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1、 逆变换与逆矩阵 同步练习一， 选择题1，矩阵的逆矩阵是( )A. B. C. D. 2,矩阵的逆矩阵的几何意义是( )A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍B.纵坐标不变, 横坐标变为原来的倍C.横坐标,纵坐标均变为原来的倍D.以上都不对3,下列说法中错误的是( )A.反射变换,伸压变换,切变都是初等变换B.若M,N互为逆矩阵,则MN=IC.任何矩阵都有逆矩阵D.反射变换矩阵都是自己的逆矩阵二,填空题4,两个矩阵M,N互为逆矩阵,则两矩阵满足 5,图形向x轴垂直压缩为1/2的变换它的逆变换是 .6,可逆矩阵M的逆矩阵是 .7,初等变换矩阵的逆矩阵是 .三,解答题8,从几何上考虑乘积矩阵是否有逆矩
2、阵.如果存在,试给出其逆矩阵并验证.9,若矩阵M的逆矩阵为，试证明矩阵也存在逆矩阵，且10,给定矩阵,向量和,且,试证明:(1)若矩阵是可逆矩阵,则必有;(2)若,则矩阵必是不可逆矩阵.并说明这一结论的几何意义.参考答案1,A 2,B 3,C4,MN=I 5,向x轴垂直拉伸2倍的变换 6,唯一的7,仍然是初等变换矩阵8,解:乘积矩阵表示先垂直y 轴再拉伸为原来的2倍,再绕原点逆时针旋转180度的变换,则这一变换的逆变换应是先绕原点顺时针旋转180度再垂直y轴缩短为原来的1/2的变换.即: .9,证明：由矩阵的逆矩阵为，根据定义（一般地，若两个矩阵M，N满足MN=NM=I，则称矩阵N是矩阵M的逆矩阵，记作N=，同样，矩阵M也是矩阵N的逆矩阵，即M=.有时也称M与N互为逆矩阵.）有:则的逆矩阵存在.即为即10,(1)由可逆,设为矩阵的逆矩阵.如果则即则这与已知矛盾,故不成立.即(2)假设矩阵可逆,且其逆矩阵为则由(1)中可知,由必可得,这与已知矛盾.故矩阵不可逆.以上两个命题的几何意义是,可逆矩阵一定把平面上不同的向量(点)变成不同的向量(点),只有不可逆矩阵才可能把某些不同向量(点)变成同一向量(点),反之,把平面上某些不同向量(点)变成同一向量(点)的矩阵一定不可逆.
北师大版数学选修42练习：第4章逆变换与逆矩阵含答案
