新教材高中数学北师大版选修4－4 同步精练：2.1参数方程的概念 Word版含解析

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1、（新教材）北师大版精品数学资料第二章DIERZHANG参数方程1参数方程的概念课后篇巩固探究A组1.参数方程(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为() A.(1,0),(0,-2)B.(0,1),(-1,0)C.(0,-1),(1,0)D.(0,3),(-3,0)解析:当x=t-1=0时,t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0).答案:D2.下列各点在方程(为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,-7)B.C.D.(1,0)解析:由题意得x=sin -1,1,y=cos 2-1,1,故排除A.由y=cos 2=1-

2、2sin2=1-2x2,验证知C项正确.答案:C3.若t0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是()A.B.C.D.解析:由(t0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内,其余方程的曲线都过第二象限.答案:B4.已知点O为原点,当=-时,参数方程(为参数)上的点为A,则直线OA的倾斜角为()A.B.C.D.解析:当=-时,参数方程(为参数)上的点A的坐标为,kOA=tan =-,0,故直线OA的倾斜角=.答案:C5.在方程(为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是()A.(1,)B.(2,)C.D.解析:由题意知x=sin 2-1,1,y=sin +cos =sin- ,故排除A,B,C.令y=

3、sin +cos =,两边平方得1+2sin cos =,故x=sin 2=-.答案:D6.若点(-3,-3)在参数方程(为参数)的曲线上,则=.解析:将点(-3,-3)的坐标代入参数方程(为参数),得解得=+2k,kZ.答案:+2k,kZ7.已知曲线C的参数方程为(t为参数),判断点A(3,0),B(-2,2)是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.解将点A(3,0)的坐标代入得解得t=2,所以点A(3,0)在曲线C上,对应参数t=2.将点B(-2,2)的坐标代入得此方程组无解,所以点B(-2,2)不在曲线C上.8.已知曲线C的参数方程为(为参数,02),判断点A(2,0),

4、B是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.解将点A(2,0)的坐标代入因为02,所以=0,所以点A(2,0)在曲线C上,对应=0.将点B的坐标代入得因为00)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ的中点是M(x,y),设弦OQ和x轴的夹角为,取作为参数,已知圆的圆心是O(a,0),连接OM,则OMOQ,过点M作MMOO,则|OM|=acos .所以为参数,-.这就是所求轨迹的参数方程.10.导学号73144022求椭圆=1中斜率是m的平行弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设P1P2是斜率为m的平行弦中的任意一条弦,它所在直线的方程是y=

5、mx+k,这里k是参数,把上式代入椭圆方程,得b2x2+a2(mx+k)2=a2b2,整理得,(a2m2+b2)x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0,这个方程的两个根就是P1和P2的横坐标x1和x2,设P1P2的中点是点P(x,y),则x=.由得x1+x2=,x=-.点P在P1P2上,y=mx+k,即y=.方程是用参数k表示所求轨迹上任意一点P的坐标x和y,把(x,y)换成(x,y),就得到所求轨迹的参数方程:(k为参数).B组1.参数方程(为参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析:x2+y2=4cos2+4sin2=4.故表示的曲线是圆.答案:B2.在参数方程(为参

6、数)所表示的曲线上的点是()A.B.C.D.答案:D3.动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为3 m/s和4 m/s,直角坐标系的长度单位是1 m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是()A.(t为参数,t0)B.(t为参数,t0)C.(t为参数,t0)D.(t为参数,t0)解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则(t为参数,t0).答案:B4.导学号73144023若点E(x,y)在曲线(为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为.解析:x2+y2=(1+5cos )2+(2+5sin )2=30+(10cos +20sin )=30+10

7、sin(+),其中tan =,为锐角,故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10,30-10.答案:30+10,30-105.设飞机以匀速v=150 m/s做水平飞行,若在飞行高度h=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程.(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标?分析这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1)如图,A为投弹点,坐标为(0,588),B为目标,坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t,炸弹初速度

8、v0=150 m/s,用物理学知识,分别计算水平、竖直方向上的路程,得即这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0,即588-4.9t2=0,解得t0=2.由此得x0=1502=3001 643(m).即飞机在离目标1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.6.已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),点M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)点M到坐标原点的距离d=(02).当=时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.7.边长为a的等边三角形ABC的两个端点A,B分别在x轴、y轴两正半轴上移动,顶点C和原点O分别在AB两侧,记CAx=,求顶点C的轨迹的参数方程.解如图,过点C作CDx轴于点D,设点C的坐标为(x,y).则由得(为参数),即为顶点C的轨迹方程.