高中数学北师大版选修23学案：2.5.2 离散型随机变量的方差 Word版含解析

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1、2019版数学精品资料（北师大版）第2课时离散型随机变量的方差1理解离散型随机变量的方差的意义(重点)2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点)基础初探教材整理离散型随机变量的方差的概念阅读教材P61P62“习题25”以上部分，完成下列问题1离散型随机变量的方差和标准差(1)方差DX_.(2)标准差为_【答案】(1)E(XEX)2(2)2方差的性质D(aXb)_.【答案】a2DX3方差的意义方差可用来衡量X与EX的_，方差越小，则随机变量的取值就越_；方差越大，则随机变量的取值就越_【答案】平均偏离程度集中在其均值周围分散1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机

2、变量的方差越大，随机变量越稳定()(2)若X是常数，则DX0.()(3)若DX0，则X是常数()(4)如果X是离散型随机变量，Y3X2，那么DY9DX.()【答案】(1)(2)(3)(4)2已知随机变量X的分布列是X123P(X)0.40.20.4则DX等于()A0B0.8C1D2【解析】EX10.420.230.42，DX0.4(12)20.2(22)20.4(32)20.8.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：小组合作型求离散型随机变量的方差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设

3、与座位编号相同的学生的人数是，求E和D.【精彩点拨】首先确定的取值，然后求出的分布列，进而求出E和D的值【自主解答】的所有可能取值为0,1,3，0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(0)；1表示三位学生只有1位学生坐对了，则P(1)；3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(3).所以，的分布列为013PE0131；D(01)2(11)2(31)21.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1已知分布列型(超几何分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：(1)求均值；(2)求方差2已知分布列是超几何分布或二项分布型：直

4、接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从超几何分布，则DXn.(2)若XB(n，p)，则DXnp(1p)3未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成1中的情况4对于已知DX求D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用D(aXb)a2DX求解再练一题1有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求E和D.【解】这3张卡片上的数字之和为，这一变量的可能取值为6,9,12.6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(6).9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(9).12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则

5、P(12).的分布列为6912PE69127.8.D(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.二项分布的方差为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E为3，方差D为.(1)求n和p的值，并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种求需要补种沙柳的概率【精彩点拨】(1)利用二项分布的期望与方差计算公式求解(2)利用互斥事件的概率计算公式求解【自主解答】由题意知，服从二项分布B(n，p)，P(k)Cpk(1p)nk，k0,1，n.(1)由Enp3，Dn

6、p(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1.所以需要补种沙柳的概率为.对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(ab)a2D，这样处理既避免了求随机变量ab的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.再练一题2(1)已知随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，且EX7，DX6，则p等于()A.B.C. D.【解析】np7且np(1p)6，解得1p，p.【答案】A(2)已知的分布列为：010205060P求方差；设Y2E，求DY.【解】E01020506016，D

7、(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384.Y2E，DYD(2E)22D43841 536.探究共研型均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求EX1，EX2.【提示】EX100.710.220.0630.040.44.EX200.810.0620.0430.100.44.探究2在探究1中，由EX1EX2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能因为EX1EX2.探究3在探究1中，

8、试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出，的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值【自主解答】(1)由题意得：0.53aa0

9、.11，解得a0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E100.590.380.170.19.2；E100.390.380.270.28.7；D(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于EE，DDY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区

10、内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高构建体系1设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差D等于()AmB2m(1m)Cm(m1)Dm(1m)【解析】随机变量的分布列为：01P1mmE0(1m)1mm.D(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)【答案】D2已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则EY，DY分别是()A6和2.4B2和2.4C2和5.6D6和5.6【解析】由已知随机变量XY8，所以有Y8X.因此，求得EY8EX8100.62，DY(1)2DX100.60.42.4.【答案】B3有两台自动包装机甲与乙，包装质

11、量分别为随机变量X1，X2，已知EX1EX2，DX1DX2，则自动包装机_的质量较好. 【导学号：62690044】【解析】因为EX1EX2，DX1DX2，故乙包装机的质量稳定【答案】乙4已知离散型随机变量X的分布列如下表：X1012Pabc若EX0，DX1，则a_，b_.【解析】由题意，解得a，bc.【答案】5已知某运动员投篮命中率p0.6，(1)求一次投篮命中次数的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的均值与方差【解】(1)投篮一次命中次数的分布列为01P0.40.6则E00.410.60.6，D(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次

12、数服从二项分布，即B(5,0.6)由二项分布期望与方差的计算公式，有E50.63，D50.60.41.2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲11，DX乙3.4.由此可以估计()A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较【解析】DX甲DX乙，乙种水稻比甲种水稻整齐【答案】B2设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，

13、p的值为()An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3Dn24，p0.1【解析】由题意得，np2.4，np(1p)1.44，1p0.6，p0.4，n6.【答案】B3已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k3,6,9.则DX等于()A6B9C3D4【解析】EX3696.DX(36)2(66)2(96)26.【答案】A4同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则D() 【导学号：62690045】A. B. C.D5【解析】两枚硬币同时出现反面的概率为，故B，因此D10.故选A.【答案】A5已知X的分布列为X101P则EX，DX，P(X0)，其中正确的个数为()A0B1

14、C2D3【解析】EX(1)01，故正确；DX222，故不正确；P(X0)显然正确【答案】C二、填空题6(2014浙江高考)随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E1，则D_.【解析】设P(1)a，P(2)b，则解得所以D01.【答案】7(2016扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到Dnp(1p)n2，等号在p1p时成立，所以(D)max10025，5.【答案】58一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出

15、选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为_【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y4X.由题知XB(25,0.6)，所以EX250.615，DX250.60.46，EYE(4X)4EX60，DYD(4X)42DX16696，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96三、解答题9海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X121012P0.050.050.80.050.05X221012P0.10.

16、20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量【解】EX10，EX20，EX1EX2.DX1(20)20.05(10)20.05(00)20.8(10)20.05(20)20.050.5；DX2(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20.11.2.DX1DX2.由上可知，A面大钟的质量较好10袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，EY1，DY11，试求a，b的值【解】(1)X的分布列为：X01234

17、PEX012341.5.DX(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由DYa2DX，得a22.7511，得a2.又EYaEXb，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求能力提升1若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知EX，DX，则x1x2的值为()A. B. C3 D.【解析】EXx1x2.x242x1，DX22.x1x2，x1x23.【答案】C2设随机变量的分布列为P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E24，则D的值为()A8B12 C.D16【解析】由题意可知B，nE24

18、，n36.又Dn368.【答案】A3变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E，则D的值是_. 【导学号：62690046】【解析】由a，b，c成等差数列可知2bac，又abc3b1，b，ac.又Eac，a，c，故分布列为101PD222.【答案】4一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图253所示图253将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期

19、望EX及方差DX.【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望EX30.61.8，方差DX30.6(10.6)0.72.