲、乙两学生某次考试成绩列表甲、乙两学生某次考试成绩列表甲乙语文 95110数学9070物理6595化学7050政治7580英语8575 甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组数据的离散程度

48、小，数据分布越集中，平均数的代表性越大。例例 标标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度。 钢厂甲乙供货计划完成百分比(%)季度总供货计划执行结果100100一月3220二月3430三月3450例例3.3.种种类类 即测定标志变动度的方法即测定标志变动度的方法, ,主要有：主要有：极差、四分位差、平均差、标准差、离散系极差、四分位差、平均差、标准差、离散系数等。数等。 极极 差差R R四分位差四分位差Q.D.Q.D.平平 均均 差差A.D.A.D.标标 准准

49、 差差S.D.()S.D.()离散系数离散系数V V 优优点：点： 计算方便，易于理解。计算方便，易于理解。 缺缺点：点： 全距只考虑数列两端数值差异，它是测定全距只考虑数列两端数值差异，它是测定标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各单位标志的变异程度。单位标志的变异程度。maxmin RX-X即即： 1. 1. 全全距是总体各单位标志值最大值和最小值之差距是总体各单位标志值最大值和最小值之差, ,2. 2. 全全距的特点距的特点二、极差二、极差 R R 平平均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对均差是数列中各单位标志值与平均数之间绝对离差的

50、平均数。离差的平均数。X-X(1) A.D.nX-X(2) A.D.其其计计算算公公式式为为：未未分分组组资资料料：分分组组资资料料：ff 1.1.概概念和计算念和计算：三、平均差三、平均差 A.DA.D. .以某车间100个工人按日产量编成变量数列的资料：)(6 . 6100660. )(421004200X 千克千克ffXXDA工人按日产量分组(千克)20-3030-4040-5050-60合 计工人数(人)f 5 35 45 15100组中值X25354555-Xf 12512252025 8254200-17 -7 3 13- 85245135195660XX fXX 例例 平平均差是

51、根据全部标志值与平均数离差而计算均差是根据全部标志值与平均数离差而计算 出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度；出的变异指标，能全面反映标志值的差异程度； 平平均差计算有绝对值符号，不适合代数方法的均差计算有绝对值符号，不适合代数方法的 演算使其应用受到限制。演算使其应用受到限制。2.2.平平均差的特点均差的特点 标标准差是离差平方平均数的平方根，故又称准差是离差平方平均数的平方根，故又称“均方差均方差”。 其意义与平均差基本相同。其意义与平均差基本相同。1.1.概概念和计算念和计算：四、标准差四、标准差 S.D.()S.D.()22 (x)nf(x)fxx )(85.141645616.3

52、6172)(2千克ffXX工人按日产量分组(千克) 50- 60 60- 70 70- 80 80- 90 90-100100-110110以上合 计工人数(人)f 10 19 50 36 27 14 8164组中值X 55 65 75 85 95105115-27.62-17.62 -7.62 2.38 12.38 22.38 32.38- 7628.644 5898.8236 2903.9184 203.9184 4138.1388 7012.1016 8387.715236172.5616XX fXX2)()(62.82X 千克由前计算得：例例 与与R R的关系的关系 与与A.D.A.D

53、.的关系的关系 经经验表明，当分布数列接近于正态分布时，验表明，当分布数列接近于正态分布时，R R和和之间存在以下经验公式：之间存在以下经验公式：R R为为4 4至至6 6个个: : 当标志值项数较少时，当标志值项数较少时，R4R4 当标志值项数较多时，当标志值项数较多时，R6R6 对对同一资料，所求的平均差一般比标准差要同一资料，所求的平均差一般比标准差要小，即小，即A.D. A.D. 3.3.标标准差与全距、平均差的关系准差与全距、平均差的关系 离离散系数，是各种变异指标与平均数的比散系数，是各种变异指标与平均数的比率。反映总体各单位标志值的相对离散程度，率。反映总体各单位标志值的相对离散

54、程度，最常用的是标准差系数。最常用的是标准差系数。100% VX 标标准准差差系系数数计计算算公公式式为为：五、离散系数五、离散系数 V V乙组大于甲组。散程度大于乙组，而是计算表明，并非甲组离计算离散系数来比较：组的水平相差悬殊，应都是不妥的。因为这两数代表性高于甲组，于乙组，或乙组的平均而断言甲组离散程度大件，件，乙组：件，件，甲组：资料：件产量两组不同水平的工人日乙甲乙甲乙乙甲甲%7 .48%10073.41V %1 .10%100707.07V )(41. 3 )7(X 21 9 7 5 2 )07(. 7 )70(X 80 75 70 65 60 )(例例单击此处编辑母版标题样式 总

55、量指标总量指标 相对指标相对指标 平均指标平均指标 变异指标变异指标综合指标综合指标单击此处编辑母版标题样式 1 1 总量指标总量指标单击此处编辑母版标题样式2 统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式结构相对数结构相对数比例相对数比例相对数比较相对数比较相对数动态相对数动态相对数计划完成相对数计划完成相对数强度相对数强度相对数多种相对指标应当结合运用多种相对指标应当结合运用统计学统计学第三章第三章 统计整理统计整理单击此处编辑母版标题样式 算术平均数算术平均数数值平均数数值平均数调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 众数众数位置平均数位置平均数中位数中位数hXoMeMGXX单击此处编辑母版标题样式0(2). 如如果果分分布布左左偏偏，则则eXMMhGXXX 0即即eXMM 当总体分布呈对称状态时，三者合而为一当总体分布呈对称状态时，三者合而为一, ,0(2). 如如果果分分布布左左偏偏，则则eXMM各平均指标间的关系各平均指标间的关系单击此处编辑母版标题样式极极 差差 R R平平 均均 差差 A.D.A.D.标标 准准 差差 S.D.()S.D.()离散系数离散系数 V V22 (x)nf(x)fxx