新版高中数学北师大版选修22学案：5.2.1　复数的加法与减法2.2　复数的乘法与除法 Word版含解析

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1、新版数学北师大版精品资料新版数学北师大版精品资料 2 复数的四则运算复数的四则运算 2.1 复数的加法与减法复数的加法与减法 2.2 复数的乘法与除法复数的乘法与除法 1.理解共轭复数的概念.(重点) 2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点) 基础 初探 教材整理 1 复数的加法与减法 阅读教材 P103“例 1”以上部分，完成下列问题. 1.复数的加法 设 abi(a，bR)和 cdi(c，dR)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 2.复数的减法 设 abi(a，bR)和 cdi(c，dR)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(abi)(c

2、di)(ac)(bd)i. 复数 z1212i，z2122i，则 z1z2等于( ) A.0 B.3252i C.5252i D.5232i 【解析】 z1z2212122 i5252i. 【答案】 C 教材整理 2 复数的乘法与除法 阅读教材 P104“练习”以下P106，完成下列问题. 1.复数的乘法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数 z1，z2，z3C，有 交换律 z1z2z2z1 结合律 (z1z2) z3z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z

3、3 3.共轭复数 如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数 z 的共轭复数用 z 来表示，即z-abi，则 zabi. 4.复数的除法法则 设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2i. (1i)22i2i_. 【解析】 (1i)22i2i2i（2i）2535145i. 【答案】 35145i 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 复数的加法与减法运算 (1)1312i (2i)4332i _. (2

4、)已知复数 z 满足 z13i52i，求 z. (3)已知复数 z 满足|z|z13i，求 z. 【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算. (2)设 zabi(a，bR)，根据复数相等计算或把等式看作 z 的方程，通过移项求解. (3)设 zxyi(x，yR)，则|z|x2y2，再根据复数相等求解. 【自主解答】 (1)1312i (2i)4332i 1324312132i 1i. 【答案】 1i (2)法一：设 zxyi(x，yR)，因为 z13i52i，所以 xyi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i. 法二：因为 z13i52i，所以 z(5

5、2i)(13i)4i. (3)设 zxyi(x，yR)，则|z|x2y2，又|z|z13i，所以 x2y2xyi13i，由复数相等得 x2y2x1，y3，解得x4，y3，所以 z43i. 1.复数加法与减法运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项. 2.当一个等式中同时含有|z|与 z 时，一般要用待定系数法，设 zabi(a，bR). 再练一题 1.(1)复数(1i)(2i)3i 等于( ) A.1I B.1i C.i D.i 【解析】 (1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选 A. 【答案】 A

6、 (2)已知|z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z_. 【解析】 设 zxyi(x，yR)，x2y23，且 z3ixyi3ix(y3)i 是纯虚数，则x0，y30， 由可得 y3. z3i. 【答案】 3i 复数的乘法与除法运算 已知复数 z11i，z232i.试计算： (1)z1z2和 z41； (2)z1z2和 z22z1. 【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行. 【自主解答】 (1)z1z232i3i2i25i. z41(1i)22(2i)24i24. (2)z1z21i32i（1i）（32i）（32i）（32i）15i13113513i. z22z1（32i）21i512i1i（

7、512i）（1i）（1i）（1i） 717i272172i. 1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立. 2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减. 3.常用公式 (1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii. 再练一题 2.(1)满足zizi(i 为虚数单位)的复数 z( ) A.1212i B.1212i C.1212i D.1212i (2)若复数 z 满足 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则|z|( ) A.1 B.2 C. 2 D. 3 【解析】 (1)zizi，zizi，iz(i1). zii1i（1i）（1i）（1i）1i21212i. (2)z(

8、1i)2i，z2i1i2i（1i）21i， |z| 1212 2. 【答案】 (1)B (2)C 探究共研型 共轭复数的应用 探究 1 两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？ 【提示】 若 zabi(a，bR)，则z-abi，则 zz-2aR.因此，和一定是实数；而 zz-2bi.当 b0 时，两共轭复数的差是实数，而当 b0 时，两共轭复数的差是纯虚数. 探究 2 若 z1与 z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？ 【提示】 |z1|z2|. 已知 zC，z-为 z 的共轭复数，若 z z-3iz-13i，求 z. 【精彩点拨】 设 zabi(a，bR)

9、，则z-abi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解. 【自主解答】 设 zabi(a，bR)，则z-abi，(a，bR)， 由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i， 即 a2b23b3ai13i， 则有a2b23b1，3a3，解得a1，b0或a1，b3. 所以 z1 或 z13i. 再练一题 3.已知复数 z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR.若 z1与 z2互为共轭复数，求 a，b 的值. 【解】 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i， z2a2i1i（a2i）（1i）（1i）（1i）aai2i22 a22a22i， 由

10、于 z1和 z2互为共轭复数，所以有 a22b1，a22（1b），解得a2，b1. 构建 体系 1.设 z12i，z215i，则|z1z2|为( ) A. 5 26 B.5 C.25 D. 37 【解析】 |z1z2|(2i)(15i)| |34i|32（4）25. 【答案】 B 2.已知 i 是虚数单位，则(1i)(2i)( ) A.3i B.13i C.33i D.1i 【解析】 (1i)(2i)13i. 【答案】 B 3.设复数 z11i，z2x2i(xR)，若 z1z2R，则 x_. 【解析】 z11i，z2x2i(xR)， z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i. z1z2R，

11、x20，即 x2. 【答案】 2 4.若21iabi(i 为虚数单位，a，bR)，则 ab_. 【导学号：94210084】 【解析】 因为21i2（1i）（1i）（1i）1i，所以 1iabi，所以 a1，b1，所以 ab2. 【答案】 2 5.已知复数 z 满足|z| 5，且(12i)z 是实数，求 z. 【解】 设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i) (abi)(a2b)(b2a)i，又因为(12i)z 是实数，所以 b2a0，即 b2a，又|z| 5，所以 a2b25，解得 a 1，b 2， z12i 或12i， z-12i 或12i， z- (12i). 我还有这些不足：

12、 (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 学业分层测评学业分层测评( (十九十九) ) (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1.实数 x，y 满足 z1yxi，z2yix，且 z1z22，则 xy 的值是( ) A.1 B.2 C.2 D.1 【解析】 z1z2yxi(yix)xy(xy)i2， xy2，xy0，xy1. xy1. 【答案】 A 2.已知复数 z3i333i，则 z( ) A.0 B.6i C.6 D.66i 【解析】 z3i333i， z(33i)(3i3) 66i. 【答案】 D 3.复数 z32ai，aR，且 z21232i，则 a 的值为( )

13、【导学号：94210085】 A.1 B.2 C.12 D.14 【解析】 由 z32ai，aR，得 z2322232ai(ai)234a2 3ai，因为 z21232i，所以34a212， 3a32，解得 a12. 【答案】 C 4.A，B 分别是复数 z1，z2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形 AOB 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 复数 z1对应向量OA，复数 z2对应向量OB. 则|z1z2|OAOB|，|z1z2|OAOB|， 依题意有|OAOB|OAOB|. 以OA，OB为邻边所作的平行四

14、边形是矩形. AOB 是直角三角形. 【答案】 B 5.已知复数 z3i（1 3i）2， z是 z 的共轭复数，则 z z 等于( ) A.14 B.12 C.1 D.2 【解析】 z3i（1 3i）2 3i2i（1 3i）2i（1 3i）（1 3i）2 i1 3ii（1 3i）434i4， z34i4， z z14. 【答案】 A 二、填空题 6.复数（12i）234i的值是_ . 【解析】 （12i）234i34i34i1. 【答案】 1 7.已知a2iibi(a，bR)，其中 i 为虚数单位，则 ab_. 【解析】 a2iibi， a2i(bi)i1bi， a1，b2， ab1. 【答案

15、】 1 8.已知复数 z 满足 z|z|28i，则复数 z_. 【解】 法一：设 zabi(a，bR). 则|z| a2b2， 代入方程得 abi a2b228i. a a2b22，b8，解得a15，b8， z158i. 法二：原式可化为 z2|z|8i， |z|R，2|z|是 z 的实部， 于是|z| （2|z|）282， 即|z|2684|z|z|2，|z|17. 代入 z2|z|8i，得 z158i. 【答案】 158i 三、解答题 9.在复平面内 A，B，C 三点对应的复数分别为 1，2i，12i. (1)求AB，BC，AC对应的复数； (2)判断ABC 的形状； (3)求ABC 的面

16、积. 【解】 (1)AB对应的复数为 2i11i，BC对应的复数为12i(2i)3i，AC对应的复数为12i122i. (2)|AB| 2，|BC| 10，|AC| 82 2， |AB|2|AC|2|BC|2，ABC 为直角三角形. (3)SABC12 22 22. 10.已知复数 z 满足 z(13i)(1i)4. (1)求复数 z 的共轭复数； (2)若 wzai，且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)z1i3i3424i， 所以复数 z 的共轭复数为24i. (2)w2(4a)i， 复数 w 对应向量为(2， 4a)， 其模为 4

17、（4a）2 208aa2. 又复数 z 所对应向量为(2，4)，其模为 2 5.由复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，得 208aa220，a28a0，a(a8)0， 所以实数 a 的取值范围是8a0. 能力提升 1.(2016 宁夏高二检测)设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若|z1z2|0，则z1z2 B.若 z1z2，则z1z2 C.若|z1|z2|，则 z1z1z2z2 D.若|z1|z2|，则 z21z22 【解析】 A，|z1z2|0z1z20z1z2z1z2，真命题； B，z1z2z1z2=z2，真命题； C，|z1|z2|z1|2|z2|

18、2z1z1z2z2，真命题； D，当|z1|z2|时，可取 z11，z2i，显然 z211，z221，即 z21z22，假命题. 【答案】 D 2.复数 zxyi(x， yR)满足条件|z4i|z2|， 则 2x4y的最小值为( ) A.2 B.4 C.4 2 D.16 【解析】 由|z4i|z2|，得 |x(y4)i|x2yi|， x2(y4)2(x2)2y2， 即 x2y3， 2x4y2x22y2 2x2y2 234 2， 当且仅当 x2y32时，2x4y取得最小值 4 2. 【答案】 C 3.若复数 z7ai2i的实部为 3，则 z 的虚部为_. 【解析】 z7ai2i（7ai）（2i）（2i）（2i）（14a）（72a）i514a572a5i.由题意知14a53，a1，z3i. z 的虚部为 1. 【答案】 1 4.已知 z 为复数，z1i为实数，z1i为纯虚数，求复数 z. 【导学号：94210086】 【解】 设 zabi(a，bR)， 则z1ia1bii(a1bi) (i)b(a1)i. 因为z1i为实数，所以 a10，即 a1. 又因为z1i（abi）（1i）（1i）（1i）（ab）（ab）i2为纯虚数， 所以 ab0，且 ab0，所以 b1. 故复数 z1i.