高中数学北师大版选修22学案：2.4.1　导数的加法与减法法则4.2　导数的乘法与除法法则 Word版含解析

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1、20192019 版数学精品资料（北师大版）版数学精品资料（北师大版）4导数的四则导数的四则运算法则运算法则4.1导数的加法与减法法则导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则导数的乘法与除法法则1.理解导数的四则运算法则.(重点)2.能利用导数的四则运算法则求导.(重点、难点)基础初探教材整理 1导数的加法与减法法则阅读教材 P42部分内容，完成下列问题.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x).教材整理 2导数的乘法与除法法则阅读教材 P44“练习”以下至 P45“例 3”以上部分，完成下列问题.一般地，若

2、两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f(x)和 g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x）(g(x)0).特别地，当 g(x)k 时，有kf(x)kf(x).若 f(x)ln xx，则 f(x)_.【解析】f(x)ln xx1xxln xx21ln xx2.【答案】1ln xx2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型导数的四则运算(1)函数 y(2x23)(3x2)的导数是_；(2)函数 y2xcos x3xln x 的导数

3、是_；(3)函数 yx1x1的导数是_.【精彩点拨】仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导.【自主解答】(1)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(2)y(2xcos x3xln x)(2x)cos x2x(cos x)3xln xx(ln x)2xln 2cosx2xsin x3ln xx1x 2xln 2cos x2xsin x3ln x3.(3)yx1x1 （x1）（x1）（x1） （x1）（

4、x1）2（x1）（x1）（x1）22（x1）2.【答案】(1)y18x28x9(2)y2xln2 cos x2xsin x3 ln x3(3)y2（x1）21.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数.2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.再练一题1.求下列各函数的导数.(1)y( x1)1x1；(2)yxsinx2cosx2；(3)yx2sin x.【解】(1)化简得 y x1x x1x1x12x-12，y12x-1212x-3212 x11x .(2)yxsinx2cosx2x12sin x，yx12

5、sin xx12(sin x)112cos x.(3)y（x2）sin xx2（sin x）sin2x2xsin xx2cos xsin2x.利用导数求曲线的切线方程求过点(1，1)与曲线 f(x)x32x 相切的直线方程.【导学号：94210044】【精彩点拨】 点(1， 1)不一定是切点， 故设出切点坐标(x0， y0)， 求出 f(x0).写出切线方程，利用点(1，1)在切线上求 x0，从而求出切线方程.【自主解答】设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 kf(x)3x202，故切线方程为 yy0(3x202)(xx0).(x0，y0)在曲线上，y0 x302x0.又(1，1)在切线上

6、，将式和(1，1)代入式得1(x302x0)(3x202)(1x0).解得 x01 或 x012.k1 或 k54.故所求的切线方程为 y1x1 或 y154(x1)，即 xy20 或 5x4y10.1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点 P 处的切线方程， 还是求过点P 与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1，1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.再练一题2.求曲线 y2xx21在点(1，1)处的切线方程.【解】y2（x21）2x2x（x21）222x2（x21）2，当 x1 时，y2240，即曲线在点(1，1)处的切线斜率 k0.

7、因此，曲线 y2xx21在点(1，1)处的切线方程为 y1.探究共研型导数运算法则的综合应用探究 1二次函数 yf(x)的图像过原点，且它的导函数 yf(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数 yf(x)的图像的顶点在第几象限？【提示】设 f(x)ax2bx(a0)，f(x)2axb，yf(x)2axb 的图像是一条过第一、二、三象限的直线，2a0，b0，即 a0，b0，b2a0，b24a0，f(x)的图像的顶点在第三象限.探究 2若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，试求 f(1)的值.【提示】由 f(x)ax4bx2c 得 f(x)4ax32bx，又 f(1)2，所以

8、 4a2b2，即 2ab1，f(1)4a2b2(2ab)2.已知函数 f(x)ax6x2b的图像在点 M(1，f(1)处的切线方程为 x2y50，求函数 yf(x)的解析式.【精彩点拨】利用点 M 为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为 f(1)12联立方程组，可求出 a，b 的值.【自主解答】由函数 f(x)的图像在点 M(1，f(1)处的切线方程为 x2y50，知12f(1)50，即 f(1)2，由切点为 M 点得 f(1)12.f(x)a（x2b）2x（ax6）（x2b）2，a61b2，a（1b）2（a6）（1b）212，即a2b4，a（1b）2（a6）（1b）212，解得 a2，

9、b3 或 a6，b1(由 b10，故 b1 舍去).所以所求的函数解析式为 f(x)2x6x23.解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.再练一题3.(2016青岛高二检测)图 241 中有一个是函数 f(x)13x3ax2(a21)x1(aR，且 a0)的导函数的图像，则 f(1)()图 241A.13B.13C.73D.13或53【解析】f(x)x22axa21，由题图与知，它们的对称轴都为 y轴，此时 a0，与题设不符合，故题图是 f(x)的导函数的图像.由题图知 f(0)0，a0，所以 a1，此时 f(x)13x3x21，

10、所以 f(1)13.【答案】B构建体系1.函数 f(x)(x21)x3的导数为()A.f(x)5x43x2B.f(x)6x53x2C.f(x)5x33x2D.f(x)6x5x3【解析】f(x)x5x3，f(x)5x43x2.【答案】A2.函数 yx2cos 2x 的导数为()A.y2xcos 2xx2sin 2xB.y2xcos 2x2x2sin 2xC.yx2cos 2x2xsin 2xD.y2xcos 2x2x2sin 2x【解析】y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.【答案】B3.若曲线 yx1(R)在点

11、(1， 2)处的切线经过坐标原点， 则_.【解析】因为 yx1，所以在点(1，2)处的切线斜率 k，则切线方程为 y2(x1).又切线过原点，故 02(01)，解得2.【答案】24.已知函数 f(x)f2 sin xcos x，则 f4 _.【导学号：94210045】【解析】f(x)f2 cos xsin x，f2 f2 cos2sin21，f(x)cos xsin x，f4 cos4sin4 2.【答案】 25.求下列函数的导数.(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)yln xx21.【解】(1)y2x2x3.(2)y(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)yx212x2ln

12、 xx（x21）2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评学业分层测评( (十十) )(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.下列结论不正确的是()A.若 y3，则 y0B.若 f(x)3x1，则 f(1)3C.若 y xx，则 y12 x1D.若 ysin xcos x，则 ycos xsin x【解析】D 中，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.【答案】D2.若对任意实数 x，恒有 f(x)5x4，f(1)1，则此函数为()A.f(x)1x5B.f(x)x52C.f(x)x42D.f(x)x51【解析】由 f(1

13、)1，排除 A，D；又对任意实数 x，恒有 f(x)5x4，则f(x)x5c ，故排除 C，选 B.【答案】B3.曲线 f(x)x3x2 在 P0点处的切线平行于直线 y4x1，则 P0点的坐标为()A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(1，4)D.(2，8)和(1，4)【解析】f(x)x3x2，f(x)3x21，设 P0(x0，y0)，则 f(x0)3x2014，x01.故 P0点坐标为(1，0)或(1，4).【答案】C4.设曲线 f(x)x1x1在点(3，2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a 等于()A.2B.12C.12D.2【解析】f(x)x1x112x1，f(x)2（

14、x1）2，f(3)12，a2，即 a2.【答案】D5.已知函数 f(x)12x24ln x，若存在满足 1x03 的实数 x0，使得曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线 xmy100 垂直，则实数 m 的取值范围是()A.5，)B.4，5C.4，133D.(，4)【解析】f(x)x4x，当 1x03 时，f(x0)4，5，又 kf(x0)m，所以 m4，5.【答案】B二、填空题6.函数 ysin x1sin x的导数是_.【导学号：94210046】【解析】f(x)cos x（1sin x）sin xcos x（1sin x）2cos x（1sin x）2.【答案】cos x（

15、1sin x）27.已知 f(x)x22f13 x，则 f13 _.【解析】f(x)x22f13 x，f(x)2x2f13 ，f13 213 2f13 ，f13 213 ，即 f13 23.【答案】238.某物体做直线运动，其运动规律是 st23t(t 的单位是 s，s 的单位是 m)，则它在第 4 s 末的瞬时速度应该为_.【解析】s2t3t2，vs(4)831671316m/s.【答案】71316m/s三、解答题9.点 P 是曲线 yf(x)ex上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离.【解】 根据题意设平行于直线 yx 的直线与曲线 f(x)ex相切于点(x0， y0)，该切点即为

16、与 yx 距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即f(x0)1.f(x)(ex)ex，ex01，得 x00，代入 f(x)ex，得 y01，即 P(0，1).则点 P 到直线 yx 的最小距离为 d|01|222.10.已知抛物线 yax2bxc 过点(1，1)，且在点(2，1)处与直线 yx3相切，求 a，b，c 的值.【解】因为 yax2bxc 过点(1，1)，所以 abc1.y2axb，曲线在点(2，1)处的切线的斜率为 4ab1.又曲线过点(2，1)，所以 4a2bc1.由abc1，4ab1，4a2bc1，解得a3，b11，c9.所以 a，b，c 的值分别为 3，

17、11，9.能力提升1.(2016宁波高二检测)函数 f(x)xxln x 在(1，1)处的切线方程为()A.2xy10B.2xy10C.2xy10D.2xy10【解析】f(x)(xxln x)1xln xx(ln x)1ln x12ln x，f(1)2ln 12，函数 f(x)在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即 2xy10.【答案】B2.曲线 f(x)x2bxc 在点(1，2)处的切线与其平行直线 bxyc0 间的距离是()A.24B.22C.3 22D. 2【解析】因为曲线过点(1，2)，所以 bc1，又 f(1)2b，由题意得2bb，所以 b1，c2，所以所求的切线方程为 y2

18、x1，即 xy10.故两平行直线 xy10 和 xy20 的距离为 d|12|23 22.【答案】C3.(2016菏泽高二检测)若曲线yxln x 上点 P处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_.【导学号：94210047】【解析】设 P(x0，y0).yxln x，yln xx1x1ln x.k1ln x0.又 k2，1ln x02，x0e.y0eln ee，点 P 的坐标是(e，e).【答案】(e，e)4.(2016郑州高二检测)已知函数 f(x)axx2b，且 f(x)的图像在 x1 处与直线y2 相切.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 P(x0，y0)为 f(x)图像上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图像相切于 P 点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.【解】(1)对函数 f(x)求导，得 f(x)a（x2b）ax2x（x2b）2abax2（x2b）2.因为 f(x)的图像在 x1 处与直线 y2 相切.所以f（1）0，f（1）2，即aba0，1b0，a1b2，所以 a4，b1，所以 f(x)4xx21.(2)因为 f(x)44x2（x21）2，所以直线 l 的斜率kf(x0)44 x20（x201）242（x201）21x201 ，令 t1x201，t(0，1，则 k4(2t2t)8t14212，所以 k12，4.