公务员考试数理知识整理

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1、总结的几个年龄问题总结的几个年龄问题例1 爸爸今年35岁，女儿年龄是5岁，多少年后，爸爸的年恰好是女儿的3倍？分析与解爸爸和女儿的年龄总是相差35-5=30岁，当爸爸的年龄是女儿的3倍时，即爸爸的年龄与女儿的年龄相差2倍，相差岁数正好是30岁，所以可以这样解答：（35-5）（3-1）=15岁，15-5=10年答：10年后爸爸的年龄是女儿的3倍。试一试 妈妈今年43岁，女儿今年11岁，问几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？例2 今年爷爷的年龄是孙子的8倍，5年前爷爷和孙子的年龄和是62岁。问爷爷，孙子今年各是多少岁？分析与解从5年前到今年，爷爷，孙子各长了10岁，那么到今

2、年两人年龄之和是62+52=72岁，根据“今年爷爷的年龄是孙子的8倍”，可以推出两人年龄之和是孙子的年龄的（8+1）倍孙子的年龄：72（8+1）=8岁爷爷的年龄：88=64岁答：爷爷今年64岁，孙子今年9岁。试一试今年父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。问父亲，女儿今年各是多少岁？例3 爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，问爸爸多少岁？分析与解根据“爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄”，可以推出爸爸和儿子的年龄差为15+12岁，正好相当于儿子的年龄的（4-1）倍，这样可以先求出儿子的年龄，再求爸爸的年龄。（15+12）（4-1

3、）4=36岁答：爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸36岁。试一试小明问老师今年几岁，老师说：“你20年后的年龄，还比我现在小5岁，老师考考你，你几岁时，老师的年龄是你的6倍？”你能帮小明算吗？例4 一家三口人，三个人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍。问三人各多少岁？分析与解妈妈的年龄是孩子的4倍，因为妈妈和爸爸同岁，所以，爸爸的年龄是孩子的4倍，三人年龄之和是72岁，相当于孩子年龄的1+4+4=9倍。可以先求出孩子的年龄，再求爸爸，妈妈的年龄。1+4+4=9，729=8岁，84=32岁答：孩子的年龄是8岁，妈妈爸爸的年龄是32岁。试一试爷爷，爸爸，小兰三人的年龄一共128岁

4、，爷爷的年龄是爸爸的2倍，爸爸的年龄是小兰的5倍，爷爷今年多大年纪？例5 兄弟两人的年龄相差5岁，哥哥3年后的年龄为弟弟4年前的3倍。问兄弟两人今年各多少岁？分析与解可以看出，哥哥3年后的年龄比弟弟4年前的年龄大5+3+4=12岁，由差倍问题解得，弟弟4年前的年龄为（5+3+4）（3-1）=6岁。由此得到弟弟今年是6+4=10岁，哥哥今年10+5=15岁。答：兄弟两人今年分别是15岁、10岁。试一试哥哥5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁。求哥哥、妹妹今年的年龄。例6 今年兄弟两人年龄的和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是

5、弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？分析与解在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟的岁数看成一份a，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份a。又因为那一年哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相等，所以今年弟弟的岁数为2份2a，今年哥哥的岁数为2a+1a=3a。由和倍问题解得，哥哥今年的岁数为55（3a+2a）3a=33岁。答：哥哥今年33岁。试一试甲的年龄比乙的年龄的3倍少4岁，甲7年前的年龄和乙9年后的年龄相等。问甲、乙现在各是多少岁？例7 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍，2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问父亲出生在哪一年？分析与解如果用a表示兄

6、弟两人1994年的年龄和，则父亲1944年的年龄要用4a来表示。父亲在2000年的年龄应是4a再加6岁，而兄弟两人在2000年的年龄之和是a再加26=12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2a+3岁。即a +12岁=2a+3岁推知1段线表示9岁。所以，父亲1994年的年龄是94=36（岁），而1994-36=1958（年）。答：父亲出生于1958年。试一试已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问祖孙三人今年各多少岁？例8 今年父亲的年龄为儿子年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍。问父子俩今年各多少岁

7、？如果用a表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4a来表示。20年后，父亲的年龄就是4a再加上20岁，而儿子的年龄应是a再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是a+20=2a+10，求得a是10岁，即儿子今年10岁，父亲今年40岁。答：父亲今年40岁，儿子今年10岁。数字推理规律总结专业知识 数字推理的主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规律，从而得出最后的答案。 在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类： 一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律： 1、 相邻两个数加、减、乘、除等于第三数 2、 相邻两

8、个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数 3、 等差数列：数列中各个数字成等差数列 4、 二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列 5、 等比数列 ：数列中相邻两个数的比值相等 6、 二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列 7、 前一个数的平方等于第二个数 8、 前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数； 9、 前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数； 10、 隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律， 11、 全奇 、全偶数列 12、 排序数列 二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。 1、 数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一

9、个常数构成，或者是n的平方加减n构成 2、 每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n 3、 数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数 以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢？ 这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。 第一步，观察数列特点，看是否存隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答 第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。 第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个

10、数字在构成上的特点，寻找规律。 当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案数字推理题的一些经验1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b2)深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。3)看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如

11、7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，这就是规律。4)如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数 7+1410+119+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。5)各数间相差较大，但又不

12、相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如6、24、60、 120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是23-2=6、33-3=24、43-4=60、53-5=120、63-6=210。这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如 25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9172+8+6163

13、+0+25，256+13269269+17286286+16302 下一个数为302+5307。7)再复杂一点，如 0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如2就要看成2/1。数字推理题经常不能在正常时间内完成，考试时也要抱着先易后难的态度(废话，嘿嘿)。应用题个人觉得难度和小学奥数程度差不多(本人青年志愿者时曾在某小学辅导

14、奥数)，各位感觉自己有困难的网友可以看看这方面的书，还是有很多有趣、快捷的解题方法做参考。国家公务员考试中数学计算题分值是最高的，一分一题，而且题量较大，所以很值得重视(国家公务员125题，满分100分，各题有分值差别，但如浙江省公务员一共120题，满分120分，没有分值的差别)补充：1）中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略如1/2、1/6、1/3、2、6、3、1/22）数的平方或立方加减一个常数，常数往往是1，这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉如看到2、5、10、17，就应该想到是1、2、3、4的平方加1如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的

15、立方减1对平方数，个人觉得熟悉120就够了，对于立方数，熟悉110就够了，而且涉及到平方、立方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快3）A2BC因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来如数列5，10，15，85，140，7085如数列5, 6, 19,17 , 344 , 55如数列5,15,10,215，115这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就考虑这个规律看看4）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项如数列1,8,9,64,25，216奇数位1、9、25 分别是1、3、5的

16、平方偶数位8、64、216是2、4、6的立方先补充到这儿。5) 后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈2倍关系如数列：1、2、3、6、12、24由于后面的数呈2倍关系，所以容易造成误解！数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案.数字推理题型及讲解按照数字排列的规律, 数字推理题一般可分为以下几种类型:一、奇、偶：题目中各个数都是奇数或偶数，或间隔全是奇数或偶数：1、全是奇数：例题：1537 （ ）A .2 B.8 C.9 D.12 解析：答案是C ，整个数列中全都是奇数，

17、而答案中只有答案C是奇数2、全是偶数：例题：2 6 4 8 （ ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 解析：答案是D ，整个数列中全都是偶数，只有答案D是偶数。3、奇、偶相间 例题：2 13 4 17 6 （ ）A.8 B. 10 C. 19 D. 12 解析：整个数列奇偶相间，偶数后面应该是奇数 ，答案是C 练习：2，1，4，3，（ ），599年考题二、排序：题目中的间隔的数字之间有排序规律1、例题：34，21，35，20，36（）A.19 B.18 C.17 D.16 解析：数列中34，35，36为顺序，21，20为逆序，因此，答案为A。三、加法：题目中的数字通过相加寻找规律1、前两

18、个数相加等于第三个数例题：4，5，（），14，23，37A.6 B.7 C.8 D.9 注意：空缺项在中间，从两边找规律，这个方法可以用到任何题型；解析：4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+23=37，因此，答案为D；练习：6，9，（），24，39 / 1，0，1，1，2，3，5，（ ）2、前两数相加再加或者减一个常数等于第三数例题：22，35，56，90，（） 99年考题A162 B.156 C.148 D.145解析: 22+35-1=56 35+56-1=90 56+90-1=145，答案为D四、减法：题目中的数字通过相减，寻找减得的差值之间的规律1、前两个数的差等于第三个数

19、：例题：6，3，3，（），3，-3A.0 B.1 C.2 D.3 答案是A解析：6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”2、等差数列：例题：5，10，15，( ) A. 16 B.20 C.25 D.30 答案是B.解析：通过相减发现：相邻的数之间的差都是5，典型等差数列；3、二级等差：相减的差值之间是等差数列例题：115，110，106，103，（）A.102 B.101 C.100 D.99 答案是B解析：邻数之间的差值为5、4、3、（2），等差数列，差值为1103-2=101 练习：8，8，6，2，（） / 1，3，7，13，21，31

20、，（ ）4、二级等比：相减的差是等比数列例题：0,3,9,21,45, ( )相邻的数的差为3,6,12,24,48,答案为93例题：-2,-1,1,5,( ),29 -99年考题解析：-1-（-2）=1 ，1-（-1）=2，5-1=4，13-5=8，29-13=16后一个数减前一个数的差值为:1,2,4, 8,16,所以答案是135、相减的差为完全平方或开方或其他规律例题：1，5，14，30，55，（ ）相邻的数的差为4，9，16，25，则答案为55+36=916、相隔数相减呈上述规律：例题：53，48，50，45，47A.38 B.42 C.46 D.51解析：53-50=3 50-47=

21、3 48-45=3 45-3=42 答案为B注意：“相隔”可以在任何题型中出现五、乘法：1、前两个数的乘积等于第三个数例题：1,2,2,4,8,32,( ) 前两个数的乘积等于第三个数，答案是2562、前一个数乘以一个数加一个常数等于第二个数，n1m+a=n2例题:6,14,30,62,( )A.85 B.92 C.126 D.250解析:62+2=14 142+2=30 302+2=62 622+2=126，答案为C练习：28，54，106，210，（）3、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方,.例题：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 （ ） （99年海关考题）A. 1/6 B.

22、2/9 C.4/3 D.4/9解析:3/22/3=1 2/33/4=1/2 3/41/3=1/4 1/33/8=1/83/8?=1/16 答案是 A六、除法:1、两数相除等于第三数2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方，.七、平方：1、完全平方数列：正序：4，9，16，25 逆序：100，81，64，49，36间序：1，1，2，4，3，9，4，（16） 2、前一个数的平方是第二个数。1） 直接得出：2，4，16，（）解析：前一个数的平方等于第三个数，答案为256。2）前一个数的平方加减一个数等于第二个数：1，2，5，26，（677）前一个数的平方减1等于第三个数，答案为6773、隐含

23、完全平方数列：1）通过加减化归成完全平方数列：0，3，8，15，24，（） 前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案为6的平方36。2）通过乘除化归成完全平方数列：3，12，27，48，（）3, 12，27，48同除以3，得1，4，9，16，显然，答案为753）间隔加减，得到一个平方数列：例：65，35，17，（），1 A.15 B.13 C.9 D.3解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D.练习1：65，35，17，（3 ）

24、，1 A.15 B.13 C.9 D.3练习2：0， 2， 8，18，（24 ） A.24 B.32 C.36 D.52（ 99考题）八、开方：技巧:把不包括根号的数(有理数),根号外的数,都变成根号内的数,寻找根号内的数之间的规律:是存在序列规律,还是存在前后生成的规律。九、立方:1、立方数列：例题：1，8，27，64，（）解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。2、立方加减乘除得到的数列：例题：0，7，26，63 ，（ ）解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。十、特殊规律的数列：1、前一个数的组成部分生成第二个数的组成部分

25、:例题：1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，（）答案是：13/21，分母等于前一个数的分子与分母的和，分子等于前一个数的分母。2、数字升高（或其它排序），幂数降低（或其它规律）。例题：1，8，9，4，（），1/6A3 B.2 C.1 D.1/3解析:1，8，9，4，（ ），1/6依次为1的4次方，2的三次方，3的2次方（平方），4的一次方，（ ），6的负一次方。存在1，2，3，4，（），6和4，3，2，1，（ ），-1两个序列。答案应该是5的0次方，1往返平均速度公式及其应用廖帝学某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度。证明：设A、B两地相距S，则往

26、返总路程2S，往返总共花费时间故下面举例说明这一公式的应用。例1. 一架飞机所带燃料最多可用6小时，飞机顺风，每小时可飞1500千米，飞回时逆风，每小时可飞1200千米，这架飞机最多飞出_千米，就需往回飞？解：飞机往返的平均速度为千米/时往返总路程为千米故这架飞机最多飞出千米，就需往回飞。例2. 张师傅驾驶一辆载重汽车从县城到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾驶这辆汽车去时每小时行56千米，返回时每小时行64千米，往返一趟共用去12小时（在省城卸货所用时间略去不计）。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行多少千米？解：张师傅往返一趟共行千米答：张师傅在省城和县城之间往返一趟共行71

27、6.8千米。植树问题只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：例1

28、：有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?分析与解答：每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有10005=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。例2：某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?分析与解答：在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=13509=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数

29、（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9(2+1)=3(米)。例3：一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？分析与解答：16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为815120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12

30、的倍数；83=122=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120245，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个。事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。例4：某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？分析与解答：要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层，事实所爬

31、的层数只是4-1=3层，所以上一层楼梯需要的时间是48（4-1）=16（秒）；又，从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是164=64秒。例5：光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前后每行间隔为2米，主席台长42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?分析与解答：125人参加运动会入场式，每5人一行，共排了1255=25行，那么这里25行就相当于直线上的25棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全长是2(25-1)=48米；这列队伍通过主席台，所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主席台

32、的时间是9045=2分钟。例6：下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？分析与解答：根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的，也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-26毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，“环扣”数为5-14(个)，所以，五个大小相同的铁环连在一起时，总长度为40+428152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1) 28=292(毫米)。例7：一个木

33、工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟?分析与解答：要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里面包含有243=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，那么，每次5分钟,一共需要用时57=35分钟。例8：一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？分析与解答：由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，所以，大三角形

34、的每条边上栽的棵数为：92-1=17棵；又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上共栽花：（17-1）3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：73=21棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。例9：时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？分析与解答：4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为12（41）=4秒；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4（121）=44秒敲完。例10：铁路旁每隔50米有一根

35、电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？分析与解答：从第1根电线杆起到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一根电线杆，也就是说间隔为50米；那么，行使的总路程为：50（371）=1800米；2分钟=260秒=120秒，共行1800米，所以，火车速度为：180012015米秒。鸡兔同笼问题“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，

36、鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有34只兔子.当然鸡就有54只. 答：有兔子34只，鸡54只. 上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时

37、，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有488只脚，比244只脚多了884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）= 54（只）.说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式：鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚288=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34（只）.说明设想中的“鸡”，有34只是兔

38、子，也可以列出公式：兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？ 解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有：蓝笔数=（1916-280）（19-11）=24

39、8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔. 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240.比280少40.40（19-11）=5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.308比1916或1116要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数 1910+116=256. 比280少24. 2

40、4（19-11）=3， 就知道设想6只“鸡”，要少3只. 要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子. 例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打甲每小时打306=5（份），乙每小时打3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=

41、（30-37）（5-3） =4.5，“鸡”数=7-4.5 =2.5，也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.答：甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是：（254-86）（4-3）=14（岁）. 19

42、98年，兄年龄是 14-4=10（岁）. 父年龄是（25-14）4-4=40（岁）. 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10）（3-1）=15（岁）. 这是2003年. 答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍. 例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？ 解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有1

43、3只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉. 例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？解：对2道、3道、4道题的人共有 52-7-6=39（人）. 他们共做对 181-17-56=144（道）. 由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（2+3）2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39. 对4

44、道题的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）. 答：做对4道题的有31人. 习题一1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这

45、样前后共用了16天.甲先做了多少天？6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？7.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？二、“两数之差”的问题鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多4

46、0张，那么两种邮票各买了多少张？ 解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. （680-840）（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有40+30=70（张）. 答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是420+860=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是： （680-420-860）（4+8

47、）=10（张）. 因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有 （150-83）（10+8）= 7（天）. 雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）. 答：这项工程17天完成. 请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是

48、“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？ 例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡282=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚42=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是：（100+282）（2+1）=38（只）.鸡是：100-38=62（只）.答：鸡62只，兔38只.当然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只数是（100-284）（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假设一个数的办法.解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是： 450-250=100， 比

49、28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是： （100-28）（4+2）=12（只）. 兔只数是： 50-12=38（只）. 另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”. 例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差 1354+20=280（字）. 每首

50、字数相差：74-54=8（字）. 因此，七言绝句有：28（28-20）=35（首）. 五言绝句有：35+13=48（首）.答：五言绝句48首，七言绝句35首. 解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了：460-280=180（字）.与题目中“少20字”相差：180+20=200（字）. 说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25（首）. 五言绝句有 23+25=48（首）. 七言绝句有

51、10+25=35（首）. 在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事. 例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-840）（8+4）=30（张）.例9，假设都是兔，鸡的只数是（1004-28）（4+2）=62（只）.例10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（2013+20）（28-20）=35（首）. 首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了

52、负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶. 请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？ 例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次1

53、5道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验24题全对，得524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：86-2（15-6）=30（分）. 两次相差：120-30=90（分）. 比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（题）.因此，第一次答

54、对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对：30-19=11（题）.第一次得分：519-1（24- 9）=90.第二次得分：811-2（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分. 解二：答对30题，也就是两次共答错 24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）. 如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答错题数是：（69+10）（6+

55、10）=4（题） 第一次答错 9-4=5（题）. 第一次得分 5（24-5）-15=90（分）. 第二次得分 8（15-4）-24=80（分）. 习题二1.买语文书30本，数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少？2.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克？3.一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天？4.某次数学测验共20道

56、题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题？5.甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分.每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分.问甲、乙各中几发？6.甲、乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度. 巧算和与差一天，小明对一些小朋友说：“请你们随意说出2个数来，我会一下子算出它们的和减去它们的

57、差的结果来！”“真的吗？”小光惊奇地问。“那当然，请出题吧！”小明自信地说。于是，小光写出了两道题：（348256）（348256）（75643125）（75643125）小光刚写完第2题，小明就立刻说出两题的得数分别是512、6250。大家一起算，得的结果跟小明的一样。小兰想弄明白小明计算的奥秘，又说出下面4组数：47和23，400和278，120与80，16840与3020。结果小明总是很快就说出了答案。这时，小明问小兰：“你找出规律了吗？”“还没找到。不过，我觉得关键在两数中的较小数上。”小兰回答。“对！你再研究一下得数跟较小数的关系就会明白！”“我知道了，得数是较小数的2倍！”小光兴奋地说。小明给大家解