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1、湖北省八校2015届高三第一次联考数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1已知复数R)，若为纯虚数，则 AB C2D2如图给出的是计算的值的程序框图，其中 判断框内应填入的是 A B C D 3设，则二项式展开式中含 项的系数是 AB193 CD74棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A B4 C D35“且”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既非充分条件也非必要条件6已知实数等比数列an的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的
2、 A若，则 B若，则 C若，则D若，则7用表示非空集合A中的元素个数，定义若， ，且，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C(S)等于 A 1 B2 C3 D48已知x, y, R，且，则的最小值是 A20 B25 C36 D479已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准 线上的射影为S，设，是PQS中的两个锐角，则下列四个式子 中一定正确的有 A1个 B2个 C3个 D4个10设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若 在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的 “类对称点”的横坐标是 A1 B Ce D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，
3、每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对 应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（1114题）11随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是_12已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则n=_13已知函数，将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所得旋转体的体积为_14以(0, m)间的整数N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以 间的整数N)为分子，以为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为 a2；，依次类推以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于A1，A2， 的分数集合A
4、n，其所有元素和为an；则=_(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分)15（选修4-1：几何证明选讲）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一 点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BCOD .若 AD =AB= 2，则EB=_16（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C1的方程 为，以极点为原点，极轴方向为正 半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数 方程为(为参数)设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两 条切线所成角余弦的最小值是_三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤.源17（本小题满分12分）已知ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若， （）求； （）若，求ABC的面积18（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编 码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字 符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组 组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234 设随机变量表示密码中所含不同数字的个数. （）求； （
6、）求随机变量的分布列和它的数学期望19（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称， 把ABD沿BD折起（如图2），使二面角为直二面角如图2， （）求AD与平面ABC所成的角的余弦值； （）求二面角的大小的正弦值20（本小题满分12分）已知等比数列an的公比，前n项和为Sn，S3=7，且， 成等差数列，数列bn的前n项和为Tn，其中N* （）求数列an的通项公式； （）求数列bn的通项公式； （）设，求集合C中所有元素之和21（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为， 过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时， （）求椭圆的方程；
7、 （）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围22（本小题满分14分）已知，设函数 （）若在(0, 2)上无极值，求t的值； （）若存在，使得是在0, 2上的最大值，求t的取值范围； （）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围2015届高三第一次联考理科数学参考答案一、 选择题二、填空题 解析如下：1由于为纯虚数,则,则,故选择D.2由程序知道,都应该满足条件,不满足条件,故应该选择B.3由于则含项的系数为,故选择A.4几何体如图，体积为：,故选择B8由于 则(当且仅当即时取等号.故选C9由于PQS是直角三角形，则，故都对， 当PQ垂直对称轴时，故选C10由
8、于，则在点P处切线的斜率.所以切线方程为 ， 则，.当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；所以在上不存在“类对称点”. 当时，所以在上是增函数，故 所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则）故选择B13将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为.14由题意+=+ -(+)+ -a1a3+ -a2-a1an+ -an-1-a2-a1所以=+=·1+2+(mn-1)15连接则则则，则是半圆的切线设，由BCOD
9、得，则，则，则三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.源17( I )依题设：sinA，sinC， 故cosBcos(AC)cos (AC)(cosAcosC-sinAsinC)(). 则:sinB 所以4:5:66分 ( II ) 由( I )知：4:5:6， 不妨设：a4k，b5k，c6k，k0.故知：|b5k，|a4k. 依题设知：|2|22|cosC46 46k246，又k0k1. 故ABC的三条边长依次为：a4，b5，c6. ABC的面积是12分18（I）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是 1，2，
10、即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. 4分 （II）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形. 若，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2， 3或1，2，4. 若（或用求得）. 8分 的分布列为：234 12分19如图2所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的 直线为轴建立空间直角坐标系，则 , （）设面的法向量为 取有 , 与面所成角的余弦值是. 6分 （）同理求得面的法向量为 ，则 则二面角的正弦值为. 12分21（）由题意知，则， 所以所以椭圆的方程为 4分 （） 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知； 5分 当两弦斜率均存在且不为0时，设， 且设直线的方程为， 则直线的方程为 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得， 所以 8分 同理， 9分 所以 ， 当且仅当时取等号 11分 综合与可知， 13分22（），又在(0, 2)无极值 3分 （）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 由得：在时无解 当时，不合题意； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 即 当时，在单调递增，在单调递减，满足条件 综上所述：时，存在，使得是在0,2上的最大值. 8分- 14 -
湖北省八校高三第一次联考理科数学试题及答案
