向量背景知识

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1、特征值和特征向量的意义班级： 110711班 姓名： 沈建平 学号： 11092632 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值与特征向量的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也都要用到特征值的理论。”于是接着定义了特征值与特征向量。可是，为什么要如此定义特征值与特征向量呢？其实际背景或者逻辑来源是什么呢？ 为了利用矩阵研究线性变换,希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式,因此我们引进了特征值与特征向量.特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用,充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助,能使复杂的

2、问题变的简单,化简为易,化繁为简。 特征值和特征向量,与相似是密不可分的.我们知道矩阵的相似是一个很重要的概念.有很多在矩阵上的函数,是具有相似不变性的.比如A与B相似,那么他们的行列式以及秩以及迹是一定相等的.就是行列式等函数,只要是相似矩阵,他的函数值就相等.这叫相似不变性.比如,我们为了研究矩阵A的一些性质,但是矩阵A非常不好,我们可以转而研究他的相似矩阵B.。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。A是n阶方阵，若有数和非零向量X，使得 AX=X则称数是A的特征值，非零向量X是A对应于特征值的特征向量。 另外，在确定矩阵、线性递推关系、在矩阵运算中，特征值与特征向量也有广泛的应用。利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨他们在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.。