新版北师大版数学必修四：单位圆与诱导公式导学案含解析

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1、新版数学北师大版精品资料第4课时单位圆与诱导公式 1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-,+,-,+2”的诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.3.通过公式的运用,学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法.我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2k+)=sin (kZ)与cos(2k+)=cos (kZ),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0360的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0360间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?问题1:将任意角转化成036

2、0间的角的几种情况因为任意角都可以通过终边相同的角转化成0360间的角,对于任意0360的角,只有四种可能(其中为锐角),则有=当(0,90)时,为第象限角180-当(90,180)时,为第象限角180+当(180,270)时,为第象限角360-当(270,360)时,为第象限角问题2:(1)角与-的正弦函数、余弦函数关系如图,在单位圆中对任意角MOP=,作MOP=-,这两个角的终边与单位圆的交点分别为P和P,可知OP与OP关于 轴对称,设P点的坐标为(a,b),则点P的坐标为(a,-b),所以sin(-)=-b,cos =a.即sin(-)=,cos(-)=.(2)角与的正弦函数、余弦函数关

3、系如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角MOP=,其终边与单位圆的交点为P,当点P按逆(顺)时针方向旋转至点P时,点P的坐标为:(cos(+),sin(+)或(cos(-),sin(-),此时点P与点P关于原点对称,横、纵坐标都互为,故sin(+)=,cos(+)=;sin(-)=,cos(-)=.(3)角与-的正弦函数、余弦函数关系如图,在单位圆中,当MOP=是锐角时,作MOP=-,不难看出,点P和点P关于y轴对称,则有sin(-)=,cos(-)=.(4)角与2+的正弦函数、余弦函数关系在单位圆中,仿照上面的方法,可以得出,sin(+2)= ,cos(+2)=.问题3:任意角的正弦函数与余

4、弦函数的诱导公式(1)sin(2k+)=;cos(2k+)=;(2)sin(-)=;cos(-)=;(3)sin(2-)=;cos(2-)=;(4)sin(-)=;cos(-)=;(5)sin(+)=;cos(+)=;(6)sin(+2)=;cos(+2)=;(7)sin(2-)=;cos(2-)=.问题4:讨论几组诱导公式的共同点与规律(1)2k,-,的三角函数值等于的三角函数值,前面加上一个把看作角时原三角函数值的符号;(2)2的正弦(余弦)函数值分别等于的()函数值,前面加上一个把看作角时原三角函数值的符号.1.下列等式不正确的是().A.sin(+180)=-sin B.cos(-+)

5、=-cos(-)C.sin(-360)=-sin D.cos(-)=cos(+)2.函数f(x)=cosx3(xZ)的值域为().A.-1,-12,0,12,1B.-1,-12,12,1C.-1,-32,0,32,1D.-1,-32,32,13.若sin(6-)=33,则sin(76-)=.4.已知sin(+)+sin(-)=-m,求sin(3+)+2sin(2-)的值.利用诱导公式化简求特殊角的三角函数值.(1)sin 1320;(2)cos(-313).诱导公式在三角函数中的综合运用已知f()=sin(-3)cos(2-)sin(-+32)cos(-)sin(-).(1)化简f();(2)

6、若sin(32-)=15,求f()的值.利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式化简:sin(4n-14-)+cos(4n+14-)(nZ).求sin(-203)cos436+cos(-173)sin(356)的值.已知f(x)=sin(-x)cos(2-x)cos(-2+x)sin(-x+)cos(-x+),求f(-313)的值. 已知cos(+)=-12,且是第四象限角,计算sin+(2n+1)+sin-(2n+1)sin(+2n)cos(-2n)(nZ)的值.1.sin(-196)的值等于().A.-32B.-12C. 12D. 322.已知sin(-4)=13,则cos(4+)的

7、值为().A.223B.-223C. 13D.-133.5sin 90+2cos 0-3sin 270+10cos 180=.4.化简sin(2-)cos(+)sin(-3)sin(-)sin(-)sin(-2).(2009年全国卷)sin 585的值为().A.-22B.22 C.-32D.32 考题变式(我来改编):第4课时单位圆与诱导公式知识体系梳理问题1:一二三四问题2:(1)x-sin cos (2)相反数-sin -cos -sin -cos (3)sin -cos (4)cos -sin 问题3:(1)sin cos (2)-sin cos (3)-sin cos (4)sin

8、-cos (5)-sin -cos (6)cos -sin (7)cos sin 问题4:(1)同名锐 (2)余弦正弦锐基础学习交流1.B由诱导公式可知,A正确;对于B,cos(-+)=cos-(-)=cos(-),故B不正确;对于C,sin(-360)=sin(-)=-sin ,故C正确;对于D,cos(-)=cos-(+)=cos(+),故D正确.2.B对x依次赋值0,1,2,3,4,很容易选出.3.-33sin(76-)=sin+(6-)=-sin(6-)=-33.4.解:sin(+)+sin(-)=-sin -sin =-2sin =-m,sin =m2,而sin(3+)+2sin(2

9、-)=sin2+(+)-2sin =sin(+)-2sin =-sin -2sin =-3sin ,故sin(3+)+2sin(2-)=-32m.重点难点探究探究一:【解析】(1)sin 1320=sin(3360+240)=sin 240=sin(180+60)=-sin 60=-32.(2)cos(-313)=cos(-10-3)=cos(-3)=cos3=12.【小结】熟记正弦函数、余弦函数的诱导公式,将其转化为锐角的正弦或余弦值,是解答此类题型的关键,同时要牢记一些特殊角的三角函数值.探究二:【解析】(1)f()=(-sin)cos(-cos)(-cos)sin=-cos .(2)si

10、n(32-)=-cos =15,f()=-cos =15.【小结】熟记诱导公式,并注意总结规律,有助于理解和记忆,如涉及2k,-,的三角函数值,其三角函数的名不变,若涉及2,则正弦变余弦、余弦变正弦,另外,要注意符号的变化.探究三:【解析】原式=sinn-(4+)+cosn+(4-)=sin(4+)-cos(4-)=sin2-(4-)-cos(4-)=cos(4-)-cos(4-)=0.问题以上化简过程正确吗?结论不正确,在化简过程中未对n加以讨论而导致错误.于是,正确解答如下:原式=sinn-(4+)+cosn+(4-).当n=2k+1(kZ)时,原式=sin2k+-(4+)+cos2k+(

11、4-)=sin(4+)-cos(4-)=cos(4-)-cos(4-)=0.当n=2k(kZ)时,原式=sin2k-(4+)+cos2k+(4-)=-sin(4+)+cos(4-)=0.综上可得,原式=0.【小结】在对sin(+k),cos(+k)进行化简时,一般要分两种情况讨论:当k为偶数时,sin(+k)=sin ,cos(+k)=cos ;当k为奇数时,sin(+k)=-sin ,cos(+k)=-cos .思维拓展应用应用一:原式=-sin(6+23)cos(6+76)+cos(4+53)sin(4+116)=-sin(-3)cos(+6)+cos(2-3)sin(2-6)=sin3c

12、os6-cos3sin6=3232-1212=12.应用二:f(x)=sinxcosxsinxsinx-cosx=-sin x,f(-313)=-sin(-313)=sin313=sin(10+3)=sin3=32.应用三:cos(+)=-12,-cos =-12,cos =12,sin+(2n+1)+sin-(2n+1)sin(+2n)cos(-2n)=sin(2n+)+sin(-2n-+)sin(2n+)cos(-2n+)=sin(+)+sin(-+)sincos=-sin-sin(-)sincos=-2sinsincos=-2cos=-4.基础智能检测1.Csin(-196)=sin(-4+56)=sin 56=sin(-6)=sin6=12,故选C.2.Dcos(4+)=sin2-(4+)=-sin(-4)=-13.3.05sin 90+2cos 0-3sin 270+10cos 180=51+21-3(-1)+10(-1)=0.4.解:原式=-sin(-cos)sin(-4+)-sinsinsin-(+2)=-sincossinsinsincos=-1.全新视角拓展Asin 585=sin(360+225)=sin 225=sin(180+45)=-22.思维导图构建sin -cos -cos cos -sin